高中数学选修2-2学案：1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)

【学习目标】

1.了解复合函数的定义； 2.了解复合函数的求导法则;

3.会应用法则求某些简单复合函数的导数

【新知自学】

知识回顾：

1.基本初等函数的导数公式： 原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)x(Q) 导函数 f(x)_________________ f(x)_________________ f(x)=sinx f(x)_________________ f(x)=cosx f(x)_________________ f(x)=ax f(x)_________________ f(x)=ex f(x)_________________ f(x)=logax f(x)_________________ f(x)=lnx f(x)_________________ 2.导数的运算法则：

设两个函数分别为f(x)和g(x), （1）[cf(x)]_____________; （2）f(x)g(x)___________； （3）f(x)g(x)_______________；

f(x)（4）______________(g(x)0)． g(x)新知梳理：

1. 复合函数的概念

若函数yf(x)的定义域为U，ug(x)的定义域为A，值域为B，且BU，则称函数yf(g(x))是由函数________与函数______复合而成的复合函数．并将u叫做中间变量，把函数f(u)叫做外层函数，函数g(x)叫做内层函数．

说明：在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数的定义域的子集． 2. 复合函数的求导法则

一般地，复合函数yfx，设函数u＝φ(x)在点x处有导数μx＝φ(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y＝f(φ(x))在点x处也有导μ＝f(μ)，则复合函数y数，且y'x＝y'uu'x 或fx(φ(x))＝f(μ)φ(x)．

感悟：

1.复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数；

2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．

对点练习：

1.说出函数y=log2(x-1)是由那两个函数复合而成？

2.函数y(3x5)的导函数是_______________.

3.求下列复合函数的导函数： （1）ycos2x；

（2）y=ln(2-x).

2

【合作探究】

典例精析：

例1. 求下列函数的导数： （1）ysin(2x

（2）ycos(3x5).

3);

变式练习：求下列函数的导数：

(1) y(5x7);

(2)y=cos(1-2x).

8

例2.求下列函数的导数： （1）yln(5x4)；

（2）y3

2x1.

变式练习：求下列函数的导数：

(1) y

（2）y12x2.

1； 3x1

规律总结：

应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： （1）中间变量的选取应是基本函数结构；

（2）正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对那个变量求导； （3）一般从最外层开始，由外及里，一层层求导； （4）善于把一部分表达是作为一个整体；

（5）最后把中间变量换成自变量的函数.熟练后，就不必写出中间步骤.

【课堂小结】

【当堂达标】

1.函数ysin2x的导数为( )

A.ycos2x B.y2sin2x C.y2cos2x D.y 2sin2x 2.yex21的导数是( )

A．yx21ex21 B.y2xex221

C.yx21ex D.yex1．

3.求下列函数的导数：

（1）y(3x2)sin5x；

（2）y=sin(2x+

(3)y=esinx.

); 3【课时作业】

1.若函数y=sin2x，则y（ ）

A.sin2x B.2sinx C.sinxcosx D.cos2x

2.ysin2xcos3x的导数是_________________．

3.求下列函数的导数． （1）ye

（2）yx2xex；

（3）y2e.

(4)y＝e2x-1·cos x.

4.已知f(x)esinx，求f(x),f().

xxx2xcos3x；

12

5.求曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积.