山西省大同市重点高中2022-2023学年高一下学期期末考试 数学

高一年级第二学期期末教学质量监测试题

数学（必修第二册）

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置．3，全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．5．考试时间60．分钟，满分100分．

第Ⅰ卷（40分）

一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

m

1.若复数A.0【答案】B22mmi

是纯虚数，则实数m的值为（B.2C.3）D.0或2m22m0

解析：因为复数m2mmi是纯虚数，所以，解得m2.m0

2故选：B.2.柜子里有三双不同的鞋，从中任取两只，取出的鞋都是一只脚的概率是（A.）D.1

3B.15C.25【答案】C解析：设三双不同的鞋分别为a1,a2，b1,b2，c1,c2，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，从中任取两只有a1,a2，b1,b2，c1,c2，a1,b1，a1,b2，a1,c1，a1,c2，a2,b1，a2,b2，a2,c1，a2,c2，b1,c1，b1,c2，b2,c1，b2,c2共15种，其中取出的鞋都是一只脚的有a1,b1，a1,c1，a2,b2，a2,c2，b1,c1，b2,c2共6种，所以取出的鞋都是一只脚的概率是62.155故选：C.3.对于两个不共线的向量a和b

，下列命题中正确的是（）A.ababB.ab≥ab

C.若a和b

同向，且ab，则abD.若ab，则向量ab平分a和b

的夹角【答案】D解析：A选项，a和b是不共线的两个向量，故a和b

均不是零向量，且a,b0和a,bπ，又ababcosa,

b，所以ababcosa,bab，故A错误；B选项，不妨设a,

b是互相垂直的两个单位向量，则ab2ab2，B错误；C选项，两个向量不能比较大小，C错误；D选项，由向量加法法则可知a

b是以a,b为邻边的平行四边形的对角线，如图，若ab，则平行四边形变为菱形，故向量ab平分a和b

的夹角，D正确.故选：D4.菱形ABCD中，AB2,A60，若AM12AC,DN1

3DB，则NANBNCND（A.243B.3C.53D.73【答案】B解析：因为菱形ABCD中，AB2,A60，若AM11

2AC,DN3DB，）11BD，63uuruuuruuuruuuruuruuuruuuruuuruuuruuuruuur因为NANBNCNDNANCNBND2NM2NM4NM，所以△ABD为等边三角形，且MN

uuruuuruuuruuuruuur4所以NANBNCND4NM.3故选：B.5.关于事件的相互性，下列命题不正确的是（）A.若A,B,C三个事件两两相互，则PABCPAPBPCB.若事件A和B相互，则A和B也相互C.一个必然事件和任意一个事件都相互D.若PA0,PB0，则事件A,B相互与A,B互斥不能同时成立【答案】A解析：若A,B,C三个事件两两相互，则PABPAPB，PACPAPC，PBCPBPC，推不出PABCPAPBPC，A错误；若事件A和B相互，则PABPAPB，又PB1PB，则PABPAPABPAPAPBPA1PBPAPB，B正确；一个必然事件A发生的概率为1，设任意一个事件B发生的概率为P，则PBPPAPB，C正确；若PA0,PB0，事件A,B相互，则PABPAPB0，若A,B互斥，则PAB0，故D正确.故选：A6.已知复数z1m4m（）2i,z

22cos3sini,m,,R，且z1z2，则的取值范围是A.,1

16C.,16【答案】B

9



B.,7

16

9





9



D.1,7【详解】复数z1m4m

2i,z

22cos3sini,m,,R，且z1z2，2

m2cos3922

所以，则44cos3sin4sin3sin4sin2

8164m3sin

因为R，所以sin1,1，当sin

39

时，min，当1时，max7

168所以的取值范围是,7.16故选：B.9



二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．

7.下列命题不正确的是（）A.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体B.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥C.所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥D.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行【答案】ACD解析：对于A，长方体是四棱柱，但当直四棱柱的底面为菱形时，直四棱柱不是长方体，故A错误；对于B，有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故B正确；对于C，如图所示的几何体，所有面都是三角形，但该几何体不是三棱锥，故C错误；对于D，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条可能与这个平面平行，也可能在这个平面内，故D错误.故选：ACD.的是（8.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列命题正确．．）A.A1B平面A1DCB1C.B1D平面A1BC1【答案】BCDB.平面A1BC1平面A1DCB1

D.A1B与平面A1DCB1所成的角是30

解析：在正方体ABCDA1B与A1B1不垂直，A1B1平面A1DCB1，1B1C1D1中，A所以A1B不可能与平面A1DCB1垂直，故A错误；因为在正方体ABCDA1B1，1B1C1D1中，BC1B1C，BC1A

B1C,A1B1平面A1DCB1，B1CA1B1B1，所以BC1平面A1DCB1，又BC1平面A1BC1，所以平面A1BC1平面A1DCB1，故B正确；因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1B1C，BC1DC，B1C,DC平面B1DC，B1CDCC，所以BC1平面B1DC，又B1D平面B1DC，所以B1DBC1，同理可证A1C1平面B1DD1，B1D平面B1DD1，所以B1D^A1C1，BC1,A1C1平面A1BC1，BC1A1C1C1，所以B1D平面A1BC1，故C正确；设BC1B1CM，连接A1M，由B选项可知BM平面A1DCB1，所以BA1M即为A1B与平面A1DCB1所成的角，因为A1M平面A1DCB1，所以A1MBM，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则在RtVA1BM中，A1B所以sinBA1M

2,BM

2，2BM1

，又BA1M为锐角，所以BA1M30，A1B2即A1B与平面A1DCB1所成的角是30，故D正确.故选：BCD第Ⅱ卷（60分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．



9.已知向量a3,2,b1,m,c2,1，ba与c共线，则m___________．【答案】3



解析：由题知，ba2,m2，因为ba与c共线，所以2m2210，解得m3.故答案为：3

10.一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：kg），结

果如下：83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，，74，94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104．一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），则每天应该进___________千克的苹果．【答案】99.5解析：过去30天苹果的日销售量按从低到高排列：55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，，91，93，94，94，96，97，99，99，100，101，104，107，107，1173080%=24，故第80百分位数：故答案为：99.511.如图，圆锥PO的底面直径和高均是1，过PO的中点O做平行与底面的截面，再挖掉一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的表面积是___________．99100

99.52【答案】25π4解析：由题可知，OP1，OP

1111

，OO，圆锥PO的底面半径r1，圆柱OO的底面半径r222245155，则圆锥PO的侧面积S1πrlππ，12224111

π，42451125ππππ.4444圆锥PO的母线长为l

r12OP2

圆柱OO的侧面积S22πr2OO2π

所以剩下几何体的表面积是SS1S2πr12

故答案为：25π.4

12.如图，直线l与ABC的边AB,AC分别相交于点D,E，设ABc,BCa,CAb，ADE,m是

DE方向的单位向量．请你利用所学向量知识，补充完整以下与ABC的边和角之间的关系式：acosBbcosA___________．【答案】ccos

解析：因为BABCCA，所以DEBADE(BCCA)，即DEBADEBCDECA，



又因为DEBADEBAcosEDAcDEcos，

DEBCDEBCcos(B)aDEcos(B)，

DECADECAcos(A)bDEcos(A)，

所以cDEcosaDEcos(B)bDEcos(A)，即acosBbcosAccos故答案为：ccos.

四、解答题：本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．

13.近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，对人群的心血管安全构成威胁．国际上常用身体质量指数BMI

体重(kg)

来衡量人体胖瘦程度是否健康．某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个身高2(m2)居民的体检数据，得到相应的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的中位数；（2）现利用分层抽样的方法，从样本16,20,24,28两组中抽取6个人，再从这6个人中随机抽取两人，求抽取到两人的BMI值不在同一组的概率．【答案】（1）a0.04，23（2）8

15（1）解析：依据频率分布直方图意义，得0.01a0.10.080.0241，即4a0.16，∴a0.04,∵12,20的频率之和为0.2，而20,24的频率为0.4，∴满足频率恰为0.5的位置为20（2）解析：由频率直方图知16,20的频数为16，24,28的频数为32，按照分层抽样抽取6人，则在16,20抽取2人，编号为1，2．在24,28抽取4人，编号为3，4，5，6．从6人随机抽取2人，样本空间为：0.3

423；0.4Ω1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，设事件A“从6人抽取2人的BMI数值不在同一组”，则A

1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,688，∴两人的BMI值不在同一组的概率为．15152．2故PA

14.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinAsinBcosAB（1）求角C的大小；（2）已知b4，ABC的面积为6，求sinB的值．【答案】（1）C（2）sinB（1）解析：π

42552sinAsinBcosABsinAsinBcosAcosBcosAB

22，则cosCcosAB,22π

；，422即cosAB

且C0,π，则C（2）解析：SABC

1

absinC2a6，所以a32，2210,2根据余弦定理可知，c2a2b22abcosC18162324即c10，410bc25根据正弦定理，，即sinB，解得：sinB.2sinBsinC5215.如图，平面ABCD与平面BDEF交于BD,DE平面ABCD，EF∥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且DEEF

2AB．2（1）求证：BF∥平面AEC；（2）求证：DF平面AEC．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（1）解析：如图，设AC与BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，连接OE，不妨令AB

2，则DEEF1．2AB22BO．∵四边形ABCD为正方形，∴BD

∵EF∥平面ABCD，平面ABCD平面BDEFBD,EF面BDEF，∴EF∥BD，∴EF∥OB,EFOB，即四边形BOEF为平行四边形，∴OE∥BF，又OE平面AEC,BF平面AEC，∴BF∥平面AEC．（2）解析：连接OF，∵EF∥DO，EFDO,DEEF，∴四边形ODEF为菱形．∴DFOE．又四边形ABCD为正方形，∴BDAC．∵DE平面ABCD,ACÌ平面ABCD，∴DE

AC．而BDDED，且BD平面BDEF,DE平面BDEF，∴AC平面BDEF，∵DF平面BDEF，∴ACDF．又OEACO,OE,AC平面AEC，∴DF平面AEC．