定角夹定高(学生版)(1)

什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。

我们可以先看一下下面这张动图，在三角形ABC当中，∠BAC是一个定角，过A点作BC边的高线，交BC边与D点，高AD为定值。

AOBDC从动态图中（定角定高动态图.gsp）我们可以看到，

如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。

我们可以先猜想一下，AD过圆心的时候，这个外接圆是最小的，也就是，BC的长是最小的，从而三角形ABC的面积也是最小的。

（定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理） A那么该如何证明呢？

首先我们连接OA，OB，OC，过O点作OH⊥BC于H点.（如图1） 显然OA+OHAD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”。由于∠BAC的大小

OE是一个定值，而且它是圆o的圆周角，因此它所对的圆心角∠AOB的度数，也是

一个定值。

HDC因此OH和圆O的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH也和O的半径，B有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA+OHAD，就可以求得圆O

半径的最小值。 图1 [简证：OA+OHAD

OEDH为矩形，OH=ED，在Rt△AOE中，AO>AE，∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD] 【总结】：

1.定角定高三角形面积最小值时，该三角形为等腰三角形，其定高是所对底边的垂直平分线，或者说定高过该三角形外接圆圆心。

2.定角可以看做是圆周角，因此它所对圆心角不变，往往要通过圆心角所在等腰三角形中解直角三角形。

3.定角定高作用，求这类三角形高所对底的最小值，以及这类三角形最小面积

例1（旋转全等构造）：（2017·曲江区模拟&巧学数学）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=4，AD∥BC，∠B=60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF=60°，则△AEF的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由。 AD

F

CBE

定角定高动态图.gsp例2：（巧学数学）已知等边△ABC，点P是其内部一个动点，且AP=10，M、N分别是AB、AC边上的两个动点，求△PMN周长最小时，四边形AMPN面积的最大值.

A

P

BC

【解题步骤】：

1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r表示圆心到底边距离及底边长； 2.根据“半径+弦心距定高”求r的取值范围；

3.用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值。

【简单探照灯】

1. 如图，在△ABC中，∠ACB=60°，CD为AB边上的高，若CD=4，试判断△ABC的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由.

C

ABD

2. （高新一中6模）问题提出：

（1）如图①，已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，且OP=10，若点M、N分别在射线OA、OB上运动，则△PMN周长的最小值为

（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=45°，AD=22.请计算BC的长。

AAPO①BBD②C（3）某市成功跻身国家中心城市的行列，该市拟在如图③所示的区域，建造城市最大的文化生态公园。已知在四边形ABCD中，∠ABC=60°，公园的设计师想在园中距离点B为100米的点P处修一休息室，同时在AB上选点M，在边BC上选点N，分别连接P、M、N，使△PMN在周长最短的情况下，景观绿化区四边形BMPN的面积最大。设计师的想法能实现吗？如果能，请求出四边形BMPN面积的最大值，若不能，说明理由。

B

PCA D③

3. 如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°，则线段EF的最小值为 ；△CEF面积的最大值为 ；四边形AECF面积的最大值为 . （可将“∠EAF=45°”更改为“∠DAE=∠FEA”同题5）

D A F BEC

4. 如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠D=90°，BC=CD=4，E为CD边上任意一点，连接AE、BE，若∠EAB=∠CBA，△ABE的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。（也可半角模型旋转全等） AD E

BC

5.（难）如图，等边△ABC边长是1，O是外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E.将△BDE沿直线DE折叠，得到BDE'交AC于点F.试求EF的最小值，△CEF面积的最大值 '，若BE

A

D B'OF

BCE

6. （旋转全等转化）在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ADC=150°，过点D作DH⊥BC，垂足为H，若DH=2，求AC的最小值.

A D

BCH

【定角定高求周长最小】 1.（探照灯问题由来） 问题探究：

（1）如图1，已知等边△ABC，边长为4，则△的外接圆的半径长为 .

1（2）如图2，已知在矩形ABCD中，AB=4，对角线BD与边BC的夹角为30°，点E在为边BC上且BE=BC，

4点P是对角线BD上的一个动点，连接PE、PC，求△PEC周长的最小值. 问题解决：

（3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演.其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图3，若将两根管线（AB、AC）和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC）看作一个三角形，记为△ABC，那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.

AA AD

P

BCBCE

BC图3图2

图1

2.在△ABC中，∠BAC=60°，高AD=30,求周长的最小值。

3. 在△ABC中，∠BAC=90°，高AD=2，求△ABC周长的最小值.

【旋转全等构造探照灯】

1.正△ABC边长为2+3，PB⊥AB，PC⊥AC，M，N分别在PB、PC上，∠MAN=30°，则SAMNA最小时，MN=

CB NM

P

2.如图，某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=62，点E、F分别为边AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由。

D F C

AB E

3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，且∠EAF=60°，点E、F分别在BC、CD上，则△AEF面积的最小值是多少？ D A F

C BE

4.如图，四边形ABCD中，AB=AD=42，∠B=45°，∠D=135°，点E，F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF=∠C=60°，求△AEF的面积的最小值.

ADFCBE5.（初中数学优质资源中心20190619）

如图，有一块四边形ABCD板材，AD=403cm，∠C=60°，AD//BC，AB⊥BC，工人师傅想从四边形ABCD的板材中截出一个四边形FMCN部件，且满足F在AB上，BF=80cm，AF=40cm，点M在CD上，点N在BC，∠MFN=90°，这个四边形FMCN部件的面积是否存在最大值？若存在，求AD出面积最大值；若不存在，请说明理由。

M F

CBN

6.如图，O是正方形ABCD的中心，△OEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，OE=AB=4，△OEF绕点O旋转，设它与正方形ABCD的重叠部分的面积为S，求S的取值范围。 ADE

M ON

CBF

7.如图，四边形ABCD边长为6的菱形，其中，A60，E、F分别在射线AB、BC上，∠EDF=90°，求△EDF面积的最小值.

DA E

BFC

8.（2019•碑林区校级模拟）（1）如图1，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D为AB的中点，E，F分别为边AC，BC上的动点，连接EF，DE，DF，①请直接写出△ABC的面积；②若∠EDF=120°，请求出△CEF周长的最小值；

（2）如图2，已知四边形ABCD中，AD=3，AB=2，BC=4，∠B=60°，∠D=90°，E为BC边上一个动点，点F在直线CD上，且满足EA⊥AF，连接EF．试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由．

【旋转位似构造探照灯】

1.（陕西初中数学学堂——定角三角形研究二）

如图，正△ABC边长为3，D、E、F分别在边BC、AB、AC上，BD＝2CD，A∠EDF＝60°，求：△DEF面积的最小值

E

F

BC D

2. （陕西初中数学学堂——定角三角形研究二）

（旋转全等）△ABC，∠A＝120°，AB＝AC＝1，D是BC中点，∠EDF＝120°，求：△DEF面积的最小值

A

E F CBD

3. （陕西初中数学学堂——定角三角形研究二）

在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC上一点，CD＝k•BD，∠EDF＝120°，求：△DEF面积的最小值

A F

E

BCD

4. （陕西初中数学学堂——定角三角形研究二）

在△ABC中，A，AB=AC，D、E、F分别是BC、AB、AC上的点，CDkBD，EDF，(1800)，求△DEF面积的最小值.

（化简需用到高中诱导公式） AF

E

BC D

5.如图，四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=60°，∠D=120°，AD=5，AB=6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，∠EAF=45°，求△AEF面积的最小值.

D

A F EBC

6.如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=60°，∠C=90°，AD=2AB=2，M、N分别在直线BC、CD边上，∠MAN=60°，求△AMN面积最小值.

D

AN

BCM

7.如图，∠MEN=90°，其顶点E为正方形ABCD边BC的中点，正方形的边长为4，将∠MEN绕点E旋转，边EM与正方形的边交于点F，边EN与正方形的边交于点G，求△EFG面积的取值范围. （∠MEN为其他角度。）

N

AGD

MF

CB E

【8字相似构造探照灯】

1. 已知矩形ABCD，AB=10，AD=18，BE:EA=2:3，F、G分别是BC、AD上的动点，满足∠FEG=60°，求△EFG面积的最小值。 FCB

E

AGD

2. （平几大典）∠BAM=∠ABN=90°，∠MPN=60°，AP=2PB=2,求SPMN的最小值

MA

P

BN

【变式】

①定周长；②定角；③定旁切圆。知二推一，求面积最大值

1.（定周长+定角定旁切圆）如图，已知△ABC的周长为6，∠A=120°，求△ABC面积的最大值.

2.（定周长+定角定旁切圆）

【发现问题】如图1，已知△ABC，试确定一点P，使其到△ABC三边距离相等。

【问题探究】如图2，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在DC、CB上，且∠EAF=45°，G为FC的中点，求四边形AEGF的面积.

【问题解决】河北公园要围一个三角形花圃。如图3，结合各项实际因素，将这个三角形花圃（△ABC）的一个内角（∠A）设计为120°，并使其面积最大。现用于围花圃的栅栏有20m，则这个计划是否可行？若可行，求出边BC的长度（结果保留根号）；若不可行，请说明理由。 DAAA

E

BC

图3 CBBCFG 图1图2 A3.（定旁切圆+定周长定周长）如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE恒过△ABC的内心I.点C关于DE的对称点为点C'，DDC'、EC'分别交AB于点F、点G，则FC'GC'的最大值是

C'F

GI

CEB

【定角夹定角分线】

1. （2019定角夹定角分线）如图，在同一平面内的△ABC与△CDE均为等边三角形，∠BCE120°，AE与BD交于点F，直线FC与BE交于点G，若FG=3，则BE最小值是 D

A F

C

EBG

2. （定角夹定角分线）如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AE平分∠BAC与BC交于E，AE=4，试求： （1）求△ABC的面积的取值范围；

A（2）求AB+AC以及△ABC的周长的取值范围.

BEC

【与主题无关】

1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E，H分别在边AB上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG=10，连接EF、HG，则四边形EFGH面积最大值为 .

AHDGEBFC