矩形的性质与判定(第1课时)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论不正确的是 ( )
A.△AOB≌△BOC C.△AOD≌△EOD
B.△BOC≌△EOD D.△AOD≌△BOC
【解析】选A.∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC,∠ADO=∠EDO=∠C=90°, ∵AD=DE,∴BC=DE.
在△BOC与△EOD中,∠EDO=∠C=90°,BC=DE,∠BOC=∠DOE,∴△BOC≌△EOD.故B选项正确.
在△AOD和△EOD中,∠ADO=∠EDO=90°,AD=DE,OD=OD,∴△AOD≌△EOD.故C选项正确.
由B,C知△AOD≌△BOC,故D选项正确. 而A选项找不到全等的元素.
2.如图,在矩形ABCD中,AD=2AB,点M,N分别在边AD,BC上,连接BM,DN,若四边形MBND是菱形,则
等于 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设AM=a,AB=b,则AD=2b,BM=MD=2b-a,在Rt△ABM中,BM2=AB2+AM2,即(2b-a)2=a2+b2,得到b=a,则MD=2b-a=a, ∴
==.
【互动探究】若四边形MBND是菱形,那么△ABM≌△CDN吗?为什么? 【解析】△ABM≌△CDN.∵四边形MBND是菱形,
∴BM∥ND,BN∥MD,∴∠NBM=∠CND,∠NBM=∠AMB,∠AMB=∠CND,又∵∠A= ∠C,AB=CD, ∴△ABM≌△CDN.
3.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是 ( )
A.12
B.24
C.12
D.16
【解题指南】连接BE,先由AD∥BC,可得∠AEF=120°,∠DEF=60°,再根据翻折求出∠BEF=∠DEF,可得∠AEB=60°,最后由勾股定理求出AB后
即可得解.
【解析】选D.如图,连接BE,
在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠AEF=180°-∠EFB=180°-60°=120°, ∠DEF=∠EFB=60°,
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处,∴∠BEF=∠DEF=60°,
∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°-60°=60°, 在Rt△ABE中,BE=2AE=4, AB=
=
=2
,
∵AE=2,DE=6,∴AD=AE+DE=2+6=8, ∴矩形ABCD的面积=AB·AD=2【知识归纳】折叠问题
1.概念:折叠就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°,使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠,其中“折”是过程,“叠”是结果.
2.实质:折叠问题的实质是图形的轴对称变换,折叠前后重合部分一定全等,折叠前后重叠的线段相等,角相等.
×8=16
.
3.解决方法:在解决与折叠问题有关的题目时,要注意相等的量,有时亲手折叠一下,也可以打开思路.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若∠AOB= 60°,AC=10,则AB= . 【解析】如图,∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,AC=10, ∴OA=OB=AC=5. ∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形.∴AB=OA=5.
答案:5
【一题多解】∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC, ∴∠BCO=∠CBO,∵∠AOB=∠BCO+∠CBO, ∴∠BCO=∠AOB=30°,∴AB=AC=5. 答案:5
【变式训练】如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O, ∠AOB=120°,AD=2,则AC的长是 ( )
A.2 B.4 C.2
D.4
【解析】选B.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∵∠AOB=120°,∴∠AOD= 60°,∴△AOD是等边三角形, ∴AC=2AO=2AD=4.
5.如图,矩形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,连接DE和BF,分别取DE,BF的中点M,N,连接AM,CN,MN,若AB=2则图中阴影部分的面积为 . ,BC=2
,
【解析】∵E,F分别是AB,CD的中点,∴四边形EBFD是平行四边形.∵M,N分别是DE,BF的中点,
∴△AEM的面积是△AED面积的一半,△BCN的面积是△BCF面积的一半,平行四边形DFNM的面积是平行四边形EBFD面积的一半,∴阴影部分的面积是矩形面积的一半=AB·BC=2答案:2
.
6.如图,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连接AE,若AE=6.5,AD=5,则AC= ;△ABE的周长
是 .
【解析】∵AD⊥AB,∴△ABD为直角三角形. 又∵点E是BD的中点, ∴BD=AE=BE=6.5,∴∠EAB=∠B, ∴∠AEC=∠B+∠EAB=2∠B=∠C, 即∠AEC=∠C,∴AE=AC=6.5.
在Rt△ABD中,AD=5,BD=2AE=2×6.5=13,
∴AB=12,∴△ABE的周长是AB+AE+BE=12+6.5+6.5=25. 答案:6.5 25 三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,连接AF,CE.
(1)求证:△BEC≌△DFA.
(2)求证:四边形AECF是平行四边形.
【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D=90°,BC=AD,AB=CD, 又E,F分别是边AB,CD的中点,
∴BE=AB,DF=CD.∴BE=DF. ∴△BEC≌△DFA(SAS). (2)∵四边形ABCD是矩形, ∴AE∥CF,AB=CD,
又E,F分别是边AB,CD的中点, ∴AE=AB,CF=CD.∴AE=CF.
又AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.
【互动探究】本题的第(2)小题中,除了可以通过证明AE与CF平行且相等证明四边形AECF是平行四边形,还有哪些方法可以证明四边形AECF是平行四边形?
【解析】还可以通过证明AF与EC平行且相等或两组对边分别相等(平行)或两组对角相等来证明.
8.(8分)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.
(1)求证:OE=OF. (2)若BC=2
,求AB的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴CD∥AB,∴∠FCO=∠EAO,
在△FCO与△EAO中,
∴△FCO≌△EAO(AAS),∴OF=OE. (2)如图,连接OB,
∵BE=BF,OE=OF,∴BO⊥EF.
∵△FCO≌△EAO,∴OA=OC,OB=AC=OA, ∴∠BAC=∠ABO.
在Rt△BEO中,∠BEF=2∠BAC,∠BAC=∠ABO, ∴2∠BAC+∠BAC=90°,解得∠BAC=30°. ∵BC=2
,∴AC=2BC=4
,AB=
=6.
【培优训练】
9.(10分)定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等. 理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O.
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”.
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC, ∵AE=BF,∴四边形ABFE是平行四边形, ∴OE=OB,
∴△AOB和△AOE是“友好三角形”. (2)∵△AOE和△DOE是“友好三角形”, ∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3,
∵△AOB与△AOE是“友好三角形”,∴S△AOB=S△AOE. ∵△AOE≌△FOB,∴S△AOE=S△FOB,
∴S△AOD=S△ABF,∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.
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