矩形及其性质（一）
1．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB＝ 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
2．矩形ABCD的对角线交于O点，一条边的长为1，△AOB是正三角形，则这个矩形的周长为 ．
3．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 S2；（填“＞”或“＜”或“＝”）
4．如图矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为 ．
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5．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为 ．
6．如图，矩形ABCD被分割成一个菱形和两个三角形，如果其中一个三角形的面积是菱形面积的，那么AB：AD的值是 ．
7．如图，在矩形ABCD中，E是直线BC上一点，且CE＝CA，连结AE．若∠BAC＝60°，则∠CAE的度数为 ．
8．已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE＝1，连接AE，∠AOB＝60°，AB＝2，则AE的长为 ．
9．如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，EF⊥AC于点F．若tan∠BAC＝2，EF＝1，则AE的长为 ．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABE沿着AE折叠至△AB'E，若BE＝CE，连接B'C，则B′C的长为 ．
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11．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长到D，连接AD，CD．添加一个条件，使四边形ABCD是矩形（填一个即可）．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，请添加一个条件 ，可得平行四边形ABCD是矩形．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件 ．（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．
14．如图，在▱ABCD中，请再添加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是 ．
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15．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，请你添加一个条件，使它成为矩形，你添加的条件是 ．
16．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是 ． 17．用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有 ．（只要填序号即可）
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等． ②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2＝c2．
④量出两条对角线长，看是否相等．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
19．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥
AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是 ．
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20．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为 ．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°， ∵M为AD中点，
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∴AM＝DM， 在△ABM和△DCM，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）答：四边形MENF是菱形．
证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点， ∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM， ∴NE＝FM，NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形， 由（1）知△ABM≌△DCM， ∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点， ∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
（3）解：当四边形MENF是正方形正方形时，则∠EMF＝90°， ∵△ABM≌△DCM， ∴∠AMB＝∠DMC＝45°，
∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，
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∴AM＝DM＝AB， ∴AD＝2AB，
当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形． 故答案为：2：1．
2．解：在矩形ABCD中，AC＝2OB， ∵△AOB是正三角形， ∴OB＝AB， ∴AC＝2AB， ①AB＝1时，AC＝2， 根据勾股定理，BC＝
＝＝，
所以，矩形的周长＝2（AB+BC）＝2（1+）＝2+2；
②BC＝1时，根据勾股定理，AB2+BC2＝AC2， 所以，AB2+12＝（2AB）2， 解得AB＝
，
所以，矩形的周长＝2（AB+BC）＝2（+1）＝+2；
综上所述，矩形的周长为2+2或+2．
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故答案为：2+2或+2．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，
∴△ABD的面积＝△CDB的面积，△MBK的面积＝△QKB的面积，△PKD的面积＝△NDK的面积，
∴△ABD的面积﹣△MBK的面积﹣△PKD的面积＝△CDB的面积﹣△QKB的面积＝△NDK的面积， ∴S1＝S2． 故答案为S1＝S2． 4．解：连接EB， ∵EF垂直平分BD， ∴ED＝EB，
设AE＝xcm，则DE＝EB＝（4﹣x）cm， 在Rt△AEB中，
AE2+AB2＝BE2，
即：x2+32＝（4﹣x）2， 解得：x＝，
故答案为：cm．
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5．解：如图，当点E在BC的延长线上时，
∵BE＝2CE， ∴BC＝CE， ∵OE⊥BD， ∴OC＝BC＝CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO＝BO＝DO，AD＝BC； ∴BO＝CO＝BC， ∴△BOC是等边三角形， ∴∠ACB＝60° ∴tan∠ACB＝，
∴BC＝
＝AD，
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如图，当点E在线段BC上时，设直线OE与直线AB，CD交于点F，点H，
∵AB∥CD，
∴
，
∴AF＝CH， ∵AB∥CD，
∴△EBF∽△ECH，
∴，
∴BF＝2CH＝2AF， ∴3+AF＝2AF，
∴AF＝3＝AB，且OE⊥BD，∴AO＝AB＝AF＝3， ∵AO＝BO＝CO＝DO， ∴AO＝AB＝BO， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠ABD＝60°
，
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∴tan∠ABD＝∴AD＝3
，
，
或
．
故答案为：3
6．解：∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝CE＝CF， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，CD＝AB ∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL） ∴S△ADE＝S△CBF，
∵一个三角形的面积是菱形面积的，
∴×AD×DE＝×AD×EC， ∴EC＝2DE，
∴AE＝2DE，DC＝3DE＝AB， ∴AD＝
∴AB：AD＝3DE：故答案为：
＝DE，
：1，
DE＝
：1．
7．解：∵∠BAC＝60°，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝30°，
如图，当点E在点B左侧时，
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∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠AEC＝75°， 若点E'在点C右侧时， ∵AC＝CE'， ∴∠CAE'＝∠CE'A，
∵∠ACB＝∠CAE'+∠CE'A＝30°， ∴∠CAE'＝15°，
综上所述：∠CAE的度数为75°或15°， 故答案为75°或15°． 8．解：如图，连接AE，
∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，且∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO＝OB＝AB＝2， 若点E在BO上时，
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∵OE＝1，
∴BE＝EO＝1，且△ABO等边三角形， ∴AE⊥BO， ∴AE＝
＝＝，
若点E'在OD上时， ∴AE'＝
＝＝，
故答案为：或．
9．解：∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，tan∠BAC＝2
∴＝2，
∵AD＝BC，CD＝AB，
∴＝，
∴tan∠EAF＝， ∵EF＝1， ∴AF＝2， ∴AE＝
＝＝，
故答案为：．
10．解：∵将△ABE沿着AE折叠至△AB'E， ∴S△ABE＝S△AB'E，BE＝B'E， ∵BE＝CE，
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∴BE＝EC＝B'E＝3， ∴∠BB'C＝90°， 在Rt△ABE中，AE＝
＝＝5，
∵×AE×BB'＝2××AB×BE，
∴BB'＝＝，
∴B'C＝＝＝，
故答案为：．
11．解：添加BO＝DO， 理由：∵O为AC的中点， ∴AO＝CO， ∵BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 故答案为：BO＝DO．
12．解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC＝90°等（有一个角是直角的平行
四边形是矩形），
故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：AC＝BD或∠ABC＝90°． 13．解：添加的条件是AC＝BD，
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理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为：AC＝BD．答案不唯一． 14．解：可添加AC＝BD， 在平行四边形ABCD中， ∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 15．解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 16．解：添加条件：AC＝BD；理由如下： ∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形； 故答案为：AC＝BD．
17．解：①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别
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相等的四边形是平行四边形，可以判定是否是矩形，故此选项正确；
②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确；
③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2＝c2．可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误；
④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等气且互相平分才是矩形；故此选项错误；
综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②． 故答案为：①②．
18．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8， ∴BC＝
＝10，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DMAN是矩形， ∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
19．解：连接PC．
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∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°； 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形ECFP是矩形， ∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小， 即当CP⊥AB时，PC最小， ∵AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5，
∴AC•BC＝AB•PC，
∴PC＝．
∴线段EF长的最小值为；
故答案是：．
20．证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，OD＝BD＝4， ∴∠AOD＝90°，
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∴AD＝＝5＝CD
∵DE∥AC，CE∥BD
∴四边形OCED为平行四边形， 又∵AC⊥BD
∴四边形OCED为矩形 ∴CD＝OE＝5 故答案为：5
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