1．2 矩形的性质与判定
矩形的性质和判定的应用 专题练习题
1．点D是等腰Rt△ABC斜边BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BC＝
2，则四边形AEDF的周长是( )
2
A．1 B．2 C．3 D．2
2．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为( )
A．(3，1) B．(3，) C．(3，) D．(3，2)
33
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为( )
4
5
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8
5．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD
2C．AB＝AF D．BE＝AD－DF
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，点E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝________．
1
7．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
8．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形．
9．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为( )
9121618A. B. C. D. 5555
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝________度．
12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a.将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝________．
13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE. (1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
2
1
14．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为________．
15．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 答案： 1. B 2. C 3. B 4. C 5. B 6.
2
7. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°， ∴∠BFE＝∠CED，同理∠BEF＝∠EDC.
∠BFE＝∠CED，
在△EBF与△DCE中，EF＝ED，∴△EBF≌△DCE(ASA)．
∠BEF＝∠EDC，∴BE＝CD.∴BE＝AB.∴∠BAE＝∠BEA＝45°.∴∠EAD＝45°. ∴∠BAE＝∠EAD，即AE平分∠BAD.
8. ∵AC＝AB，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠CAD＝∠BAE，∴△ADC≌△AEB，∴DC＝EB，∠ABE＝∠ACD，又∵DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＋∠ABE＝∠ACB＋∠ACD，∴∠EBC＝∠DCB＝90°， ∴▱BCDE是矩形． 9. A 10. D 11. 22.5 12. 23a
13. (1)证明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵OA＝OC， AE＝CF，∴OE＝OF，∴△BOE≌△DOF(AAS)．
(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是矩形．证明如下：∵△BOE≌△DOF，
2∴OB＝OD，又∵OD＝AC，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝OD，
2∴BD＝AC，∴四边形ABCD为矩形． 14. 4或23
1
1
15. (1)证明：如图所示，
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.
(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，
∵CE＝8，CF＝6，∴EF＝1
82＋62＝10，∴OC＝EF＝5.
2
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．
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