什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值
A（定高），∠BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。
我们可以先看一下下面这张动图，在三角形ABC当中，∠BAC是一个定O角，过A点作BC边的高线，交BC边与D点，高AD为定值。
从动态图中（如图定角定高1.gsp）我们可以看到，如果顶角和高，都为BDC定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动
而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。
我们可以先猜想一下，AD过圆心的时候，这个外接圆是最小的，也就是，BC的长是最小的，从而三角形ABC的面积也是最小的。
（定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理） 那么该如何证明呢？
首先我们连接OA,OB,OC。过O点作OH⊥BC于H点.（如图1） 显然OA+OH≥AD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”。由于∠BAC的大小是一个定值，而且它是圆o的圆周角，因此它所对的圆心角∠AOB的度数，也是一个定值。
因此OH和圆O的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH也和⊙𝑂的半径，有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA+OH≥AD，就可以求得圆O半径的最小值。 [简证：OA+OH≥AD
OEDH为矩形，OH=ED，在Rt△AOE中，AO>AE，∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD]
下面我们根据一道例题来说明它的应用。
例：如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=4，AD∥BC，∠B=60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF=60°，则△AEF的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由。
AD
【简答】图中有角含半角模型，因此我们想到旋转的方式来处理.
F
将△ADF绕A点顺时针旋转120°，得△ABF′，则∠EAF′=60°，易证△AEF′≌△AEF，作△AEF′的外接圆⊙O，作
CBEOH⊥BC于点H，AG⊥BC于点G，则∠F′OH=60°，AG=2𝐴𝐵=2√3，设 ⊙O的半径为r，则OH=
√3定角定高1.gsp定角定高.htmlADF𝑂𝐹2
𝑟
= . 2𝑟
4√3 3
1
∵OA+OH≥AG，∴𝑟+2≥2√3，∴𝑟≥∵△FAE=∠F’AE=2∠FOE=60°
OF'BHGEC∴F’E=√3𝑟 ∴𝑆∆𝐴𝐸𝐹=𝑆∆𝐴𝐸𝐹′==
1
⋅𝐸𝐹′⋅𝐴𝐺 2
1
×√3𝑟⋅2√3≥4√3 2
∴△AEF的面积最小值为4√3
以下是两到相关的针对练习题，大家学习完以后可以去自主的完成一项，后面也有详细的解答过程，做完以后大家可以对照一下答案，学会了这种类型题的解法。 解题步骤：
1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r表示圆心到底边距离及底边长； 2.根据“半径+弦心距≥定高”求r的取值范围；
3.用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值。
【针对练习】
1.（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=60°，CD为AB边上的高，若CD=4，试判断△ABC的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由.
（2）如图2，某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6√2，点E、F分别为边AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由。
CD
F C
ADBAEB 图2图1
（1）解：如图1-1
作△ABC的外接圆⊙𝑂，连OA、OB、OC，作OH⊥AB于H ①设⊙𝑂半径为r，则OH=𝑂𝐴=𝑟，AB=2AH=2×
2
2
1
1
√3
𝑂𝐴2
=√3𝑟
②∵CO+HO≥CD 即r+𝑟≥4 得r≥
2
1
83
83③𝑆∆𝑆𝑆𝑆=𝑆𝑆⋅𝑆𝑆=
121×√3𝑆×42=2√3𝑆≥2√3×=
16√3 3
（2）分析：此处求面积最大值，而定角定高一般求面积最小值。 由于：
S四边形AECF=𝑆四边形ABCD−𝑆∆𝑆𝑆𝑆−𝑆∆𝑆𝑆𝑆 =72√2+72−（𝑆∆𝑆𝑆𝑆+𝑆∆𝑆𝑆𝑆）
因此，只要𝑆∆𝑆𝑆𝑆+𝑆∆𝑆𝑆𝑆最小，𝑆四边形AECF面积最大
解：如图1-2所示
在AB上找一点H，使AH=HC。延长AB至G，使BG=FD，连CG，作△CEG的外接圆⊙𝑆 ①证AC为△BAD平分线
②求𝑆四边形ABCD面积。△CHB=45°，AH=CH=√2𝑆𝑆=12 HB=BC=6√2 AB=12+6√2
𝑆四边形ABCD=2𝑆∆𝑆𝑆𝑆=2×2𝑆𝑆⋅𝑆𝑆=𝑆𝑆⋅𝑆𝑆 =(12+6√2)×6√2=72√2+72 ③△CDF≌△CBG，则𝑆∆𝑆𝑆𝑆+𝑆∆𝑆𝑆𝑆=𝑆∆𝑆𝑆𝑆 ④求𝑆∆𝑆𝑆𝑆+𝑆∆𝑆𝑆𝑆=𝑆∆𝑆𝑆𝑆最小面积
∠ECG=135°-90°=45°定角，CB=6√2定高 Ⅰ.设⊙𝑆的半径为r，则EK=OK=2𝑆𝑆=
√2
√2
√212𝑆，EG=2EK=√2𝑆
Ⅱ.CO+OK≥CB 即r+2𝑆≥6√2 r≥12√2−12 Ⅲ.S∆CEG=2𝑆𝑆⋅𝑆𝑆=2×6√2×√2𝑆=6𝑆≥72√2−72 ⑤求𝑆四边形AECF的最大值。
S四边形AECF=𝑆四边形ABCD−𝑆∆𝑆𝑆𝑆−𝑆∆𝑆𝑆𝑆
=72√2+72−（𝑆∆𝑆𝑆𝑆+𝑆∆𝑆𝑆𝑆）
=72√2+72−𝑆∆𝑆𝑆𝑆≥72√2+72−(72√2−72)=144
2.已知等边△ABC，点P是其内部一个动点，且AP=10，M、N分别是AB、AC边上的两个动点，求△PMN周长最小时，四边形AMPN面积的最大值.
A分析：①△PMN最小值即将军饮马问题。如图2-1。
P
BC
11②四边形AMPN面积该如何表示？如图2-2 AP=10，则P在以A为圆心10为半径的圆上 由轴对称性可知，𝑆∆𝑆𝑆1𝑆=𝑆∆𝑆𝑆𝑆，𝑆∆𝑆𝑆2𝑆=𝑆∆𝑆𝑆𝑆
𝑆四边形AMPN=𝑆∆𝑆𝑆𝑆+𝑆∆𝑆𝑆𝑆=𝑆∆𝑆𝑆1𝑆+𝑆∆𝑆𝑆2𝑆=𝑆∆𝑆𝑆1𝑆2−𝑆∆𝑆𝑆𝑆
∵𝑆∆𝑆𝑆1𝑆2=𝑆𝑆⋅𝑆1𝑆2=(𝑆𝑆1)⋅(√3𝑆𝑆1)=
222∴只要𝑆∆𝑆𝑆𝑆最小，则𝑆四边形𝑆𝑆𝑆𝑆最大
③𝑆∆𝑆𝑆𝑆最小，且△MAN=60°定值，AD=2𝑆𝑆1=2𝑆𝑆=5定值，即定角
定高问题
解：①求△PMN周长最小。作P关于AB的对称点𝑆1，作P关AC的对称点𝑆2 ，连𝑆1𝑆2。此时，△PMN周长即为最小（两点之间线段最短）
②四边形AMPN面积表达式。连𝑆𝑆1、𝑆𝑆2，过A作AD⊥𝑆1𝑆2 ∵𝑆𝑆𝑆𝑆=𝑆𝑆𝑆𝑆1，𝑆𝑆𝑆𝑆=𝑆𝑆𝑆𝑆2，𝑆𝑆𝑆𝑆=𝑆𝑆𝑆𝑆+𝑆𝑆𝑆𝑆=60° ∴𝑆𝑆𝑆𝑆1+𝑆𝑆𝑆𝑆2=𝑆𝑆𝑆𝑆+𝑆𝑆𝑆𝑆=𝑆𝑆𝑆𝑆=60° 𝑆𝑆1𝑆𝑆2=𝑆𝑆𝑆𝑆1+𝑆𝑆𝑆𝑆+𝑆𝑆𝑆𝑆2=120° 又𝑆𝑆=𝑆𝑆1=𝑆𝑆2=10 ∴𝑆𝑆𝑆1𝑆2=𝑆𝑆𝑆2𝑆1=30° AD=2𝑆𝑆1=5 𝑆1𝑆=𝑆2𝑆=
1
√3111√34𝑆𝑆2=25√3
112𝑆𝑆1=5√3 𝑆1𝑆2=2𝑆1𝑆=10√3
𝑆∆𝑆𝑆1𝑆2=
1𝑆𝑆⋅𝑆1𝑆2=25√3 2∴𝑆四边形𝑆𝑆𝑆𝑆=𝑆∆𝑆𝑆1𝑆2−𝑆∆𝑆𝑆𝑆=25√3−𝑆∆𝑆𝑆𝑆 ∴当𝑆∆𝑆𝑆𝑆最小时，𝑆四边形𝑆𝑆𝑆𝑆最大
③求𝑆∆𝑆𝑆𝑆的最小值。如图2-3
作△AMN的外接圆⊙𝑆，连OA、OM、ON，作OH⊥MN于H Ⅰ.设⊙𝑆的半径为r，
则OH=𝑆𝑆=𝑆，𝑆𝑆=2𝑆𝑆=2×Ⅱ.AO+OH≥𝑆𝑆，即𝑆+Ⅲ.𝑆∆𝑆𝑆𝑆=𝑆𝑆⋅𝑆𝑆=
12𝑆21212√32𝑆𝑆=√3𝑆
≥5，r≥
10 3525√3 325√331×5×√3𝑆2=√3𝑆≥
2④𝑆四边形𝑆𝑆𝑆𝑆=𝑆∆𝑆𝑆1𝑆2−𝑆∆𝑆𝑆𝑆=25√3−𝑆∆𝑆𝑆𝑆≤25√3−∴四边形AMPN面积最大值为3√3
50=50√3 3这就是我们所说的定价定高类隐形圆的处理方法。相对来说难度还是比较大的，这类题通常会作为中考压轴题出现，如果没有学习过解题方法的话，自己是很难想出来它的做法，希望同学们下去以后多加练习。
只要方法掌握了以后，其实也是很容易拿到满分的。 【同类配题】
1.如图3，四边形ABCD中，AB=AD=4√2，△B=45°，△D=135°，点E，F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF=△C=60°，求△AEF的面积的最小值.
2.如图4，四边形ABCD中，△A=135°，△B=60°，△D=120°，AD=5，AB=6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，△EAF=45°，求△AEF面积的最小值.
3.如图5，四边形ABCD中，△B=∠D=60°，△C=90°，AD=2AB=2，M、N分别在直线BC、CD边上，△MAN=60°，求△AMN面积最小值.
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