如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯
2021年中考数学一轮专练：
矩形及其性质（二）
1．如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若▱ABCD的周长为42cm，FM＝6cm，EF＝8cm，则EM＝ cm，AB＝ cm．
2．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上的一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F，当线段EF的长最小时，cos∠EFD＝ ．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为 ．
4．如图，在矩形ABCD中，AC是矩形ABCD的对角线，并且AC平分∠DAE，AC＝12cm，AD＝9cm，动点P从点E出发，沿EA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜6），则当
t＝ 时，△PQA为等腰三角形．
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
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5．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形
ABOM的周长为 ．
6．矩形的一个角的平分线分一边为3cm和4cm两部分，则这个矩形的对角线的长为 cm． 7．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥
AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，则此时点A的横坐标为 ．
9．如图，将长为2，宽为a的矩形纸片（1＜a＜2）按照以下方法裁剪：①剪去一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；②把剩下的矩形剪去一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的图形恰好是正方形，则a的值为 ．
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10．已知矩形AOBC的边AO、OB分别在y轴、x轴正半轴上，点C的坐标为（8，6），点E是x轴上任意一点，连接EC，交AB所在直线于点F，当△ACF为等腰三角形时，EF的长为 ．
11．依次连接菱形各边中点所得到的四边形是 ．
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，试添加一个条件： 使四边形ABCD为矩形．
13．四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是 ．（不再添加线或字母，写出一种情况即可） 14．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AB，CD边上的点，且EF∥BC，G为
EF上一点，且GF＝1，M，N分别为GD，EC的中点，则MN＝ ．
15．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为 cm．
16．如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是 ．
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17．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边做矩形CDEF，使边EF过点B，连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D运动过程中，当线段OF有最大值时，点F的坐标为 ．
18．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连结CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连结OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF有最大值时，则点F的坐标为 ．
19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，
DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 cm．
20．小明在体验四边形的不稳定性时，将八根木条用钉子钉成一个边长为10的菱形ABCD和矩形EFGH，它们的边BC，EF在直线l上，其中EF＝8，BD＝2AC，点D落在矩形的边
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HE上（如图①）；在不改变BC、EF位置的前提下，向左推动矩形，使菱形ABCD变成正
方形（如图②），此时小明发现点B、D、G三点共线，则矩形的另一边GF的长为 ．
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参考答案
1．解：∵AE为∠DAB的平分线， ∴∠DAE＝∠EAB＝∠DAB， 同理：∠ABE＝∠CBE＝∠ABC， ∠BCM＝∠DCM＝∠BCD， ∠CDM＝∠ADM＝∠ADC． ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC． ∴∠DAF＝∠BCN，∠ADF＝∠CBN． 在△ADF和△CBN中，
∴△ADF≌△CBN（ASA）． ∴DF＝BN．
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°． ∴∠EAB+∠EBA＝90°． ∴∠AEB＝90°．
同理可得：∠AFD＝∠DMC＝90°． ∴∠EFM＝90°． ∵FM＝6，EF＝8， ∴ME＝
＝10（cm）．
∵∠EFM＝∠FMN＝∠FEN＝90°． ∴四边形EFMN是矩形． ∴EN＝FM＝6．
∵∠DAF＝∠EAB，∠AFD＝∠AEB， ∴△AFD∽△AEB．
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∴＝．
∴
＝
．
∴8DF＝6AF．
设DF＝6k，则AF＝8k． ∵∠AFD＝90°， ∴AD＝10k．
∵∠AEB＝90°，AE＝8（k+1），BE＝6（k+1）， ∴AB＝10（k+1）． ∵2（AB+AD）＝42， ∴AB+AD＝21． ∴10（k+1）+10k＝21． ∴k＝0.55． ∴AB＝15.5（cm）． 故答案为：10；15.5．
2．解：如图，连接CD，
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小， ∵AC＝3，BC＝4， ∴AB＝
＝
＝5，
∵四边形CEDF是矩形， ∴∠EFD＝∠ECD， ∵∠ECD+∠ACD＝90°， ∠A+∠ACD＝90°，
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∴∠ECD＝∠A， ∴∠EFD＝∠A， 在Rt△ABC中，cos∠A＝＝，
∴cos∠EFD＝cos∠A＝． 故答案为：．
3．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10， 连接CP，
∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E， ∴四边形DPEC是矩形， ∴DE＝CP，
当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小， ∴DE＝CP＝
＝4.8，
故答案为：4.8．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝12cm，AD＝9cm， ∴AD＝BC＝12cm，AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴AB＝
，
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∵AC平分∠DAE， ∴∠DAC＝∠CAE， ∵AD∥BC，
∴∠ACE＝∠DAC＝∠CAE． ∴EA＝EC，
设EA＝EC＝xcm，则BE＝9﹣x（cm）， ∵AE2＝BE2＝AB2， ∴
，
解得，x＝8， ∴AE＝EC＝8cm，
由题意知，PE＝tcm，CQ＝2tcm，则AP＝8﹣t（cm），AQ＝12﹣2t（cm）， 当AP＝AQ时，有8﹣t＝12﹣2t，解得t＝4； 当PA＝PQ时，∠PAQ＝∠AQP＝∠ACB， ∴PQ∥CE， ∴
，即
， 解得，t＝0（舍去）；
当QP＝QA时，∠QPA＝∠QAP＝∠ECA， ∵∠PAQ＝∠CAE， ∴△APQ∽△ACE， ∴
，即
，
解得，t＝5．
综上，当t＝4秒或5秒时，△PQA为等腰三角形． 故答案为：4或5．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°， ∴AC＝＝10，
∵AO＝OC， ∴BO＝AC＝5，
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∵AO＝OC，AM＝MD＝4， ∴OM＝CD＝3，
∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18． 故答案为18．
6．解：如图所示：
∵△ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AC＝BD，∠C＝90°， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AB＝AE；
当AE＝4cm时，AB＝4cm；AD＝7cm， ∴BD＝
＝
＝
（cm）；
当AE＝3cm时，AB＝3cm，AD＝7cm， ∴BD＝
＝
＝
（cm）；
即这个矩形的对角线的长为cm或cm；
故答案为：
或
．
7．解：①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M． 则CM∥AE，DM＝MF， 延长CM交AD于点G， ∴AG＝GD＝1，
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∵AG∥EC，AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形， ∴CE＝AG＝1，
∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形．
②DF＝DC时，则DC＝DF＝1， ∵DF⊥AE，AD＝2， ∴∠DAE＝30°， ∴∠AEB＝30° 则BE＝
∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形；
③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点． ∵AB＝1，BE＝x， ∴AE＝
， AF＝，
∵△ADF∽△EAB， ∴
＝
，
＝，
x2﹣4x+1＝0，
解得：x＝2﹣或2+
（舍弃），
∴当BE＝2﹣
时，△CDF是等腰三角形．
综上，当BE＝1、、2﹣时，△CDF是等腰三角形． 故答案为：1或
或2﹣
．
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8．解：如图，取AD的中点M，连接MC，OM，过点O作ON⊥AD，如图所示：
∵矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6，M为AD的中点， ∴DC＝AB＝4，DM＝AM＝AD＝BC＝3， ∴在Rt△CDM中，由勾股定理得CM＝5， 在Rt△AOD中，OM＝AD＝3， ∵当OC不过点M时，OM+CM＞OC
∴当O、C、M共线时，点C到点O的距离有最大值，最大值为8． ∵当O、C、M共线时，∠DMC＝∠NMO，∠CDM＝∠OMN＝90°，
∴△CMD∽△OMN， ∴＝＝
，
∴
＝
＝，
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∴MN＝，ON＝，
∴在Rt△OAN中，OA＝＝＝
．
∴此时点A的横坐标为．
故答案为：
．
9．解：第一次操作后剩下的矩形长为：2﹣a，
第二次操作后剩下的矩形的边长分别为：2﹣a，2a﹣2， 当2﹣a＞2a﹣2，a＜时，2﹣a＝2（2a﹣2）， 解得：a＝；
当2﹣a＜2a﹣2，a＞时，2（2﹣a）＝2a﹣2， 解得：a＝；
综上所述，a的值为或； 故答案为：或．
10．解：△ACF为等腰三角形有三种情况： ①如图①，当AF＝CF时，点E与点O重合，
由题意得OB＝8，BC＝6， ∴由勾股定理得OC＝10， ∵四边形AOBC为矩形， ∴EF＝5；
②如图②，当AF＝AC＝8时，
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由①可知OC＝10， ∵四边形AOBC为矩形， ∴AB＝OC＝10，AC∥OB， ∴△AFC∽△BFE， ∴
＝
＝
，
∴BE＝BF＝10﹣8＝2，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝2
，
∴
＝
＝4，
∴EF＝CE＝
；
③如图③，当CF＝AC＝8时，过点C作CD⊥AF于点D，
∴AD＝DF，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10， ∴CD＝
＝
，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝
，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣
＝
，DF＝AD＝
，AF＝
，BF＝DF﹣BD＝
，
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∵AC∥OE， ∴△AFC∽△BFE， ∴
＝
，
∴＝，
∴BE＝， ∵CF＝AC， ∴EF＝BE， ∴EF＝．
综上所述，EF的长为5或或．
故答案为：5或
或．
11．解：连接AC、BD交于O，
∵E、F、G、H分别是AB、AD、CD、BC的中点， ∴EF∥BD，FG∥AC，HG∥BD，EH∥AC， ∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵EF∥BD，EH∥AC， ∴EF⊥EH， ∴∠FEH＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形， 故答案为：矩形．
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12．解：添加条件：AC＝BD；理由如下： ∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形；
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 13．解：添加AD＝BC， ∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 故答案为：AD＝BC．
14．解：作MH⊥CD于H，NQ⊥CD于Q，MK⊥NQ于K，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°，CB＝CD＝4， ∵EF∥BC， ∴EF⊥CD，
∴四边形BCFE为矩形， ∴EF＝BC＝4，
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∴MH∥EF，NQ∥EF， ∵MH∥GF， ∵
＝
＝
，M点为DG的中点，
∴MH＝GF＝，DH＝DF， 同理可得NQ＝EF＝2，CQ＝CF， ∴HQ＝（DF+CF）＝CD＝2， 易得四边形MKQH为矩形， ∴KQ＝KH＝，MK＝HQ＝2， ∴NK＝NQ﹣KQ＝2﹣＝ 在Rt△MNK中，MN＝＝．
故答案为．
15．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm， ∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°， ∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°， ∴四边形AEPF为矩形，
连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小， 当AP⊥BC时，AP的值最小，
根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC， ∴AP＝
＝
＝
，
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∴EF的最小值为．
故答案为
．
16．解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°， ∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC， ∴四边形ABFQ是矩形， ∴AB＝FQ＝DC＝4， ∵AD∥BC，
∴∠QEF＝∠BFE＝45°， ∴EQ＝FQ＝4，
∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3， 故答案为：3．
17．解：当点D与点A重合时，如图： ∵S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD， ∴S矩形OABC＝12， ∵C点坐标为（0，3）， ∴OC＝3， ∴OA＝4，
∵∠CFB＝90°，C、B均为定点，
∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，
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则MF＝BC＝2，OM＝＝，
∴OF的最大值＝OM+BC＝
+2，即O、M、F三点共线，
设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x， ∴（2x）2+（3x）2＝（+2）2，
解得：x1＝
，x2＝﹣
（舍去），
∴点F的坐标为：（，
），
故答案为：（
，
）．
18．解：当点D与点A重合时，如图： ∵S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD， ∴S矩形OABC＝12， ∵C点坐标为（0，3）， ∴OC＝3， ∴OA＝4，
∵∠CFB＝90°，C、B均为定点，
∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M， 则MF＝BC＝2，OM＝＝
，
∴OF的最大值＝OM+BC＝
+2，即O、M、F三点共线，
设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x， ∴（2x）2+（3x）2＝（+2）2， 解得：x＝（负值舍去）
∴2x＝
+2，3x＝
+3
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∴点F坐标（，+3） 故答案为：（
，
+3）
19．解：如图，连接CD．
∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm， ∴AB＝
＝5（cm），
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小， 此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD， 即×4×3＝×5•CD， 解得CD＝2.4（cm）， ∴EF＝2.4cm． 故答案为2.4．
20．解：如图①，连接AC，BD交于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵BD＝2AC， ∴BO＝2AO，
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∵AB＝10，
∴设AO＝x，BO＝2x， ∴x2+（2x）2＝102， 解得：x＝2，
∴BD＝2BO＝8
，OC＝OA＝2
，
∵∠BOC＝∠BED＝90°，∠OBC＝∠EBD， ∴△BOC∽△BED， ∴，
∴
＝，
∴BE＝16，
如图②，连接BG，则D点在BC上， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝10， ∴CD＝BC＝10， ∴CE＝6， ∴DE＝＝2
，
∵GH∥BF， ∴△HDG∽△EDB， ∴
，
∵GH＝EF＝8， ∴
＝
，
∴DH＝， ∴HE＝3
，
∴矩形的另一边GF的长为3，
故答案为：3
．
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