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北师大版数学九年级上期末复习专题:矩形性质与判定(二)

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北师版数学九年级上期末复习专题:

矩形性质与判定(二)

1.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上,矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上,矩形的边AB=a,BC=b,∠DAO=x,则点C到x轴的距离等于( )

A.acosx+bsinx C.asinx+bcosx

B.acosx+bcosx D.asinx+bsinx

2.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为( )

A. B. C. D.

3.如图,矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,过点B作BF⊥AC交CD于点F,交

AC于点M,过点D作DE∥BF交AB于点E,交AC于点N,连接FN,EM.则下列

结论: ①DN=BM; ②EM∥FN; ③AE=FC;

④当AO=AD时,四边形DEBF是菱形. 其中,正确结论的个数是( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的A'处.若∠DBC=24°,则∠A'EB等于( )

A.66° B.60° C.57° D.48°

5.如图,∠BOD=45°,BO=DO,点A在OB上,四边形ABCD是矩形,连接AC、

BD交于点E,连接OE交AD于点F.下列4个判断:①OE平分∠BOD;②OF=BD;

③DF=

AF;④若点G是线段OF的中点,则△AEG为等腰直角三角形.正确判断

的个数是( )

A.4 B.3 C.2 D.1

6.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,M是对角线BD上的动点,过点M作ME⊥BC于点E,连接AM,当△ADM是等腰三角形时,ME的长为( ) A.

B.

C.

D.

7.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB:BC=3:2,过点B作BE∥

AC,过点C作CE∥DB,BE、CE交于点E,连接DE,则tan∠EDC=( )

A. B. C. D.

8.如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若

BE=3,AF=5,则AC的长为( )

A.4 B.4 C.10 D.8

9.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB:BC=2:1,且BE∥AC,

CE∥DB,连接DE,则tan∠EDC=( )

A. B. C. D.

10.如图,在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O,CE⊥BD,垂足为点E,CE=5,且EO=2DE,则AD的长为( )

A.5 B.6 C.10 D.6

11.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.内角和为360° C.对角线相等

B.对角线互相平分 D.对角线互相垂直

12.如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设∠PAD=θ1,∠PBA=θ2,∠

PCB=θ3,∠PDC=θ4,若∠APB=80°,∠CPD=50°,则( )

A.(θ1+θ4)﹣(θ2+θ3)=30° C.(θ1+θ2)﹣(θ3+θ4)=70°

B.(θ2+θ4)﹣(θ1+θ3)=40° D.(θ1+θ2)+(θ3+θ4)=180°

13.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为边AD上一个动点,连结BE,取BE的中点G,点G绕点E逆时针旋转90°得到点F,连结CF,则△CEF面积的最小值是( )

A.4 B. C.3 D.

14.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,EB∥DF且BE与DF之间的距离为3,则

AE的长是( )

A. B. C. D.

15.如图所示,点O是矩形ABCD对角线AC的中点,OE∥AB交AD于点E.若OE=3,BC=8,则OB的长为( )

A.4 B.5 C. D.

16.如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F,连结BF交AC于点M,连结DE、BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:①FB垂直平分OC;②△EOB≌△CMB;③DE=EF;④S△AOE:S△BCM=2:3.其中正确结论的个数是( )

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

17.如图,已知四边形ABCD是矩形,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接

DE.若DE:AC=3:5,则的值为( )

A. B. C. D.

18.如图,点E是矩形ABCD的边CD上一点,把△ADE沿AE对折,点D的对称点F恰好落在BC上,已知折痕AE=10( )

cm,且tan∠EFC=,那么该矩形的周长为

A.72cm B.36cm C.20cm D.16cm

19.下列说法正确的是( )

A.有两边和一角分别相等的两个三角形全等 B.有一组对边平行,且对角线相等的四边形是矩形

C.如果一个角的补角等于它本身,那么这个角等于45° D.点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度

20.顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形,再顺次连接所得四边形四边中点得到的图形是( ) A.等腰梯形

B.正方形

C.菱形

D.矩形

1.解:作CE⊥y轴于E,如图: ∵四边形ABCD是矩形,

∴CD=AB=a,AD=BC=b,∠ADC=90°, ∴∠CDE+∠ADO=90°, ∵∠AOD=90°, ∴∠DAO+∠ADO=90°, ∴∠CDE=∠DAO=x, ∵sin∠DAO=

,cos∠CDE=

∴OD=AD×sin∠DAO=bsinx,DE=CD×cos∠CDE=acosx, ∴OE=DE+OD=acosx+bsinx, ∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx; 故选:A.

2.解:∵AB=6,BC=8, ∴矩形ABCD的面积为48,AC=∴AO=DO=

=10,

AC=5,

∵对角线AC,BD交于点O, ∴△AOD的面积为12, ∵EO⊥AO,EF⊥DO,

∴S△AOD=S△AOE+S△DOE,即12=∴12=

×5×EO+

×5×EF,

AO×EO+DO×EF,

∴5(EO+EF)=24,

∴EO+EF=故选:C.

3.解:∵四边形ABCD是矩形,

∴AB=CD,AB∥CD,∠DAE=∠BCF=90°,OD=OB=OA=OC,AD=BC,

AD∥BC,

∴∠DAN=∠BCM, ∵BF⊥AC,DE∥BF, ∴DE⊥AC,

∴∠DNA=∠BMC=90°, 在△DNA和△BMC中,∴△DNA≌△BMC(AAS),

∴DN=BM,∠ADE=∠CBF,故①正确; 在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF(ASA), ∴AE=FC,DE=BF,故③正确; ∴DE﹣DN=BF﹣BM,即NE=MF, ∵DE∥BF,

∴四边形NEMF是平行四边形, ∴EM∥FN,故②正确; ∵AB=CD,AE=CF, ∴BE=DF, ∵BE∥DF,

∴四边形DEBF是平行四边形, ∵AO=AD, ∴AO=AD=OD, ∴△AOD是等边三角形, ∴∠ADO=∠DAN=60°,

, ,

∴∠ABD=90°﹣∠ADO=30°, ∵DE⊥AC,

∴∠ADN=ODN=30°, ∴∠ODN=∠ABD, ∴DE=BE,

∴四边形DEBF是菱形;故④正确; 正确结论的个数是4个, 故选:D.

4.解:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠ABC=90°,

由折叠的性质得:∠BA'E=∠A=90°,∠A'BE=∠ABE, ∴∠A'BE=∠ABE=

(90°﹣∠DBC)=

(90°﹣24°)=33°,

∴∠A'EB=90°﹣∠A'BE=90°﹣33°=57°; 故选:C.

5.解:①∵四边形ABCD是矩形, ∴EB=ED, ∵BO=DO, ∴OE平分∠BOD, 故①正确;

②∵四边形ABCD是矩形, ∴∠OAD=∠BAD=90°, ∴∠ABD+∠ADB=90°, ∵OB=OD,BE=DE, ∴OE⊥BD,

∴∠BOE+∠OBE=90°, ∴∠BOE=∠BDA,

∵∠BOD=45°,∠OAD=90°, ∴∠ADO=45°, ∴AO=AD,

∴△AOF≌△ABD(ASA), ∴OF=BD, 故②正确;

③∵△AOF≌△ABD, ∴AF=AB, 连接BF,如图1,

∴BF=,

∵BE=DE,OE⊥BD, ∴DF=BF, ∴DF=故③正确;

④根据题意作出图形,如图2,

∵G是OF的中点,∠OAF=90°, ∴AG=OG, ∴∠AOG=∠OAG,

∵∠AOD=45°,OE平分∠AOD, ∴∠AOG=∠OAG=22.5°,

∴∠FAG=67.5°,∠ADB=∠AOF=22.5°, ∵四边形ABCD是矩形, ∴EA=ED,

∴∠EAD=∠EDA=22.5°,

∴∠EAG=90°,

∵∠AGE=∠AOG+∠OAG=45°, ∴∠AEG=45°, ∴AE=AG,

∴△AEG为等腰直角三角形, 故④正确; 故选:A.

6.解:①当AD=DM时. ∵四边形ABCD是矩形,

∴∠C=90°,CD=AB=3,AD=BC=4, ∴BD=

=5,

∴BM=BD﹣DM=5﹣4=1, ∵ME⊥BC,DC⊥BC, ∴ME∥CD, ∴∴

==

, , .

∴ME=

②当M′A=M′D时,易证M′E′是△BDC的中位线, ∴M′E′=故选:CCD=,

7.解:∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB:BC=3:2, ∴设AB=3x,BC=2x.

如图,过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F,连接OE交BC于点G. ∵BE∥AC,CE∥BD,

∴四边形BOCE是平行四边形, ∵四边形ABCD是矩形, ∴OB=OC,

∴四边形BOCE是菱形. ∴OE与BC垂直平分, ∴EF=

AD==x,OE∥AB,

∴四边形AOEB是平行四边形, ∴OE=AB, ∴CF=

OE=AB=

x.

∴tan∠EDC=故选:A.

8.解:连接AE,如图: ∵EF是AC的垂直平分线, ∴OA=OC,AE=CE, ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=90°,AD∥BC, ∴∠OAF=∠OCE, 在△AOF和△COE中,∴△AOF≌△COE(ASA), ∴AF=CE=5,

∴AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8, ∴AB=

=4,

∴AC=故选:A.

==4;

9.解:∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB:BC=2:1, ∴BC=AD,

设AB=2x,则BC=x.

如图,过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F,连接OE交BC于点G. ∵BE∥AC,CE∥BD, ∴四边形BOCE是平行四边形, ∵四边形ABCD是矩形, ∴OB=OC,

∴四边形BOCE是菱形. ∴OE与BC垂直平分, ∴EF=

AD=x,OE∥AB,

∴四边形AOEB是平行四边形, ∴OE=AB=2x, ∴CF=

OE=x.

∴tan∠EDC=故选:B.

10.解:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ADC=90°,BD=AC,OD=∴OC=OD,

BD,OC=AC,

∵EO=2DE,

∴设DE=x,OE=2x, ∴OD=OC=3x,AC=6x, ∵CE⊥BD,

∴∠DEC=∠OEC=90°, 在Rt△OCE中, ∵OE2+CE2=OC2, ∴(2x)2+52=(3x)2, ∵x>0, ∴DE=∴CD=∴AD=故选:A.

11.解:矩形和菱形的内角和都为360°,矩形的对角线互相平分且相等,菱形的对角线垂直且平分,

∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等, 故选:C.

12.解:∵矩形ABCD, ∴∠BAD=∠BCD=90°,

∴∠BAP=90°﹣θ1,∠DCP=90°﹣θ3,

∴△ABP中,90°﹣θ1+θ2+80°=180°,即θ2﹣θ1=10°,① △DCP中,90°﹣θ3+θ4+50°=180°,即θ4﹣θ3=40°,② 由②﹣①,可得(θ4﹣θ3)﹣(θ2﹣θ1)=30°, 即(θ1+θ4)﹣(θ2+θ3)=30°, 故选:A.

,AC=6

==

, =5

13.解:过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H, ∵∠A=∠H=90°,∠FEB=90°, ∴∠FEH=90°﹣∠BEA=∠EBA, ∴△FEH∽△EBA, ∴

设AE=x, ∵AB=4,AD=2, ∴HF=x,EH=2,DH=x, ∴

CEF面

=,

∴当x=1时,△CEF面积的最小值是.

故选:B.

14.解:如图所示:过点D作DG⊥BE,垂足为G,则GD=3.

∵∠A=∠G,∠AEB=∠GED,AB=GD=3,

∴△AEB≌△GED. ∴AE=EG.

设AE=EG=x,则ED=4﹣x,

在Rt△DEG中,ED2=GE2+GD2,x2+32=(4﹣x)2,解得:x=故选:C.

15.解:∵四边形ABCD是矩形 ∴AB∥CD,AD=BC=8, ∵OE∥AB ∴OE∥CD ∴

,且AO=

AC,OE=3

∴CD=6,

在Rt△ADC中,AC=∵点O是斜边AC上的中点, ∴BO=

=10

AC=5

故选:B.

16.解:①∵矩形ABCD中,O为AC中点, ∴OB=OC, ∵∠COB=60°, ∴△OBC是等边三角形, ∴OB=BC, ∵FO=FC, ∴FB垂直平分OC, 故①正确;

②∵△BOC为等边三角形,FO=FC, ∴BO⊥EF,BF⊥OC, ∴∠CMB=∠EOB=90°, ∴BO≠BM,

∴△EOB与△CMB不全等;

故②错误;

③易知△ADE≌△CBF,∠1=∠2=∠3=30°, ∴∠ADE=∠CBF=30°,∠BEO=60°, ∴∠CDE=60°,∠DFE=∠BEO=60°, ∴∠CDE=∠DFE, ∴DE=EF, 故③正确;

④易知△AOE≌△COF, ∴S△AOE=S△COF, ∵S△COF=2S△CMF,

∴S△AOE:S△BCM=2S△CMF:S△BCM=∵∠FCO=30°, ∴FM=∴

,BM=,

CM,

∴S△AOE:S△BCM=2:3, 故④正确;

所以其中正确结论的个数为3个; 故选:B.

17.解:∵矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处, ∴∠BAC=∠EAC,AE=AB=CD, ∵矩形ABCD的对边AB∥CD, ∴∠DCA=∠BAC, ∴∠EAC=∠DCA,

设AE与CD相交于F,则AF=CF, ∴AE﹣AF=CD﹣CF, 即DF=EF, ∴

又∵∠AFC=∠EFD, ∴△ACF∽△EDF, ∴

设DF=3x,FC=5x,则AF=5x, 在Rt△ADF中,AD=

=4x,

又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x, ∴

故选:A.

18.解:在矩形ABCD中,AB=CD,AD=BC,∠B=∠D=90°, ∵△ADE沿AE对折,点D的对称点F恰好落在BC上, ∴∠AFE=∠D=90°,AD=AF, ∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°, ∠BAF+∠AFB=90°, ∴∠BAF=∠EFC, ∵tan∠EFC=

∴设BF=3x、AB=4x, 在Rt△ABF中,AF=∴AD=BC=5x,

∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x,

=5x,

∵tan∠EFC=,

∴CE=CF•tan∠EFC=2x•∴DE=CD﹣CE=4x﹣

x,

x=x,

在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2, 即(5x)2+(

x)2=(10)2,

整理得,x2=16, 解得x=4,

∴AB=4×4=16cm,AD=5×4=20cm, 矩形的周长=2(16+20)=72cm. 故选:A.

19.解:A.有两边和一角分别相等的两个三角形全等;不正确;

B.有一组对边平行,且对角线相等的四边形是矩形;不正确; C.如果一个角的补角等于它本身,那么这个角等于45°;不正确; D.点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度;正确;

故选:D.

20.解:∵等腰梯形的两条对角线相等,

∴顺次连接等腰梯形四边中点得到的四边形是菱形, ∵菱形的对角线互相垂直,

∴再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是矩形. 故选:D.

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