北师大版数学九年级上期末复习专题：矩形性质与判定(二)

矩形性质与判定（二）

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（ ）

A．acosx+bsinx C．asinx+bcosx

B．acosx+bcosx D．asinx+bsinx

2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）

A． B． C． D．

3．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交

AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列

结论： ①DN＝BM； ②EM∥FN； ③AE＝FC；

④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形． 其中，正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（ ）

A．66° B．60° C．57° D．48°

5．如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、

BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；

③DF＝

AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断

的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

6．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M是对角线BD上的动点，过点M作ME⊥BC于点E，连接AM，当△ADM是等腰三角形时，ME的长为（ ） A．

B．

C．

或

D．

或

7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝3：2，过点B作BE∥

AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝（ ）

A． B． C． D．

8．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若

BE＝3，AF＝5，则AC的长为（ ）

A．4 B．4 C．10 D．8

9．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，

CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（ ）

A． B． C． D．

10．如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（ ）

A．5 B．6 C．10 D．6

11．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A．内角和为360° C．对角线相等

B．对角线互相平分 D．对角线互相垂直

12．如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD＝θ1，∠PBA＝θ2，∠

PCB＝θ3，∠PDC＝θ4，若∠APB＝80°，∠CPD＝50°，则（ ）

A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30° C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）＝70°

B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）＝40° D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）＝180°

13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为边AD上一个动点，连结BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF面积的最小值是（ ）

A．4 B． C．3 D．

14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则

AE的长是（ ）

A． B． C． D．

15．如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E．若OE＝3，BC＝8，则OB的长为（ ）

A．4 B．5 C． D．

16．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE：S△BCM＝2：3．其中正确结论的个数是（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

17．如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接

DE．若DE：AC＝3：5，则的值为（ ）

A． B． C． D．

18．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE＝10（ ）

cm，且tan∠EFC＝，那么该矩形的周长为

A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm

19．下列说法正确的是（ ）

A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等 B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形

C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45° D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度

20．顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边中点得到的图形是（ ） A．等腰梯形

B．正方形

C．菱形

D．矩形

参

1．解：作CE⊥y轴于E，如图： ∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°， ∴∠CDE+∠ADO＝90°， ∵∠AOD＝90°， ∴∠DAO+∠ADO＝90°， ∴∠CDE＝∠DAO＝x， ∵sin∠DAO＝

，cos∠CDE＝

，

∴OD＝AD×sin∠DAO＝bsinx，DE＝CD×cos∠CDE＝acosx， ∴OE＝DE+OD＝acosx+bsinx， ∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx； 故选：A．

2．解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC＝∴AO＝DO＝

＝10，

AC＝5，

∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO，

∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝∴12＝

×5×EO+

×5×EF，

AO×EO+DO×EF，

∴5（EO+EF）＝24，

∴EO+EF＝故选：C．

，

3．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，

AD∥BC，

∴∠DAN＝∠BCM， ∵BF⊥AC，DE∥BF， ∴DE⊥AC，

∴∠DNA＝∠BMC＝90°， 在△DNA和△BMC中，∴△DNA≌△BMC（AAS），

∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确； 在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确； ∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF， ∵DE∥BF，

∴四边形NEMF是平行四边形， ∴EM∥FN，故②正确； ∵AB＝CD，AE＝CF， ∴BE＝DF， ∵BE∥DF，

∴四边形DEBF是平行四边形， ∵AO＝AD， ∴AO＝AD＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠ADO＝∠DAN＝60°，

， ，

∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°， ∵DE⊥AC，

∴∠ADN＝ODN＝30°， ∴∠ODN＝∠ABD， ∴DE＝BE，

∴四边形DEBF是菱形；故④正确； 正确结论的个数是4个， 故选：D．

4．解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°，

由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE， ∴∠A'BE＝∠ABE＝

（90°﹣∠DBC）＝

（90°﹣24°）＝33°，

∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°； 故选：C．

5．解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴EB＝ED， ∵BO＝DO， ∴OE平分∠BOD， 故①正确；

②∵四边形ABCD是矩形， ∴∠OAD＝∠BAD＝90°， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∵OB＝OD，BE＝DE， ∴OE⊥BD，

∴∠BOE+∠OBE＝90°， ∴∠BOE＝∠BDA，

∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°， ∴∠ADO＝45°， ∴AO＝AD，

∴△AOF≌△ABD（ASA）， ∴OF＝BD， 故②正确；

③∵△AOF≌△ABD， ∴AF＝AB， 连接BF，如图1，

∴BF＝，

∵BE＝DE，OE⊥BD， ∴DF＝BF， ∴DF＝故③正确；

④根据题意作出图形，如图2，

，

∵G是OF的中点，∠OAF＝90°， ∴AG＝OG， ∴∠AOG＝∠OAG，

∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD， ∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，

∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，

∴∠EAG＝90°，

∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°， ∴∠AEG＝45°， ∴AE＝AG，

∴△AEG为等腰直角三角形， 故④正确； 故选：A．

6．解：①当AD＝DM时． ∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4， ∴BD＝

＝5，

∴BM＝BD﹣DM＝5﹣4＝1， ∵ME⊥BC，DC⊥BC， ∴ME∥CD， ∴∴

＝＝

， ， ．

∴ME＝

②当M′A＝M′D时，易证M′E′是△BDC的中位线， ∴M′E′＝故选：CCD＝，

．

7．解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝3：2， ∴设AB＝3x，BC＝2x．

如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G． ∵BE∥AC，CE∥BD，

∴四边形BOCE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OC，

∴四边形BOCE是菱形． ∴OE与BC垂直平分， ∴EF＝

AD＝＝x，OE∥AB，

∴四边形AOEB是平行四边形， ∴OE＝AB， ∴CF＝

OE＝AB＝

＝

x．

＝

．

∴tan∠EDC＝故选：A．

8．解：连接AE，如图： ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC，AE＝CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， 在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE＝5，

∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8， ∴AB＝

＝

＝4，

，

∴AC＝故选：A．

＝＝4；

9．解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1， ∴BC＝AD，

设AB＝2x，则BC＝x．

如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G． ∵BE∥AC，CE∥BD， ∴四边形BOCE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OC，

∴四边形BOCE是菱形． ∴OE与BC垂直平分， ∴EF＝

AD＝x，OE∥AB，

∴四边形AOEB是平行四边形， ∴OE＝AB＝2x， ∴CF＝

OE＝x．

＝

＝

．

∴tan∠EDC＝故选：B．

10．解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝∴OC＝OD，

BD，OC＝AC，

∵EO＝2DE，

∴设DE＝x，OE＝2x， ∴OD＝OC＝3x，AC＝6x， ∵CE⊥BD，

∴∠DEC＝∠OEC＝90°， 在Rt△OCE中， ∵OE2+CE2＝OC2， ∴（2x）2+52＝（3x）2， ∵x＞0， ∴DE＝∴CD＝∴AD＝故选：A．

11．解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，

∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等， 故选：C．

12．解：∵矩形ABCD， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴∠BAP＝90°﹣θ1，∠DCP＝90°﹣θ3，

∴△ABP中，90°﹣θ1+θ2+80°＝180°，即θ2﹣θ1＝10°，① △DCP中，90°﹣θ3+θ4+50°＝180°，即θ4﹣θ3＝40°，② 由②﹣①，可得（θ4﹣θ3）﹣（θ2﹣θ1）＝30°， 即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°， 故选：A．

，AC＝6

＝＝

，

＝

， ＝5

，

13．解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H， ∵∠A＝∠H＝90°，∠FEB＝90°， ∴∠FEH＝90°﹣∠BEA＝∠EBA， ∴△FEH∽△EBA， ∴

，

设AE＝x， ∵AB＝4，AD＝2， ∴HF＝x，EH＝2，DH＝x， ∴

△

CEF面

积

＝，

∴当x＝1时，△CEF面积的最小值是．

故选：B．

14．解：如图所示：过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD＝3．

∵∠A＝∠G，∠AEB＝∠GED，AB＝GD＝3，

＝

∴△AEB≌△GED． ∴AE＝EG．

设AE＝EG＝x，则ED＝4﹣x，

在Rt△DEG中，ED2＝GE2+GD2，x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝故选：C．

15．解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AB∥CD，AD＝BC＝8， ∵OE∥AB ∴OE∥CD ∴

，且AO＝

．

AC，OE＝3

∴CD＝6，

在Rt△ADC中，AC＝∵点O是斜边AC上的中点， ∴BO＝

＝10

AC＝5

故选：B．

16．解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点， ∴OB＝OC， ∵∠COB＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC， ∵FO＝FC， ∴FB垂直平分OC， 故①正确；

②∵△BOC为等边三角形，FO＝FC， ∴BO⊥EF，BF⊥OC， ∴∠CMB＝∠EOB＝90°， ∴BO≠BM，

∴△EOB与△CMB不全等；

故②错误；

③易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°， ∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°， ∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°， ∴∠CDE＝∠DFE， ∴DE＝EF， 故③正确；

④易知△AOE≌△COF， ∴S△AOE＝S△COF， ∵S△COF＝2S△CMF，

∴S△AOE：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM＝∵∠FCO＝30°， ∴FM＝∴

＝

，BM＝，

，

CM，

∴S△AOE：S△BCM＝2：3， 故④正确；

所以其中正确结论的个数为3个； 故选：B．

17．解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处， ∴∠BAC＝∠EAC，AE＝AB＝CD， ∵矩形ABCD的对边AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠DCA，

设AE与CD相交于F，则AF＝CF， ∴AE﹣AF＝CD﹣CF， 即DF＝EF， ∴

＝

，

又∵∠AFC＝∠EFD， ∴△ACF∽△EDF， ∴

＝

＝

，

设DF＝3x，FC＝5x，则AF＝5x， 在Rt△ADF中，AD＝

＝

＝4x，

又∵AB＝CD＝DF+FC＝3x+5x＝8x， ∴

＝

＝

．

故选：A．

18．解：在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°， ∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上， ∴∠AFE＝∠D＝90°，AD＝AF， ∵∠EFC+∠AFB＝180°﹣90°＝90°， ∠BAF+∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝∠EFC， ∵tan∠EFC＝

，

∴设BF＝3x、AB＝4x， 在Rt△ABF中，AF＝∴AD＝BC＝5x，

∴CF＝BC﹣BF＝5x﹣3x＝2x，

＝

＝5x，

∵tan∠EFC＝，

＝

∴CE＝CF•tan∠EFC＝2x•∴DE＝CD﹣CE＝4x﹣

x，

x＝x，

在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2， 即（5x）2+（

x）2＝（10）2，

整理得，x2＝16， 解得x＝4，

∴AB＝4×4＝16cm，AD＝5×4＝20cm， 矩形的周长＝2（16+20）＝72cm． 故选：A．

19．解：A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；

B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确； C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确； D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；

故选：D．

20．解：∵等腰梯形的两条对角线相等，

∴顺次连接等腰梯形四边中点得到的四边形是菱形， ∵菱形的对角线互相垂直，

∴再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是矩形． 故选：D．