2011年高考全国百所名校精粹重组卷(7)数学试题

数 学 试 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的。

1．已知m

1＋i

＝1－ni，其中m、n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝

A．1＋2i B．1－2i

C．2＋i

D．2－i

2．若方程x+y-6xy+3k=0仅表示一条射线，则实数k的取值范围是

（ ） A．（-∞,3）

B．（-∞,0]或k=3 C．k=3 D．（- ∞,0）或k=3

3．如果函数f（x）=x2+bx+c对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，那么

A．f(2)f(0)f(2) B．f(0)f(2)f(2)

C．f(2)f(0)f(2)

D．f(0)f(2)f(2)

4．天津“夏季达沃斯论坛”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，

每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 124

A．C12C441412C8

B．C12A4A414128

C．C414C12C8D．C124A3 C4314C128A3

35．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯

彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是

（ ）

A．1205秒

B．1200秒

C．1195秒 D．1190秒 6．已知x<12，则函数y＝2x＋1

2x－1

的最大值是

A．2

B．1

C．－1

D．－2

）

）

（ ） ）

（（

（7．已知A、B、C三点不共线，且点O满足OAOBOC0，则下列结论正确的是

（ ）

12ABBC 3312C．OAABBC

33A．OA

8．在(321ABBC 3321D．OAABBC

33B．OAx21x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是

B．6

C．7

D．8

（ ）

A．5

9．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC

与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是 （ ） A．直线 C．双曲线

B．圆 D．抛物线

10．如图，四边形ABCD是一个边长为1的正方形，△MPN是正方形的一个

内接正三角形，且MN∥AB，若向正方形内部随机投入一个质点，则质 点恰好落在△MPN的概率为 （ ）

13

A． B．

22C．

33 D． 34

11．函数f（x）=x,xP,其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f

x,xM,（x）,x∈P}，f（M）={y|y=f（x）,x∈M}.给出下列四个判断： ①若P∩M=，则f（P）∩f（M）= ③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R 其中正确判断有

A．0个

B．1个

②若P∩M≠，则f（P）∩f（M） ≠； ④若P∪M≠R，则f（P） ∪f（M）≠R.

C．2个

D．4个

（ ）

12．已知yf(x)是偶函数，而yf(x1)是奇函数，且对任意0x1，都有f'(x)0，

则af(

98101106),bf(),cf()的大小关系是 191715 （ ）

A．cab B．cba C．acb D．abc

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 13．若不等式x2ax0的解集是x0x1，则a________ 14．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为 120°，

底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为 .

15．下图是求123…+100的值的程序框图，则正整数n ．

2222开始 i1,s0 ii1 ssi2in? 否 输出s 结束 16．①存在(0, 2)使sinacosa1 3②存在区间（a，b）使ycosx为减函数而sinx＜0 ③ytanx在其定义域内为增函数

④ycos2xsin(⑤ysin|2x2x)既有最大、最小值，又是偶函数

6|最小正周期为π

以上命题错误的为____________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

已知f(x)3cos2111xsinxcosx． 222 （Ⅰ）将f(x)化为Asin(x)k(0，0 （Ⅱ）写出f(x)的最值及相应的x值；

2)的形式；

（Ⅲ）若

36，且f()33，求cos2． 5218．（12分）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽

检以决定是否接收、抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），

若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品. （Ⅰ）求这箱产品被用户接收的概率；

（Ⅱ）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。

（1）求证：AB⊥平面PCB；

（2）求二面角C—PA—B的大小的余弦值。

20．（本小题满分12分）

已知各项都不为零的数列{an}的前n项和是S n，且Sn（1）求证：数列{an}是等差数列；

1anan1（nN﹡），a1=1. 2（2）若数列{bn}满足bn

21．（12分）

2an112an1（nN﹡），求证：2nbn2n3.

i1n定义在区间（－1，1）上的函数f （x）满足：①对任意的x，y∈（－1，1），都有

f （x） + f （y） =f(xy); ②当x∈（－1，0），f （x） > 0. 1xy（1）求证f （x）为奇函数；

（2）试解不等式：f （x） + f （x－1） f().

12x2y222．已知椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线

abl：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点

F1关于直线l的对称点，设AM＝λAB. （Ⅰ）证明：λ＝1－e2； （Ⅱ）若

3，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程. 4

参考答案

一、选择题

m(1－i)mmmmm

1．C [解析]：＝＝－i＝1－ni，∴＝1，n＝＝1.

222221＋i

故m＝2，n＝1，则m＋ni＝2＋i，选C.

2．C [解析]： 令xy=t, 方程x+y-6xy+3k=0为t2-6t+3k=0

∵方程x+y-6xy+3k=0仅表示一条射线 ∴t2-6t+3k=0的0k3

1

3．D [解析]： 依题意，由f(1x)f(x)知，二次函数的对称轴为x= ,因为

2

f(x)x2bxc开口向上，且f（0）=f（1）,f（-2）=f（3）,所以f(0)f(2)f(2)，

选择D.

4．A [解析]: 先从14名志愿者挑选12名参加接待工作，再从12人中依次挑选早、中、晚

12441244三班各4人，则开幕式当天不同的排班种数为C14C12C8C4=C14C12C8

45．C [解析]：每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×

（120-1）=595s．总共就有600+595=1195s．

111

6．C [解析]：y＝2x＋＝－[（1－2x）＋]＋1，由x<可得1－2x>0，

22x－11－2x

根据基本不等式可得（1－2x）＋则ymax＝－1.正确答案为C.

7．D [解析]：依题意，由OAOBOC0得3OAABAC，所以

11

≥2，当且仅当1－2x＝即x＝0时取等号，1－2x1－2x

12OAABBC，选择D

3301n,Cn,Cn8．C [解析]：第5项二项式系数为Cn且Cn中只有Cn最大，故n8．

44常数项是C8()(6x2216)=7． 3x9．D [解析]：∵P到直线直线C1D1的距离就是P到C1的距离,

∴点P到直线BC与点C1的距离相等

故动点P的轨迹所在的曲线是以C1为焦点、以直线BC为准线的抛物线 3

S△MNP43

10．D [解析]：易知质点落在三角形MNP内的概率P＝＝＝.

SABCD1411．A [解析]：①②③④错

若P={1}, M={- 1}则f（P）={1},f（M）={1} 则f（P）∩f（M） ≠故①错 若P={1,2}, M={1}则f（P）={1,2},f（M）={1}则f（P）∩f（M） =故②错

若P={非负实数},M={负实数}则f（P）={ 非负实数},f（M）={ 正实数} 则f（P） ∪f（M）≠R.

故③错

若P={非负实数},M={正实数}则f（P）={ 非负实数},f（M）={ 负实数} 则f（P） ∪f（M）=R.

故④错

12．A [解析]：依题意，yf(x)图像关于y轴成轴对称，因为yf(x1)是奇函数，

所以yf(x1)的对称中心为（0，0），所以yf(x)的对称中心为（1,0），即f（x）=f（-x）=-f（2+x）=f（x+4），因此函数yf(x)的周期为4，有af(9822)f()，1919101251061414bf()f()，cf()f()f()，因为对任意0x1，都有

1919151515f'(x)0，所以yf(x)在[0,1]上为增函数，所以yf(x)在[0,2]上为增函数，又

142225，所以cab. 151919二、填空题

213． 1 , [解析]：不等式xax0的解集是x0x1

2等价于xax0有两个根0,1

22114．π [解析]：因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V＝

33

22π

×π×12×22＝.

3

15．100 [解析]：本题考查算法语言，属中档题.因为第一次判断执行后，i2,s1,第二

22222次判断执行后，i3,s12，而题目要求计算123100，故n=100.

2216．①②③⑤ [解析]：①当(0,2)时sinacosa1，故①错

②若ycosx为减函数则x[2k,2k]③当x分别去,2时，y都是0，故③错

是

④∵ycos2xsin(kZ，此时sinx>0，故②错

2x)=2cos2xcosx1

∴既有最大、最小值，又是偶函数，故④对 ⑤ysin|2x三、解答题

17．（本小题满分12分）

解: （Ⅰ）．f(x)3cos26|最小正周期为

，故⑤错 2111xsinxcosx 2222分

31cosx1sinx223sin(x)32

（Ⅱ）．当x4分

5分

5=2k，kZ即x=2k，kZ时326326分

f(x)得到最小值1当x=2k，kZ即x=2k，kZ时32632

8分

7分

f(x)得到最大值1

（Ⅲ）．由f()sin(∵3)3333得sin() 2523536，∴032，∴cos(3)4 59分

∴sin(2224 )2sin()cos()33325

2710分 )2cos2()13325222222∴cos2cos[(2 )]cos(2)cossin(2)sin333333cos(224375012分

18．解：（Ⅰ）设“这箱产品被用户接收”为事件A，P(A)分

即这箱产品被用户接收的概率为

8767. ……3

1098157． ……4分 15（Ⅱ）的可能取值为1，2，3． ……5分

P1=

21， 105828P2=，

109458728P3=， ……8分

10945∴的概率分布列为：

 1 2 3 ……10分 828 P 45451828109∴E=1． ……12分 23545454519．解：（1）PC平面ABC,AB平面ABC,PCAB. …………1分

1 5CD平面PAB,AB平面PAB,CDAB. …………2分

又PCCDC,AB平面PCB. …………3分 （2）取AP的中点E，连结CE、DE。

PCAC2,CEPA,CE2. …………4分

CD平面PAB,由三垂线定理的逆定理,得DEPA.CED为二面角CPAB的平面角.10分

由（1）AB平面PCB,又ABBC,可求得BC2.

在RtPCB中,PBPC2BC26,CDPCBC222.12分PB63DECE22433.13分3在RtCDE中,cosCED二面角CPAB大小的余弦值为3.14分3

20．（1）当n=1，由a1S11a1a2及a11•,•得a22. 211anan1an1an，得an(an1an1)2an. 22当n2时，由an因为anSnSn10，所以an1an12.

1(n1)22n1，a2n2(n1)22n，nN.

从而a2n1故ann（nN），an1an1，数列{an}是等差数列；

2n111（2）由（1）得bn， 2nn2121因为2n122n(31)2n3，

nn1n3n0221•,•2b2所以3223，3(21)20，， nn32nn1112nbn2n3(2n)，

222i111nn122即2nbn2n3，

1i112n2nbn2n3i1n32n2n3，因此有2nbn2n3.

i1n21．解：（1）解：令x = y = 0，则

f （0） + f （0） = f(00)f(0) ∴ f （0） = 0 10令x∈（－1, 1） ∴－x∈（－1, 1） ∴ f （x） + f （－x） = f （∴ f （－x） =－f （x）

∴ f （x） 在（－1，1）上为奇函数…………………4分

xx1x2） = f （0） = 0

（2）解：令－1< x1 < x2 < 1

则f （x1） －f （x2） = f （x1） + f （－x2） = f(∵x1－x2 < 0，1－x1x2 > 0 ∴

x1x2)

1x1x2

x1x2xx20 ∴ f(1)> 0

1x1x21x1x2

∴ f （x1） > f （x2） ∴ f （x） 在（－1，1）上为减函数 又f （x） + f （x－1） >f()

12f(1f()…………………8分 )21x2x2x1

1x10x1∴ 不等式化为1x112

2x1x5x30121xx2

0x1513513 0x513或x22x2∴ 不等式的解集为{x|0x

513}…………………12分 222．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：yexa与x轴、y轴的交点，

yexa,xc,a22由x2y2得所以A、B的坐标分别是(,0),(0,a).b2这里cab.

e221,y.abab2ab2a 所以点M的坐标是（c,）. 由AMAB得(c,)(,a).

aeaeaacee即2baa解得1e2

证法二：因为A、B分别是直线l：yexa与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(aaa,0),(0,a).设M的坐标是(x0,y0),由AMAB得(x0,y0)(,a), eeeax0(1)所以 ey0a.22x0y0因为点M在椭圆上，所以 221,

aba[(1)]2(a)2(1)22e即21,所以1. 222abe1ee42(1)e2(1)20, 解得e21 （Ⅱ）当即1e2.

13时，c，所以a2c.

24由△MF1F2的周长为6，得2a2c6.

x2y21. 所以a2,c1,bac3. 椭圆方程为43222