【数学】2011年高考全国百所名校精粹重组卷(2)试题

名校精粹重组（9）

数 学 试 卷

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的。 1．若复数z满足(33i)z6i（i是虚数单位），则z=

（ ）

A．33i 22B．

33i 2233i 22

C．

33i 22D．2．如果执行右面的程序框图，那么输出的S （ ）

A．2400 C．2500

B．2450 D．2550

3．设P．Q是两个非空集合，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,1,2}， Q＝{1,2,3,4}，则P*Q中元素的个数是 （ ） A．4个 B．7个 C．12个 D．16个

4．下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列 的一个通项公式为 （ ）

A．an=3n-1 B．an=3n C．an=3n-2n D．an=3n-1+2n-3 5．已知函数f(x)x2(b4a2)x2ab是偶函数，则函数图像与y轴交点的纵坐

标的最大值是

A. - 4

2 （ ）

B. 2 C.3

D.4

（ ）

46．在二项式(x)的展开式中，含x的项的系数是

1x5A．10 B．10 C．5 D．5

7．△ABC的内角A．B．C分别对应边a．b．c，若a．b．c成等比数列且sinA=2sinC，则cosB=

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（ ） A．

1 224 B．

4 C．

3 D．

34 8．已知集合A{(x，y)|xym0}，集合B{(x，y)|x2y21}，若AB，则实数m的取值范围是

A．m2

B．m2 C．m2 D．m2

9．设正数x,y满足xy1，若不等式1xay4对任意的x,y成立，则正实数a的取值 范围是（ ）

A．a4 B．a＞1 C．a1 D．a＞4

10．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为 （ ）

A．

57 B．7244710 C．35 D．70 11．三位同学合作学习，对问题“已知不等式xyax22y2对于x1,2,y2,3恒成立,求a的取值范围”提出了各自的解题思路．

甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”． 乙说：“寻找x与y的关系，再作分析”． 丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”．

参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a的取值范围是

A. [1,) B.[1,) C. [1,4 )

D. 1,6

12．已知抛物线y22px(p0)x2与双曲线a2y2b21(a,b0)有相同的焦点F，点A是

两曲线的一个交点，且AFx轴，若l为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l的斜率可以在下列给出的某个区间内，该区间可以是 A．(0,33) B．(33,1) C．(1,2) D．(2,)

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．若函数f（x）＝2x2－2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．

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（ ）

（ ）

（

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x2(0x1)214．设f(x) 则0f(x)dx=____________

2x(1x2)15．不等式x3x1a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_______． 16．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本题满分12分）青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，

是亚洲较大的海水浴场．这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景色非常秀丽．海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越．

已知海湾内海浪的高度y（米）是时间t（0t24，单位：小时）的函数，记作

yf(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：

t y

0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 1.01 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcostb的图象．

（Ⅰ）根据以上数据，求函数yAcostb的最小正周期T，振幅A及函数表达式； （Ⅱ）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判

断一天内从上午8∶00至晚上20∶00之间，哪段时间可对冲浪爱好者开放？

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18．（本小题满分12分）

某社区为了选拔若干名2010年上海世博会的义务宣传员，从社区300名志愿者中随机抽取了50名进行世博会有关知识的测试，成绩（均为整数）按分数段分成六组： 第

一组40,50,第二组50,60，，第六组90,100，第一．二．三组的人数依次构成等差数列，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．规定成绩不低于66分的志愿者入选为义务宣传员．

（1）求第二组．第三组的频率并补充完整频率分布直方图；

（2）由所抽取志愿者的成绩分布，估计该社区有多少志愿者可以入选为义务宣传员． 频率/组距

0.044

0.012

0.008

0.004

40 50 60 70 80 90 10

19．（本小题满分12分）

如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，

且

CD平面PAB． （I）求证：AB平面PCB；

（II）求异面直线AP与BC所成角的大小； （III）求二面角C-PA-B的大小的余弦值．

C

A

D B

P 分数

20．（本小题满分12分）

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数列an满足a11,a22,an2(1cos2nn)ansin2,n1,2,3,. 22 （Ⅰ）求a3,a4,并求数列an的通项公式； （Ⅱ）设bn

21．（本小题满分12分）

设单调递增函数f(x)的定义域为0,，且对任意的正实数x,y有： f(xy)f(x)f(y)且f()1．

（1）一个各项均为正数的数列an满足:f(sn)f(an)f(an1)1其中Sn为数列

a2n1,Snb1b2bn.，求sn。 a2n12an的前n项和,求数列an的通项公式；

（2）在⑴的条件下，是否存在正数M使下列不等式：

2na1a2anM2n1(2a11)(2a21)(2an1)

对一切nN成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由

22．（本小题满分14分）

x2y22

已知椭圆2＋2＝1（a>b>0）的左．右焦点分别为F1．F2，离心率e＝，右准线

ab2

方程为x＝2．

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（1）求椭圆的标准方程；

→→226

（2）过点F1的直线l与该椭圆相交于M．N两点，且|F2M＋F2N|＝，求直线l的方

3

程．

参考答案

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题 1．A．解析：z336i= i，故选A．

2233i122232502550，故选D． 2．D．解析：S2

3．C解析：选C．a有3种选法，b有4种取法，由乘法原理，有3×4＝12（种）不同取法，

生成12个不同元素．

4．A解析：由题意分析知:a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,则数列{an}可以是首项为a1=1,公比q=3的等

比数列,所以an=a1·qn-1=3n-1．故选A．

5．D．解析：b4a2,令m2ab,即b2am，用数形结合的方法即可得结果，故 选D．

6．D．解析：由题意得

，由正弦定理得a2c，由余弦定理得 ，故cosBr25r3． 47．答案：B 解析：对于Tr1C5(x)41rr103r()r1C5x，对于103r4,r2，x2则x的项的系数是C5(1)210

8．A．解析：如图，A{(x，y)|xym0}表示直线

xym0及其下方区域， B{(x，y)|x2y21}表

22示圆xy1及内部，要使AB，则直线xym0

在圆xy1的下方， 即

2200m2＜1，故m2．

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1a1ayax)min4．因为(xy)()a1()

xyxyxy9．C．解析：只要(1a a12a(a1)2，即()min(a1)2，所以(a1)24a1．

xy410．从10个不同的点中任取4个点的不同取法共有C10=210种，它可分为两类：4点共面

与不共面． 如图10，4点共面的情形有三种： ①取出的4点在四面体的一个面内（如图中的AHGC在面ACD内），

这样的取法有4C种；

②取出的4面所在的平面与四面体的一组对棱平行（如图中的EFGH

与AC．BD平行），这种取法有3种（因为对棱共3组，即AC与BD．BC 与AD．AB与CD）；

③取出的4点是一条棱上的三点及对棱中点（如图中的AEBG），这 样的取法共6种．

4综上所述，取出4个不共面的点的不同取法的种数为C10-

E 46A H

B

F 图10

G C

D

14147（4C+3+6）=141种．故所求的概率为，答案选D． 2107046yy2y1111．B解析：a222()2，又

xxx48yyy2y11y11a222()2，而1,3，2()2= -1，故选B．

xxx48x48manx

pb2b212．D 点A在抛物线上，即A(,p)，点A在双曲线上，即A(c,)，所以有2c，

2aabl的斜率a

二、填空题

13．解析：由f（x）＝2x2－2ax－a－1的定义域为R．

可知2x2－2ax－a≥1恒成立． 即x2－2ax－a≥0恒成立． 解得－1≤a≤0． 答案：[－1,0] 14．答案：

解析：

b22ab22． ac第II卷（非选择题 共90分）

5 62022f(x)dx10xdx1(2x)dx132152x|1(2xx2)|1 32615．(,1][4,)

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n(n＋1)

16．答案：＋1

2

解析：∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…， an－an－1＝n，

n(n＋1)n(n＋1)

∴累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，an＝a1＋－1，∴an＝＋1．

22

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）解: （Ⅰ） 由表中数据，知周期T12，

由t0,y15，得Ab15； 由t3,y10，得b10，

2 T6A05,b1，∴∴振幅为

11,ycost1 226（Ⅱ）由题知，当y1时才可对冲浪者开放，

1cost11,cost0, 2662k,kZ,

262即12k3t12k3,kZ ． 0t24,故可令①∵中的k分别为0,1,2．

得0t3,t2k9t15,21t24．

∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动， 即上午9∶00至下午3∶00．

18．解：（1）二．三两组的人数和为50(0.0040.0440.0120.008)105016

设公差为d，第一组人数为0.00410502人 2d22d16

解得d4 „„„„„„3分

第二组的频率是

24280.12；第三组的频率是0.20„„„„„5分 5050补全频率分布直方图如下图所示

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„„„„„„7分 （2）成绩不低于66分的频率为

4(0.0200.0440.0120.008)100.72„„„„„„10分 10估计可成为义务宣传员的人数为0.72300216人 „„„„„„12分

AB平面ABC，

P19．解法一：（I） ∵PC平面ABC，

∴PCAB．

∵CD平面PAB，AB平面PAB， ∴CDAB．

又PCCDC，

∴AB平面PCB．

（II） 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF． 则PAF 为异面直线PA与BC所成的角． 由（Ⅰ）可得AB⊥BC， ∴CFAF．

由三垂线定理，得PFAF． 则AF=CF=2，PF=PC2CF 2 在RtPFA中， tan∠PAF=

DEBCAF6，

PF6=3， AF2 ∴异面直线PA与BC所成的角为

． 3（III）取AP的中点E，连结CE．DE． ∵PC=AC=2， ∴CE PA，CE=2．

∵CD平面PAB， 由三垂线定理的逆定理，得 DE PA． ∴CED为二面角C-PA-B的平面角．

DPz 由（I） AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=2．

B 在RtPCB中，PB=PC2BC26，

CAyxPCBC222 CD． PB63联系方式 QQ:1365602590 邮箱：zxjkw@163.com

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在RtCDE中， cosCED=

DECE22433． 3∴二面角C-PA-B大小的余弦值为

3 3解法二：（I）同解法一．

（II） 由（I） AB平面PCB，∵PC=AC=2， 又∵AB=BC，可求得BC=2． 以B为原点，如图建立坐标系． 则Ａ（０，2，０），Ｂ（0，0，0）， C（2，０，0），P（2，０，2）．

AP(2,2,2)，BC(2,0,0)．

则APBC22+0+0=2．

cosAP,BCAPBCAPBC=

2222=

1． 2∴异面直线AP与BC所成的角为

． 3（III）设平面PAB的法向量为m= （x，y，z）．

AB(0,2,0)，AP(2,2,2)， 2y0,ABm0,则 即

2x2y2z0.APm0.y0,解得 令z= -1, 得m = （2，0，-1）．

x2z设平面PAC的法向量为n=（x,y,z）．

'''PC(0,0,-2)，AC(2,2,0)，

'2z0,PCn0, 则 即

''2x2y0.ACn0.联系方式 QQ:1365602590 邮箱：zxjkw@163.com

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'z0,'x解得' 令=1, 得 n= （1，1，0）． 'xycosm,nmnmn=2323． 33． 32∴二面角C-PA-B大小的余弦值为

20．解 （Ⅰ）因为a11,a22,所以a3(1cos2)a1sin22a112,

a4(1cos2)a2sin22a24 ………………………2分

*一般地，当n2k1(kN)时，a2k1[1cos2(2k1)2k1]a2k1sin2 22＝a2k11，即a2k1a2k11.

所以数列a2k1是首项为1．公差为1的等差数列，因此a2k1k.

………………………………4分

*当n2k(kN)时，a2k2(1cos22k2k)a2ksin22a2k. 22所以数列a2k是首项为2．公比为2的等比数列，因此a2k2k. …………………………………6分

n1*,n2k1(kN)2故数列an的通项公式为an……………

n2*2,n2k(kN)（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bna2n1nn,………………………………9分 a2n2123n23n, ① 22221123nSn224n1 ② 2222211111n①－②得，Sn23nn1.

22222211[1()n]2n11n. 212n12n2n112Sn联系方式 QQ:1365602590 邮箱：zxjkw@163.com

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所以Sn21nn22.……………………………12分 2n12n2n1221．（本小题满分12分）

⑴．对任意的正数x、y均有f(xy)f(x)f(y)且f()1．„„„2分 又an0且f(Sn)f(an)f(an1)1f(an)f(an1)f()

121f(Sn)f[(an2an)]， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

212又f(x)是定义在0,上的单增函数，Sn(anan)．

212当n1时，a1(a1a1)，a12a10．a10，a11．

2当n2时，2an2Sn2Sn1an2anan12an1，

(anan1)(anan11)0．an0anan11(n2)，an为等差数列，a11,d1，ann．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

⑵．假设M存在满足条件， 即M2na1a2an2n1(2a11)(2a21)(2an1)2na1a2an对一切nN恒成立． „„„„„6分

*令g(n)2n1(2a11)(2a21)(2an1)，

g(n1)2n112n(n1)， „„„„„„„„„„„8分

2n313(2n1)(2n1)2n22n12n34n28n41，„„„„„„„„„„„„„10分 24n8n3g(n1)故g(n)g(n1)g(n)，g(n)单调递增，nN*，g(n)g(1)23． 30M23． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 32＝，ca2

22．解析：（1）由条件有a

c＝2

2

解得a＝2，c＝1．

∴b＝a2－c2＝1．

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x22

所以，所求椭圆的方程为＋y＝1．

2

（2）由（1）知F1（－1,0）．F2（1,0）．

若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1，

2

将x＝－1代入椭圆方程得y＝±．

2

22

不妨设M－1，．N－1，－，

22

22→→

∴F2M＋F2N＝－2，＋－2，－＝（－4,0）．

22

→→∴|F2M＋F2N|＝4，与题设矛盾． ∴直线l的斜率存在．

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x＋1）．

2x2＋y2＝1，

设M（x，y）．N（x，y），联立

1

1

2

2

y＝k(x＋1)

消y得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0．

－4k22k

由根与系数的关系知x1＋x2＝． 2，从而y1＋y2＝k（x1＋x2＋2）＝1＋2k1＋2k2→→又∵F2M＝（x1－1，y1），F2N＝（x2－1，y2）， →→∴F2M＋F2N＝（x1＋x2－2，y1＋y2）． →→∴|F2M＋F2N|2＝（x1＋x2－2）2＋（y1＋y2）2 8k2＋222k24(16k4＋9k2＋1)＝2＝． ＋

4k4＋4k2＋11＋2k21＋2k

4(16k4＋9k2＋1)2262∴＝．

4k4＋4k2＋13化简得40k4－23k2－17＝0，

17

解得k2＝1或k2＝－（舍）．∴k＝±1．

40

∴所求直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1．

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