(完整word版)三角函数图像与性质复习学案

【知识自主梳理】

1．三角函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 对称中心 对称轴 单调性 2.正弦函数y＝sin x 当x＝____________________________________时，取最大值1； 当x＝____________________________________时，取最小值－1. 3．余弦函数y＝cos x

当x＝__________________________时，取最大值1； 当x＝__________________________时，取最小值－1.

【考点巩固训练】

探究点1 三角函数的单调性

例1 求函数y＝2sinπ4－x

的单调递减区间．

变式迁移 (1)求函数y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间；

(2)求函数y＝3tanπx6－4的周期及单调区间．

高一数学期末学案

探究点2 三角函数的值域与最值 例2 求函数y＝3cos x－3sin x，（x∈R）的值域：

互动探究 将条件“x∈R”改为“ x∈[0，π

2

]”，结果如何？

变式迁移 求下列函数的值域：

(1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2； (2)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x.

例3 已知函数f(x)＝2asin(2x－ππ

3)＋b的定义域为[0，2

]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a

和b的值．

变式迁移 设函数f(x)＝acos x＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin(ax＋π

3

)的周期．

三角函数的图像与性质 第1页

《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象》复习学案

【知识自主梳理】

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图，要找五个特征点．如下表所示． x ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.由函数y=sinx的图象得到函数y=Asin(x+)的图象间的两种不同途径：

【考点巩固训练】

探究点1 三角函数的图象及变换

例1设f(x)＝12cos2x＋3sin xcos x＋3

2

sin2x (x∈R)．

(1)画出f(x)在－ππ

2，2上的图象；(2)求函数的单调增减区间； (3)如何由y＝sin x的图象变换得到f(x)的图象？

探究点2 求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

例2 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π

2

，x∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f(x)

的解析式．

变式迁移 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π

2

)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右

侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．

(1)求f(x)的解析式及x0的值；

(2)若锐角θ满足cos θ＝1

3

，求f(4θ)的值．

高一数学期末学案

【课堂自主检测】

1．要得到函数y＝sin

2x－π

4的图象，可以把函数y＝sin 2x的图象( ) A．向左平移π8个单位 B．向右平移π

8个单位

C．向左平移π4个单位 D．向右平移π

4

个单位

2．已知函数f(x)＝sin

ωx＋π

4 (x∈R，ω>0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是 ( )

A.π2 B.3π8 C.ππ4 D.8

3．函数y＝sin2x－π

3的一条对称轴方程是( ) A．x＝πππ5π

6 B．x＝3 C．x＝12 D．x＝12

4．如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是 ( )

A．y＝sinx＋π6 B．y＝sinπ

2x－6 C．y＝cos4x－π3 D．y＝cosπ

2x－6 5．为得到函数y＝cosπ

2x＋3的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象 ( ) A．向左平移5π12个单位长度 B．向右平移5π

12个单位长度

C．向左平移5π5π

6个单位长度 D．向右平移6

个单位长度

6．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示， f(π2)＝－2

3

，则f(0)等于 A．－23 B．－12 C.213 D.2

7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π

2

，x∈R)的图象的一部分如下图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x∈[－6，－2

3

]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．

三角函数的图像与性质 第2页

《三角函数的图像与性质》参

例1 解题导引 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．

解 y＝2sinπ4－x

2sin(x4)，设u＝x4 则2kπ－π2≤u≤2kπ＋π2(k∈Z)，即2kπ－ππ

2≤x≤2kπ＋2 (k∈Z)，

得2kπ－π44≤x≤2kπ＋3π

4 (k∈Z)，

即y＝2sinπ4－x的递减区间为[2kπ－π3π

4,2kπ＋4

](k∈Z)

变式迁移 解 (1)由y＝sinπ3－2x，得y＝－sin

2x－π3， 由－π2＋2kπ≤2x－πππ5π

3≤2＋2kπ，得－12＋kπ≤x≤12

＋kπ，k∈Z，

又x∈[－π，π]，

∴－π≤x≤－712π，－π12≤x≤512π，11

12π≤x≤π.

∴函数y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间为7π511

－π，－12π，－12，12π，12π，π. (2)函数y＝3tanπ6－x4的周期T＝π＝4π. －14



由y＝3tanπ6－x4得y＝－3tanx4－π6， 由－π2＋kπ3

π＋4kπ，k∈Z，

∴函数y＝3tanπ6－x4的单调递减区间为－43π＋4kπ，8

3π＋4kπ

(k∈Z)．

例2y＝3cos x－3sin x＝23cos(x＋π

6)

所以函数y＝3cos x－3sin x，（x∈R）的值域为[－23，23]．

互动探究 ∵x∈[0，πππ2π

2]，∴6≤x＋6≤3

，

∴－12≤cos(x＋π36)≤2

∴－3≤y≤3，故函数值域为[－3，3]．

变式迁移 (1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2＝2cos2x＋2cos x＝2(cos x＋11

2)2－2

，cos x∈[－1,1]．

高一数学期末学案

当cos x＝1时，ymax＝4，

当cos x＝－12时，y11

min＝－2，故函数值域为[－2

，4]．

2

(2)令t＝sin x＋cos x=2sin(x＋4)，则－2≤t≤2s，且. in xcos x＝t－12

∴y＝t＋t2－12＝1

2

(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1；

当t＝2时，y11

max＝2＋2. ∴函数值域为[－1，2

＋2]．

方法总结：

1．对于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝a2＋b2sin(ωx

＋φ)＋c的形式，从而求得函数的最值．

2．关于y＝acos2x＋bcos x＋c(或y＝asin2x＋bsin x＋c)型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．

例3 解题导引 解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．

解 ∵0≤x≤πππ2

2，∴－3≤2x－3≤3

π，

∴－3π

2≤sin(2x－3

)≤1，

2a＋b＝1 a＝12－63若a>0，则，解得＋b＝－5

；

－3ab＝－23＋1232a＋b＝－5 a＝－12＋63

若a<0，则，解得－3a＋b＝1123

.

b＝19－综上可知，a＝12－63，b＝－23＋123或a＝－12＋63，b＝19－123.

变式迁移 解 ∵x∈R，∴cos x∈[－1,1]，

，则a＋b＝1 a＝2

若a>0，解得

；

－a＋b＝－3b＝－1，则a＋b＝－3a＝－2

若a<0 ，解得－a＋b＝1＝－1

.

b所以g(x)＝－sin(2x＋π3)或g(x)＝－sin(－2x＋π

3

)，周期为π.

三角函数的图像与性质 第3页

《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象》参

【例1】 解 y＝11＋cos 2x331－cos 2x

2·2＋2sin 2x＋2·2

＝1＋32sin 2x－1

2

cos 2x＝1＋sin2x－π6. (1)(五点法)设X＝2x－π6，则x＝12X＋π12，令X＝0，π2，π，3π

2，2π，

于是五点分别为π12，1，π3，2，7π5π13π

12，1，6，0，12，1

，描点连线即可得图象：

(2)由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π

2

＋2kπ，k∈Z，

得单调增区间为－π6

＋kπ，kπ＋π

3，k∈Z. 由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π

2

＋2kπ，k∈Z， 得单调减区间为π3

＋kπ，kπ＋5π

6，k∈Z. (3)把y＝sin x的图象向右平移π6个单位；再把横坐标缩短到原来的1

2

倍(纵坐标不变)；最后把所得图

象向上平移1个单位即得y＝sin

2x－π

6＋1的图象．

例2 解题导引 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤：

(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－mM＋m

2，b＝2

.(2)求ω.确定函数的周期T，

则ω＝2π

T.(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．

解 由图象可知A＝2，T＝8.

∴ω＝2π2ππT＝8＝4

.

高一数学期末学案 由图象过点(1,2)，得2sinπ

4×1＋φ

＝2， ∴sinπ4＋φ

＝1. ∴422k,∴42k,kZ |φ|<ππ

ππ2，∴φ＝4

，∴f(x)＝2sin4x＋4.

变式迁移 解 (1)由题意可得：

A＝2，T2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝1

2，

f(x)＝2sin12x＋φ，f(0)＝2sin φ＝1，∴62k,kZ 由|φ|<ππ1π2，∴φ＝6.∴f(x)＝2sin(2x＋6

)．

f(x10)＝2sin2

x＋π

06＝2， 所以12xππ2π

0＋6＝2kπ＋2，x0＝4kπ＋3

(k∈Z)，

又∵xx2π

0是最小的正数，∴0＝3

.

(2)f(4θ)＝2sin2θ＋π

6＝3sin 2θ＋cos 2θ， ∵θ∈0，π2，cos θ＝13，∴sin θ＝223

， ∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－742

9，sin 2θ＝2sin θcos θ＝9，

∴f(4θ)＝3×429－746－7

9＝9

.

【课堂自主检测】参

1.B 2.D 3.D 4.D 5.A 6.C 7．解 (1)由图象知A＝2，

∵T＝2πω＝8，∴ω＝π

4

.…………………………………………………………(2分)

又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π

4

＋φ)＝0.

∵|φ|<ππ2，∴φ＝4

.

∴f(x)＝2sin(ππ

4x＋4

)．…………………………………………………(5分)

(2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sin(π4x＋ππππ

4)＋2sin(4x＋2＋4

)

＝22sin(πππ

4x＋2)＝22cos4x.………………………………………………(8分)

∵x∈[－6，－23]，∴－3π2≤ππ

4x≤－6

. 三角函数的图像与性质 第4页

取得最大值6；

取得最小值－22.………………(12分)

高一数学期末学案 三角函数的图像与性质 第5页ππ2

∴当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)463π

当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)4