2017-2018学年高中数学选修2-1- 课时达标训练十八 共

1．下列结论中，正确的是________(填序号)． ①若a、b、c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc； ②若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc； ③若a、b、c共面，b 、c不共线，则存在实数x、y，使a＝xb＋yc.

12

2．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP＝OA＋OB＋

53λOC确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝________.

3.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D12

上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，则x＋y

33＋z＝________.

4．i，j，k是三个不共面的向量，AB＝i－2j＋2k，BC＝2i＋j－3k，

CD＝λi＋3j－5k，且A、B、C、D四点共面，则λ的值为________．

111

5．命题：若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，OM＝OA＋OB＋OC，

333则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部是________命题(填“真”或“假”)．

111

6．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点O满足OM＝OA＋OB＋OC.

333判断MA，MB，MC三个向量是否共面．

7．若e1，e2，e3是三个不共面的向量，试问向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面，并说明理由．

8．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF

∥AB，AB＝2EF，H为BC的中点．

求证：FH∥平面EDB.

答 案

1．解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提：b、c是不共线向量，否则即使三个向量a、b、c共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．

答案：②③

2．解析：∵P与A，B，C共面，∴AP＝αAB＋βAC，∴AP＝α(OB－OA)＋β(OC－OA)，即OP＝OA＋αOB－αOA＋βOC－βOA ＝(1－α－β)OA＋αOB＋βOC，122∴1－α－β＋α＋β＝1.因此＋＋λ＝1.解得λ＝.

5315

2

答案： 15

21

3．解析：EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－

33

BB1＝AD－AB＋3AA1∴x＝－1，y＝1，z＝3.∴x＋y＋z＝3. 1

答案： 3

4．解析：若A、B、C、D四点共面，则向量AB、BC、CD共面，故存在不全为零的实数a，b，c，

使得aAB＋bBC＋cCD＝0.

即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0. ∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0. ∵i，j，k不共面， a＋2b＋λc＝0，

∴－2a＋b＋3c＝0，2a－3b－5c＝0.答案：1

111

a＝c，

∴b＝－c，λ＝1.

211

5．解析：AM＝OM－OA＝－OA＋OB＋OC

333111

＝(OB－OA)＋(OC－OA)＝(AB＋AC)． 333

2

令BC中点为D，则AM＝AD，∴点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部，故

3命题为真命题．

答案：真

6．解：(1)由已知得OA＋OB＋OC＝3OM， ∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)， 即MA＝BM＋CM＝－MB－MC， ∴MA，MB，MC共面．

7．解：法一：令x(3e1＋2e2＋e3)＋y(－e1＋e2＋3e3)＋z(2e1－e2－4e3)＝0， 亦即(3x－y＋2z)e1＋(2x＋y－z)e2＋(x＋3y－4z)e3＝0， 因为e1，e2，e3是三个不共面的向量， 3x－y＋2z＝0，

所以2x＋y－z＝0，

x＋3y－4z＝0，

x＝－1，

解得y＝7，

z＝5，

从而a＝7b＋5c，a，b，c三个向量共面． 法二：令存在λ，μ，使a＝λb＋μ c成立，

即3e1＋2e2＋e3＝λ(－e1＋e2＋3e3)＋μ(2e1－e2－4e3)， 因为e1，e2，e3是三个不共面向量， 3＝－λ＋2μ，

所以2＝λ－μ，

1＝3λ－4μ.

解这个方程组得λ＝7，μ＝5，

从而a＝7b＋5c，即a，b，c三向量共面．

118．证明：因为H为BC的中点，所以FH＝(FB＋FC)＝(FE＋EB＋FE＋ED221

＋DC)＝(2FE＋EB＋ED＋DC)．

2

因为EF∥AB，CD綊AB，且AB＝2EF， 所以2FE＋DC＝0，

111

所以FH＝(EB＋ED)＝EB＋ED.

222

又EB与ED不共线，根据向量共面的充要条件可知FH，EB，ED共面．由于FH

不在平面EDB内，

所以FH∥平面EDB.