南京市联合体2020年初中毕业生二模考试卷
数学
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） ．．．．．．．1．下列计算中，结果是a5的是
A．a2＋a3
B．a2·a3
C．a10÷a2
D．(a2)3
2．面积为4的正方形的边长是
A．2的平方根
B．4的平方根
C．2的算术平方根 D．4的算术平方根
3．若1＜a＜2，则a可以是
A．1
B．3
C．5
D．7
4．已知一组数据5，6，7，8，9，5，9，若增加一个数7，则新的这组数据与原来相比
A．平均数变大，方差变大 C．平均数不变，方差变小
C．平均数不变，方差变大 D．平均数不变，方差不变
⌒
5．如图，PQ、PB、QC是⊙O的切线，切点分别为A、B、C，点D在BC上，若∠D＝100°，则∠P与∠Q的度数之和是 A．160°
B．140°
C．120°
D．100°
D A' B C B
O
A C Q A P B' (第6题) (第5题)
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转120°， 若P为AB上一动点，旋转后点P的对应点为点P'，则线段PP'长度的最小值是
A．3
B．2 C．3
D．23
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） ．．．．．．．
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7．计算：|－3|＝▲；(－3)2＝▲．
x
8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ▲ ．
x－1
9．某病毒的直径约为0.000 000 1米，用科学记数法表示0.000 000 1是 ▲ ． 10．设x1、x2是方程x2＋mx＋3＝0的两个根，且x1＋x2－x1x2＝1，则m＝ ▲ ． 11．已知圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则其侧面积是 ▲ cm2．（结果保留π） 12．计算(8－3)8＋(8－3)3的结果是 ▲ ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若
BE＝EO，则AD的长是 ▲ ．
O E B
（第13题）
C （第16题） B A A
D
O C 14．用举反例的方法说明命题“若a＜b，则ab＜b2”是假命题，这个反例可以是a＝ ▲ ，
b＝ ▲ ．
15．已知一次函数y1＝x＋2与y2＝－x＋b（b为常数），当x＜1时，y1＜y2．则b的取值范围
是 ▲ ． 3
16. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝10，∠B＝45°，tan C＝，则⊙O的半径是 ▲ ．
2三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说．．．．．．．明、证明过程或演算步骤）
a2－4a＋2a217.（6分）计算（2)－）÷．
a－4a＋4a－2a－2
－1－x≤0，
x并写出它的正整数解． 18.（6分）解不等式组x＋1－1＜，32
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19.（8分）为了解九年级女生体质健康变化的情况，体育李老师本学期从九年级全体240名
女生中随机抽取20名女生进行体质测试，并调取这20名女生上学期的体质测试成绩进行对比，李老师对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a. 两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
（学生人数） 上学期测试成绩频数分布直方图
频数 （学生人数）
本学期测试成绩频数分布直方图
频数
8 7 6 5 4 3 2 1 0 60 70 8090 100 成绩/分
8 7 6 5 4 3 2 1 0 60 7080 90 100 成绩/分
b.成绩在80≤x＜90的是：
上学期：80 81 85 85 85 86 88 本学期：80 82 83 86 86 86 88 89
c. 两个学期样本测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
学期 上学期 本学期 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中a的值是 ▲ ；
（2）下列关于本学期样本测试成绩的结论：①c＝86；②d＝86；③成绩的极差可能为41；
④b有可能等于80．其中所有正确结论的序号是 ▲ ；
（3）从两个不同角度分析这20名女生从上学期到本学期体质健康变化情况．
平均数 84 b 中位数 a c 众数 85 d 第 3 页 共 10 页
20.（8分）经过某路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小
相同，现有甲、乙、丙三辆汽车经过这个路口． （1）求甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的概率；
（2）甲、乙、丙三辆汽车向同一方向行驶的概率是▲．
21.（8分）如图，在ABCD中，AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，垂足为O，连接AE、CF． （1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝5，BC＝7，则AC＝▲时，四边形AECF为正方形．
22.（7分）某超市一种品牌的洗手液一月份的销售总额为8 000元，受2019-nCoV疫情影响，
二月份该超市对此品牌洗手液进行调价，每瓶单价是原来的1.5倍，但销售量仍比一月份增加了1000瓶，二月份的销售额达到了36 000元．该超市这种品牌的洗手液一月份的销售单价是多少元？
23.（8分）如图，为了测量建筑物CD、EF的高度，在直线CE上选取观测点A、B，AC的距
离为40米．从A、B测得建筑物的顶部D的仰角分别为51.34°、68.20°，从B、D测得建筑物的顶部F的仰角分别为64.43°、26.57°． （1）求建筑物CD的高度；
（2）求建筑物EF的高度．
（参考数据：tan51.34°≈1.25，tan68.20°≈2.5，tan64.43°≈2，tan26.57°≈0.5）
B E （第21题）
O
C A
F
D
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24.（9分）某观光湖风景区，一观光轮与一巡逻艇同时从甲码头出发驶往乙码头，巡逻艇匀
速往返于甲、乙两个码头之间，当观光轮到达乙码头时，巡逻艇也同时到达乙码头．设出发x h后，观光轮、巡逻艇离甲码头的距离分别为y1 km、y2 km．图中的线段OG、折线OABCDEFG分别表示y1、y2 与x之间的函数关系． （1）观光轮的速度是▲km/h，巡逻艇的速度是▲km/h； （2）求整个过程中观光轮与巡逻艇的最大距离；
（3）求整个过程中观光轮与巡逻艇相遇的最短时间间隔．
25.（9分）在正方形ABCD中，点E是BC边上一动点，连接AE，沿AE将△ABE翻折得 △AGE，连接DG，作△AGD的外接⊙O，⊙O交AE于点F，连接FG、FD． （1）求证∠AGD＝∠EFG； （2）求证△ADF∽△EGF；
（3）若AB＝3，BE＝1，求⊙O的半径．
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O y/km 32 A C E G B D F 2 x/h （第24题）
26.（9分） 【概念认识】
若以圆的直径的两个端点和圆外一点为顶点的三角形是等腰三角形，则圆外这一点称为这个圆的径等点． 【数学理解】
（1）如图①，AB是⊙O的直径，点P为⊙O外一点，连接AP交⊙O于点C，PC＝AC．
求证：点P为⊙O的径等点．
A C P O B ①
（2）已知AB是⊙O的直径，点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，若PC＝2AC．
求 【问题解决】
（3）如图②，已知AB是⊙O的直径．若点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，
PC＝3AC．利用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法）
A A A O O O
B B B
② （备用） （备用）
27．（10分）已知二次函数y＝m(x－1)(x－m－3)（m为常数，且m≠0）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；
（2）设该函数的图像与y轴交于点A，若点A在x轴上方，求m的取值范围；
（3）该函数图像所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图像所经过的象限及对应
的m的取值范围．
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AC
的值． AB
南京市2020年初中毕业生二模考试卷
数学试卷参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D B C A C
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
－
7．3，3． 8．x≠1． 9．1×107 10．－4． 11．15π． 12．5． －1，0（答案不唯一）． 15．b≥4． 13．63． 14．16．26． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题6分）
(a＋2)(a－2)
解：原式＝（－）· ···································································· 4分
(a－2)2
(a－2)a
＝·· ·············································································· 5分
a－2 a (a＋2)1＝ ···························································································· 6分 a＋218．（本题6分）
解：解不等式①，得x≥－1， ······································································ 2分
解不等式②，得x＜3． ········································································· 4分
∴原不等式组的解集为－1≤x＜3， ···························································· 5分
正整数解有：1，2． ············································································· 6分
19．（本题8分）
解：（1）80.5； ··················································································· 2分 （2）①； ··························································································· 4分 （3）答案不唯一．如：从中位数上看，由上学期的80.5分到本学期的86分，一半以上
的女生体质情况有较大提升；从成绩达到80分的女生数上看，本学期比上学期增加3人，且90分以上多2人，体质训练有效果． ······································ 8分
20．（本题8分）
解：（1）所有可能出现的结果有：（直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）共9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“同一方向行驶”
31
（记为事件A）的结果有3种，所以P(A)＝＝． ············································ 6分
93
1（2）． ······························································································· 8分．
921．（本题8分）
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠2，
∵EF垂直平分AC， ∴AF＝CF，AE＝CE，
A
1 O 2
C （第21题）
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F
D
3 B E
∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝CE＝CF， ∴四边形AECF是菱形． ················································································ 6分 （2）32或42． ··························································································· 8分 22.（本题7分）
解：设一月份的销售单价为x元． ······························································· 1分 8 00036 000根据题意，得： +1 000＝． ························································ 5分
x1.5 x解得x＝16． ··························································································· 6分
经检验，x＝16是所列方程的解． 答：一月份的销售单价为16元． ································································ 7分 23．（本题8分）
解：（1）在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
CD
∵tan∠DAC＝，
AC∴CD＝AC·tan51.34°≈40×1.25＝50． ························································· 3分 （2）过点D作DG⊥EF于点G . 在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，
CD
∵tan∠DBC＝，
BCCD50
∴BC＝≈＝20． ········································································ 4分
tan68.20°2.5
易证矩形DCEG，
∴CD＝EG＝50，DG＝CE． 设EF＝x米．
在Rt△DFG中，∠DGF＝90°，
FG
∵tan∠FDG＝，
DGx－50
∴DG＝， ···················································································· 5分
tan26.57°
在Rt△FBE中，∠BEF＝90°，
EF
∵tan∠FBE＝，
BEx
∴BE＝， ···················································································· 6分
tan64.43°∴
x－50x
＝20＋， ······································································ 7分
tan26.57°tan64.43°
∴x≈80． ······························································································· 8分 答：建筑物CD的高度为50米，建筑物EF的高度为80米．
24．（本题9分）
解：（1）观光轮16 km/h，巡逻艇112 km/h； ··············································· 2分 32192
（2）最大距离：32－16×＝km； ························································ 5分
11271
（3）由题意可得：16x＋112x＝32×2，解得x＝；·········································· 7分
2
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4
线段BC所表示的函数表达式为yBC＝112(x－)＝112x－64，y1＝16x，
7
2211
当y1＝yBC时，112x－64＝16x，解得x＝，－＝． ······························· 9分
33261
答：最短时间间隔为 h；
6
25．（本题9分）
（1）证明：∵四边形AFGD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADG＋∠AFG＝180°， ∵∠AFG＋∠EFG＝180°， ∴∠ADG＝∠EFG，
D 由正方形ABCD及翻折可得AB＝AG＝AD， A ∴∠ADG＝∠AGD， ∴∠AGD＝∠EFG． ··················································································· 3分 O （2）∵∠AGD＝∠AFD，∠AGD＝∠EFG， ∴∠AFD＝∠EFG， H ∵四边形ABCD是正方形，
F ∴AD∥BC． G ∴∠DAF＝∠AEB．
E C B 由翻折得∠AEB＝∠GEF，
(第25题）
∴∠DAF＝∠GEF， ∴△ADF∽△EGF． ··················································································· 6分 （3）解：设⊙O与CD交于点H，连接AH、GH， ∵∠ADH＝90°，
∴AH是⊙O的直径， ∴∠AGH＝90°，
由翻折得∠AGE＝90°，则∠AGE＋∠AGH＝180°， ∴E、G、H三点在一条直线上． ································································· 7分 ∵AH＝AH，AD＝AG，∴Rt△ADH≌Rt△AGH，∴GH＝DH，
设GH＝DH＝x，则在Rt△ECH中，CH＝3－x，EH＝1＋x，EC＝3－1＝2，
3
由CH2＋EC2＝EH2，即(3－x)2＋22＝(1＋x)2，解得x＝， ································ 8分
2
33
在Rt△ADH中，AD2＋DH2＝AH2，即32＋()2＝AH2，解得AH＝5，
22
3
∴⊙O的半径为5． ··············································································· 9分
4
A C 26．（本题9分） P （1）证明：如图①，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， O ∵AC＝PC，
∴BC垂直平分AP，
B ∴AB＝PB，即△APB为等腰三角形，
① ∴点P为⊙O的径等点． ·························· 3分 AC1AC1
（2）①如图②-1，当AB＝AP时，若PC＝2AC，则＝，∴＝； ····················· 4分
AP3AB3②如图②-2，当PA＝PB时，易证△ABC∽△APO，∴
ACAB
＝， AOAP
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kABAC16
∵2AC＝PC，设AC＝k，则PC＝2k，∴＝，AB＝6k，∴＝＝． ··· 6分
13kAB66AB2
C C A A
O O
B B ②-2 ②-1
（3）如图③④，满足条件的点P共有4个． ·················································· ····· 9分
P1 P3
C C
A A
O O
B B
④ ③ P2
27．（本题10分） P4 （1）证明：当y＝0时，m(x－1)(x－m－3)＝0， 解得x1＝1，x2＝m＋3， 当m＋3＝1，即m＝－2时，方程有两个相等的实数根； 当m＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点； ········································ 3分 （2）当x＝0时，y＝m2＋3m， ····································································· 4分
∴点A的纵坐标为m2＋3m，
∵该函数的图像与y轴交于点A，点A在x轴上方， ∴m2＋3m＞0．
设z＝m2＋3m，即z是m的二次函数，当m＝0或－3时，z＝0． ∵抛物线开口向上，
∴当m＞0或m＜－3时，z＞0．
∴m的取值范围是m＞0或m＜－3．……………………………………………………6分 （3）①当m＞0时，图像经过一、二、四象限； ·············································· 7分
②当－2＜m＜0或－3≤m＜－2时，图像经过一、三、四象限； 也可写成：当－3＜m＜0（m≠－2）时，图像经过一、三、四象限； ·············· 8分 ③当m＝－2时，图像经过三、四象限；··················································· 9分 ④当m＜－3时，图像经过一、二、三、四象限． ···································· 10分
P P
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