指数性质及运算

高一数学衔接教学一 指数性质及运算

知识要点:

1．指数概念的扩充

当nN时，aaaa n个an当nQ时，⑴零指数 a0=1 (a≠0)；⑵负整数指数 a–n=1n (a≠0)；

a⑶分数指数 aman (a>0，m、n为正整数)

nm①根式

如果有xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n为大于1的整数．

当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，用符号“na”表示．例如3273，532= –2．

当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数． 用符号“±na”表示．例如416=±2

负数没有偶次方根． 零的任何次方根都是零，用符号n0=0表示． 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 根据n次方根的意义，可得(na)n=a．例如(5)2=5，(32)3= –2

但要注意，nan不一定等于a．当n为奇数时，nan=a，例如(32)3= –2．但当n为偶数时，如果a是非负数，则nan=a，例如(43)4=3，但如果a是负数，则nan= –a 例如(3)2= –(–3)=3．这就是说， 当n为奇数时，nan=a；当n为偶数时，

nanaa(a0)

a(a0)23

②分数指数幂

当时根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以同被开方数的指数能被

2根指数整除一样写成分数指数幂的形式．例如aa，

34b5b．

我们规定正数的正分数指数幂的意义是anam (a>0，m，nN，且n>1)

mn正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，就是规定

amn1N，且n>1) m (a>0，m，n

na注:零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义． 规定了分数指数幂的意义以

后，指数从整数推广到了有理数． 分数指数的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此根式运算可以转化为分数指数幂的运算 2．幂运算法则

⑴aman=am+n (m，nZ);

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⑵(am)n=amn (m，nZ); ⑶(ab)n=anbn (nZ)．

注:因为am÷an可以看作ama–n，所以am÷an=am–n可以归入性质⑴．

例题分析：

例1．求下列各式的值

⑴3(8)3； ⑵(10)2； ⑶4(3)4； ⑷(ab)2 (a⑵(10)2=|–10|=10；

⑷(ab)2=|a–b|=b–a (a⑶4(3)4=|3–|=–3；

例2．求下列各式的值：83，1002128134332231321633322211144233解: 8(2)224；100；()(4)3327． 118183321002(102)210，(16)34

例3．计算下列各式

⑴(2ab)(6ab)(3ab)； ⑵(pq)． 解: ⑴(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)4a3⑵(pq)(p)(q)pq

例4．计算下列各式

⑴

a25a3a10a714388142312121316561438821111521126b2115364ab04a；

838823p2q3．

； ⑵(35125)45；

3

⑶3xy2(xy)3．

2752317a1a7a5210a5； 解: ⑴

a10a7a2a10a25a3⑵(35125)45(5352)53111311145233143512；

5715715⑶3xy2(xy)33xy2(x2y2)33xy2x2y2(x2y2)3x6y6．

习题：

1．求下列各式的值: ⑴41004；

2．求下列各式的值：⑴1212；

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1⑵5(0.1)；

5⑶(4)； ⑷6(xy) (y>x)．

26⑵()4912； ⑶100004；

3⑷(125)2723．

精品--

3．计算

⑴a3a4a12； ⑷4ab

⑺4x4(3x4y3)(6x2y3)；

4．计算

211⑴1253(1)23433(1)3；

23137

⑵a3a4a6；

26316st)2； ⑸(25r4235

⑶(x3y113412)；

12121311(2a3b3)；

3⑹(2x4y3)(3x2y3)(4x4y3)；

111112 ⑻(2x23y4)(2x23y4)．

1111227

⑵(4)2(5.6)0(210)9271230.1253；

1 ⑶(41.5) ⑷(61)443160.25[(0.0081)4]0(22)324；

3212(3)0(33)8230.1253(1)1(1)3；

22

⑸a1b1a1b1； ⑹(a2–2+a–2)÷(a2–a –2)．

a2b2a2b212121212

3x3x5．已知a2x=2+1，求axax的值．

aa．

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6．求下面等式中的x的值

xx1123x1311x1xx131x131x132

1．．

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