2021-2022学年浙江省台州市中心中学高三数学文上学期期末试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 下列命题正确的是( )

A．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件

B．对于命题p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：?x∈R均有x2+x﹣1≥0 C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2﹣3x+2=0，则x≠2”

参：

B

【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】阅读型；分析法．

【分析】首先对于选项B和D，都是考查命题的否命题的问题，如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题． 即可得出B正确，D错误．对于选项A因为“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件．故选项A错误．对于选项C，因为若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故C错误．即可根据排除法得到答案．

【解答】解：对于A：“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件．因为“x2﹣3x+2＞0”等价于“x＜1，x＞2”所以：“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件．故A错误．

对于B：对于命题p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：?x∈R均有x2+x﹣1≥0．因为否命题是对条件结果都否定，所以B正确．

对于C：若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．因为若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故C错误．

对于D：命题“若x2

﹣3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2

﹣3x+2=0则x≠2”．因为否命题是对条件结果都否定，故D错误． 故选B．

【点评】此题主要考查充分必要条件，其中涉及到否命题，且命题，命题的真假的判断问题，都是概念性问题属于基础题型．

2. 已知记

，要得到函数

的图象，只需将函数

的图象（ ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

参：

D 略

3. 已知公比为的等比数列

的前项和为

，则下列结论中：

（1）成等比数列；

（2）； （3）

正确的结论为 （ ） （

）（1）（2）． （

）（1）（3）． （

）（2）（3）． （

）

（1）（2）（3）．

参：

C

4. 已知中，a、b、c分别为A,B,C的对边，，则等于（ ）

A．

B．

或

C． D．

或

参： D

5. 已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为,则他在3天乘车中,此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( )

A． B． C．

D．

参：

6. 已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为( )

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．4

参：

D

考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用．

分析：先画出满足条件的平面区域，将z=2x+y转化为：y=﹣2x+z，由图象得：y=﹣2x+z过（1，2）时，z最大，代入求出即可．

解答： 解：画出满足条件的平面区域， 如图示：

，

将z=2x+y转化为：y=﹣2x+z，

由图象得：y=﹣2x+z过（1，2）时，z最大，

Z最大值=4， 故选：D．

点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．7. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是

（A）（B）

（C）8（D）4

参： D

由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高

为2，所以该几何体的体积为，选D.

8. 一个几何体的三视图如图所示（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体的体积是（ ）

A． 72 B．48 C. 27 D．36

参：

D 9. 若a=sinxdx，则（x+）（ax﹣1）5的展开式中的常数项为( )

A．10 B．20 C．﹣10

D．﹣20

参：

A

考点：二项式系数的性质；定积分． 专题：二项式定理．

分析：求定积分可得a的值，把（2x﹣1）5

按照二项式定理展开，即可求得（x+）（2x﹣1）5

展开式的常数项．

解答： 解：a=sinxdx=﹣cosx=2，

则（x+）（ax﹣1）5=（x+）（2x﹣1）5 =（x+）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），

故（x+）（2x﹣1）5展开式的常数项为=10，

故选：A．

点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．

10. 过双曲线

的右顶点

作斜率为

的直线，该直线与双曲线的两条渐近线

的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) w.w.w..c.o.m

（A）

（B）

（C）

（D）

参：

C 略

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 设函数若函数存在两个零点，则实数k的取值范围是_________.

参：

12. 命题“”的否定是＿＿＿＿＿

参：

略

13. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.

参：

略

14. 已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA＝ ．参：

【解答】解：设△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c， 且对应的高分别为m，n，t，

△ABC的面积等于1，若BC＝1，即S＝1，a＝1， 由S＝am，S＝bn，S＝ct， 可得

S3＝

abcmnt，

则mnt＝

＝

又S＝bcsinA＝1，

可得bc＝

，

则mnt＝4sinA，

cosA＝

≥

＝1﹣

，

当且仅当b＝c上式取得等号， 可得2bc≤， 则

≤

，

可得

＝＝tan≤，

可得sinA＝

≤

＝

．

当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA＝

．

15. 设（其中e为自然对数的底数），则的值为 。参：

略

16. 已知直线：和圆：

，点在直线上，、

为圆

上两点，在

中，

，

过圆心

，则点

横坐标范围为

参：

17. 已知定义在实数集R上的函数

满足

=1，且

的导数

在R上恒有

<

，则不等式

的解集为

参：

∪

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. 已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦

长为，过点的直线与椭圆相交于两点

（1）求椭圆

的方程；

（2）设为椭圆上一点，且满足

（

为坐标原点），当

时，求实数的

值．

参：

解（1） 由已知

，所以

，所以

所以

…… 1分

又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为

所以

…… 3分

所以

…… 4分

（2）设

设与椭圆联立得

整理得

得

…… 6分

由点

在椭圆上得

…… 8分

又由

, 所以

解得

…… 10

分

由

得

所以

…… 12分

略

19. （16分）

已知数列

和

满足：

，

，

，其中

为实数，为

正整数。

（1） 若数列

前三项成等差数列，求

的值；

（2） 试判断数列

的前项和，是否存在实数

，使得对任意正整数都有

？若存

在，求

的取值范围；若不存在，说明理由。

参：

解析：（1）由

得

，

求得

，

，

……3分

(2)猜想

……5分 证明：①当

时，猜想成

立。 ……6分

②设当时时，猜想成立，即， ……7分

则当时，有,

所以当

时猜想也成

立 ……9分 ③综合①②，猜想对任何都成立。 ……10

分

20. 已知四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，

，AB=PA=2，

E．F分别为BC．PD的中点。 （Ⅰ）求证：PB//平面AFC；

（Ⅱ）求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值。

参：

解析：（1）连结BD交AC于O，

为菱形，则BO=OD…………1分

连结FO，

…………3分

平面AFC，平面AFC，

平面AFC…………4分

（2）为BC中点，

…………6分

建立如图所示的空间直角坐标系，，

则

，D（90，2，0）…………8分 平面PAE的一个法向量为……9分

设平面PDC的一个法向量为

则

…………11分

平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为……12分

略

21. (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，内接于直径为的圆，过点

作圆

的切线交

的延长线于点

，

的

平分线分别交和圆

于点，若

.

（1）求证：；

（2）求

的值.

参：

（1）∵PA是圆O的切线 ∴ ∴

∽

又是公共角

………2分

∴…4分

∴ ……

（2）由切割线定理得： 又PB=5 ∴ ………6分

∴

又∵AD是 ∴ ………8分

的平分线 ∴ ∴

又由相交弦定理得：

………10分

22. 选修4—4：极坐标系与参数方程

已知曲线相交于点

、

的极坐标方程为．

、

，曲线的极坐标方程为，曲线、

（Ⅰ）将曲线（Ⅱ）求弦

的极坐标方程化为直角坐标方程；

的长．

参：

（Ⅰ） （Ⅱ）

……5分

……10分