一、选择题
1．下列各数中比3大比4小的无理数是（ ） A．
B．
C．3.14159
D．﹣π
2．下列式子中的最简二次根式是（ ） A．
B．
C．
D．
3．不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A．3个球都是黑球 C．3个球中有黑球
B．3个球都是白球 D．3个球中有白球
4．如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．80° D．90°
5．已知P（0，﹣4），Q （6，1），将线段PQ平移至P1Q1，若P1（m，﹣3），Q1 （3，n），则mn的值是（ ） A．﹣8
B．8
C．﹣9
D．9
6．如图，直线y＝kx+b分别交x轴、y轴于点A、C，直线y＝mx+n分别交x轴、y轴于点B、D， 2）直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，，则不等式kx+b≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≥2 D．x≤2
7．在同一坐标系中，反比例函数与二次函数图象的交点的个数至少有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，已知菱形ABCD的顶点A的坐标为（1，0），顶点B的坐标为（4，4），若将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转45°称为1次变换，则经过2020次变换后点C的坐标为（ ）
A．（9，4） B．（4，﹣9） C．（﹣9，﹣4） D．（﹣4，﹣9）
二、填空题（每题3分，共30分）
9．一般冠状病毒衣原体的直径约为0.000 000 11米，把0.000 000 11用科学记数法可以表示为 ．
10．某校九年级1班50名学生的血型统计如表：
血型 频率
A型 0.18
B型 0.3
AB型 0.16
O型 0.36
则该班学生O型血的有 名．
11．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即
度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是 ．
12．如图，由10个完全相同的小正方体堆成的几何体中，若每个小正方体的边长为2，则主视图的面积为 ．
），已知200
13．在实数范围内分解因式：m4﹣2m2＝ ． 14．已知a5＝6，a2＝2，则a3＝ ．
15．李兵的观点：不等式a＞2a不可能成立、理由：若在这个不等式两边同时除以a，则会出现1＞2的错误结论．李兵的观点、理由 ．（填“对对”、“对错”、错对”、“错错”）
16．比较大小：sin81° tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
17．若关于x的一元二次方程ax2+2ax+4﹣m＝0有两个相等的实数根，则a+m﹣3的值为 ．
18．如图，已知⊙O的半径为6，点A、B在⊙O上，∠AOB＝60°，动点C在⊙O上（与A、B两点不重合） ，连接BC，点D是BC中点，连接AD，则线段AD的最大值为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：（﹣）﹣2﹣|4﹣2
|﹣tan60°；
（2）化简：（2x﹣1）2﹣（3﹣x）（x+3）． 20．解不等式组
，并写出不等式组的最小整数解．
21．为了了解高邮市九年级学生线上学习情况，通过问卷网就“你对自己线上学习的效果评价”进行了问卷调查，从中随机抽取了部分样卷进行统计，绘制了如图的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ； （2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“较好”对应的扇形圆心角的度数为 °；
（4）若全市九年级线上学习人数有4500人，请估计对线上学习评价“非常好”的人数．22．在一不透明的袋子中装有四张标有数字2，3，4，5的卡片，这些卡片除数字外其余均相同．小明同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分．
（1）由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放回”），第二次随机再抽出一张卡片：
（2）帮小明同学补全树状图，并求小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率．23．小明家用80元网购的A型口罩与小磊家用120元在药店购买的B型口罩的数量相同，A型与B型口罩的单价之和为10元，求A、B两种口罩的单价各是多少元？
24．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．
（1）求证：B'E＝BF；
（2）若AE＝1，B'E＝2，求梯形ABFE的面积．
25．如图，AB是⊙O的直径，NM与⊙O相切于点M，与AB的延长线交于点N，MH⊥AB于点H．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若∠N＝30°，BN＝5，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BN、MN及劣弧BM围成的阴影部分面积．
26．对于平面直角坐标系中的任意一点P（a，b），我们定义：当k为常数，且k≠0时，点P′（a+，ka+b）为点P的“k对应点”．
（1）点P（﹣2，1）的“3对应点”P′的坐标为 ；若点P的“﹣2对应点”P′
的坐标为（﹣3，6），且点P的纵坐标为4，则点P的横坐标a＝ ；
（2）若点P的“k对应点”P′在第一、三象限的角平分线（原点除外）上，求k值； （3）若点P在x轴的负半轴上，点P的“k对应点”为P′点，且∠OP'P＝30°，求k值．
27．某公司计划投资300万元引进一条汽车配件流水生产线，经过调研知道该流水生产线的年产量为1040件，每件总成本为0.6万元，每件出厂价0.65万元；流水生产线投产后，从第1年到第n年的维修、保养费用累计y（万元）如表：
第n年 维修、保养费用累计
y（万元）
若表中第n年的维修、保养费用累计y（万元）与n的数量关系符合我们已经学过的一次函数、二次函数、反比例函数中某一个． （1）求出y关于n的函数解析式；
（2）投产第几年该公司可收回300万元的投资？
（3）投产多少年后，该流水线要报废（规定当年的盈利不大于维修、保养费用累计即报费）？
28．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．
（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为 ．
（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；
（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．
1 3
2 8
3 15
4 24
5 35
6 48
…… ……
参考答案
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列各数中比3大比4小的无理数是（ ） A．
B．
C．3.14159
D．﹣π
【分析】根据实数比较大小的法则可得答案． 解：3＝A、B、
，4＝
，
是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意； 比4大的无理数，故此选项不合题意；
C、3.14159是有理数，故此选项不合题意；
D、﹣π是比﹣3小比﹣4大的无理数，故此选项不符合题意； 故选：A．
2．下列式子中的最简二次根式是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 解：A、原式为最简二次根式，符合题意； B、原式＝|x|，不符合题意； C、原式＝2D、原式＝故选：A．
3．不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A．3个球都是黑球 C．3个球中有黑球
B．3个球都是白球 D．3个球中有白球
，不符合题意； ，不符合题意，
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 解：A、3个球都是黑球是随机事件； B、3个球都是白球是不可能事件； C、3个球中有黑球是必然事件；
D、3个球中有白球是随机事件； 故选：B．
4．如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．80° D．90°
【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案． 解：∵BE⊥AF，∠BED＝40°， ∴∠FED＝50°， ∵AB∥CD，
∴∠A＝∠FED＝50°． 故选：B．
5．已知P（0，﹣4），Q （6，1），将线段PQ平移至P1Q1，若P1（m，﹣3），Q1 （3，n），则mn的值是（ ） A．﹣8
B．8
C．﹣9
D．9
【分析】根据平移的性质得出平移规律解答即可．
解：由P（0，﹣4），Q （6，1），将线段PQ平移至P1Q1，若P1（m，﹣3），Q1 （3，n），
可得：﹣4+1＝﹣3，6﹣3＝3，
即平移规律为向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度， 可得：0﹣3＝m，1+1＝n， 解得：m＝﹣3，n＝2， 把m＝﹣3，n＝2代入mn＝9， 故选：D．
6．如图，直线y＝kx+b分别交x轴、y轴于点A、C，直线y＝mx+n分别交x轴、y轴于点B、D， 2）直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，，则不等式kx+b≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≥2 D．x≤2
【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+b不在直线y＝mx+n的上方所对应的自变量的范围即可．
解：根据函数图象，当x≤﹣1时，kx+b≤mx+n， 所以不等式kx+b≤mx+n的解集为x≤﹣1． 故选：B．
7．在同一坐标系中，反比例函数与二次函数图象的交点的个数至少有（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 解：①若二次函数的图象在三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴； 反比例函数的图象在一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限． 同理，若二次函数的图象在三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴； 反比例函数的图象在二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限． 故选：B．
8．如图，已知菱形ABCD的顶点A的坐标为（1，0），顶点B的坐标为（4，4），若将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转45°称为1次变换，则经过2020次变换后点C的坐标为（ ）
A．（9，4） B．（4，﹣9） C．（﹣9，﹣4） D．（﹣4，﹣9）
【分析】根据360°÷45°＝8，可得菱形ABCD绕原点O逆时针旋转8次变换为一次循环，由2020÷8＝252…4，4×45＝180°，可得经过2020次变换后点C的坐标处于点C绕原点逆时针旋转180°的位置．先求出C点的坐标，进而可得点C关于原点对称的点的坐标即为所求． 解：∵360°÷45°＝8，
∴菱形ABCD绕原点O逆时针旋转8次变换为一次循环， ∵2020÷8＝252…4， ∴4×45＝180°，
∴经过2020次变换后点C的坐标处于点C绕原点逆时针旋转180°的位置． ∵顶点A的坐标为（1，0），顶点B的坐标为（4，4）， ∴AB＝
＝5，
∵四边形ABCD是菱形， ∴BC∥AD，BC＝AB＝5， ∴C（9，4），
∴经过2020次变换后点C的坐标为（﹣9，﹣4）． 故选：C．
二、填空题（每题3分，共30分）
9．一般冠状病毒衣原体的直径约为0.000 000 11米，把0.000 000 11用科学记数法可以表示为 1.1×10﹣7 ．
﹣
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 解：0.000 000 11＝1.1×10﹣7， 故答案为：1.1×10﹣7．
10．某校九年级1班50名学生的血型统计如表：
血型 频率
A型 0.18
B型 0.3
AB型 0.16
O型 0.36
则该班学生O型血的有 18 名． 【分析】根据频数和频率的定义求解即可． 解：根据题意得： 50×0.36＝18（名），
答：该班学生O型血的有18名； 故答案为：18．
11．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是 y＝
），已知200 ．
【分析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y＝，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值． 解：由题意设y＝，
由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则k＝0.5×200＝100， ∴y＝
．
．
故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为：y＝故答案为：y＝
．
12．如图，由10个完全相同的小正方体堆成的几何体中，若每个小正方体的边长为2，则主视图的面积为 24 ．
【分析】先求出主视图的小正方形的个数，再根据正方形的面积公式计算即可． 解：主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；左视图有3列， ∴主视图的面积为：2×2×（3+2+1）＝24． 故答案为：24．
13．在实数范围内分解因式：m4﹣2m2＝ m2（m+）（m﹣） ．
【分析】直接提取公因式m2，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 解：m4﹣2m2 ＝m2（m2﹣2） ＝m2（m+
）（m﹣
）． ）（m﹣
）．
故答案为：m2（m+
14．已知a5＝6，a2＝2，则a3＝ 3 ．
【分析】根据同底数幂的除法的运算方法，用a5除以a2，求出a3的值是多少即可． 解：∵a5＝6，a2＝2， ∴a3＝6÷2＝3． 故答案为：3．
15．李兵的观点：不等式a＞2a不可能成立、理由：若在这个不等式两边同时除以a，则会出现1＞2的错误结论．李兵的观点、理由 错错、当a＜0时，a＞2a ．（填“对对”、“对错”、错对”、“错错”） 【分析】根据不等式的性质进行解答． 解：李兵的观点错错．理由如下： 当a＝0时，a＝2a；
当a＜0时，由1＜2得a＞2a． 故答案是：错错；当a＜0时，a＞2a．
16．比较大小：sin81° ＜ tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）． 【分析】根据sin81°＜1，tan47°＞1即可求解． 解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1， ∴sin81°＜1＜tan47°， ∴sin81°＜tan47°． 故答案为＜．
17．若关于x的一元二次方程ax2+2ax+4﹣m＝0有两个相等的实数根，则a+m﹣3的值为 1 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac＝0即可求解． 解：∵关于x的一元二次方程ax2+2ax+4﹣m＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝4a（a﹣4+m）＝0，
∵a≠0， ∴a﹣4+m＝0， ∴a+m＝4，
∴a+m﹣3＝4﹣3＝1． 故答案为：1．
18．如图，已知⊙O的半径为6，点A、B在⊙O上，∠AOB＝60°，动点C在⊙O上（与A、B两点不重合），连接BC，点D是BC中点，连接AD，则线段AD的最大值为 3
．
【分析】取OB中点E得DE是△OBC的中位线，知DE＝OC＝3，即点D是在以E为圆心，3为半径的圆上，从而知求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，据此求解可得．
解：如图1，连接OC，Q取OB的中点E，连接DE． 则OE＝EB＝OB＝3．
在△OBC中，DE是△OBC的中位线， ∴DE＝OC＝3， ∴EO＝ED＝EB，
即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，
∴求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值， 如图2，当D在线段AE延长线上时，AD取最大值，
∵OA＝OB＝6，∠AOB＝60°，OE＝EB， ∴AE＝3
，DE＝3，
+3．
∴AD取最大值为3故答案为3
．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：（﹣）﹣2﹣|4﹣2
|﹣tan60°；
（2）化简：（2x﹣1）2﹣（3﹣x）（x+3）．
【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则，绝对值的定义以及特殊角的三角函数值计算即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可． 解：（1）原式＝4﹣（4﹣＝＝
（2）原式＝4x2﹣4x+1﹣（9﹣x2） ＝4x2﹣4x+1﹣9+x2 ＝5x2﹣4x﹣8． 20．解不等式组
，并写出不等式组的最小整数解．
；
）﹣
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 解：解不等式2（x﹣1）＜7﹣x，得：x＜3， 解不等式3+2x≥
，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3， ∴不等式组的最小整数解为﹣2．
21．为了了解高邮市九年级学生线上学习情况，通过问卷网就“你对自己线上学习的效果评价”进行了问卷调查，从中随机抽取了部分样卷进行统计，绘制了如图的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 120 ； （2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“较好”对应的扇形圆心角的度数为 144 °；
（4）若全市九年级线上学习人数有4500人，请估计对线上学习评价“非常好”的人数．【分析】（1）由“不好”的人数及其所占百分比可得样本容量；
（2）根据各评价的人数之和等于总人数求出“一般”的人数，据此可补全图形； （3）用360°乘以“较好”人数所占比例可得；
（4）用总人数乘以样本中学习评价“非常好”的人数所占比例． 解：（1）本次调查的样本容量为18÷15%＝120， 故答案为：120；
（2）“一般”的人数为120﹣（18+48+24）＝30（人）， 补全条形图如下：
（3）扇形统计图中“较好”对应的扇形圆心角的度数为360°×故答案为：144；
（4）估计对线上学习评价“非常好”的人数为4500×
＝144°，
＝900（人）．
22．在一不透明的袋子中装有四张标有数字2，3，4，5的卡片，这些卡片除数字外其余均相同．小明同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分．
（1）由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后 不放回 （填“放回”或“不放回”），第二次随机再抽出一张卡片：
（2）帮小明同学补全树状图，并求小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率．【分析】（1）根据树状图可得答案； （2）补全树状图，利用概率公式求解可得．
解：（1）游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后不放回，第二次随机再抽出一张卡片；
故答案为：不放回． （2）补全树状图如图所示：
由树状图得：共有12种等可能结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，
∴小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率为
＝．
23．小明家用80元网购的A型口罩与小磊家用120元在药店购买的B型口罩的数量相同，A型与B型口罩的单价之和为10元，求A、B两种口罩的单价各是多少元？
【分析】设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（10﹣x）元，根据数量＝总价÷单价结合小明家用80元网购的A型口罩与小磊家用120元在药店购买的B型口罩的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 解：设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（10﹣x）元， 依题意，得：解得：x＝4，
＝
，
经检验，x＝4是原分式方程的解，且符合题意， ∴10﹣x＝6．
答：A型口罩的单价为4元，B型口罩的单价为6元．
24．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．
（1）求证：B'E＝BF；
（2）若AE＝1，B'E＝2，求梯形ABFE的面积．
【分析】（1）由折叠可得，BF＝B'F，依据∠B'EF＝∠BFE，可得B'F＝B'E，进而得到B'E＝BF；
（2）由折叠可得，A'E＝AE＝1，∠A'＝∠A＝90°，根据勾股定理可得A'B'的长，再根据梯形面积计算公式，即可得到梯形ABFE的面积． 解：（1）由折叠可得，BF＝B'F，∠BFE＝∠B'FE， 由AD∥BC，可得∠B'EF＝∠BFE， ∴∠B'EF＝∠BFE， ∴B'F＝B'E， ∴B'E＝BF；
（2）由折叠可得，A'E＝AE＝1，∠A'＝∠A＝90°，而B'E＝BF＝2， ∴A'B'＝∴AB＝
，
＝
＝
．
＝
＝
，
∴梯形ABFE的面积＝
25．如图，AB是⊙O的直径，NM与⊙O相切于点M，与AB的延长线交于点N，MH⊥AB于点H．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若∠N＝30°，BN＝5，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BN、MN及劣弧BM围成的阴影部分面积．
【分析】（1）根据切线的性质得出OM⊥MN，即可得出∠1+∠BMO＝∠NMO＝90°，由NH⊥AB，推出∠2+∠MBO＝90°，根据等腰三角形的性质得出∠OBM＝∠OMB，即可证得∠1＝∠2；
（2）由∠N＝30°，推出∠1+∠2＝60°，所以∠1＝∠2＝30°，∠MON＝60°，得到BM＝BN＝5，易知△OBM为等边三角形，所以OB＝OM＝BM＝5，得出结论； （3）三角形OMN的面积减去扇形OMN的面积即为线段BN、MN及劣弧BM围成的阴影部分面积．
解：（1）证明：连接OM，
∵NM与⊙O相切， ∴OM⊥MN， ∵OB＝OM， ∴∠OBM＝∠OMB， ∵NH⊥AB，
∴∠2+∠MBO＝90°，
∵∠1+∠BMO＝∠NMO＝90°， ∴∠1＝∠2； （2）∵∠N＝30°， MH⊥AB， ∴∠1+∠2＝60°，
∴∠1＝∠2＝30°，∠MON＝60°， ∴BM＝BN＝5， ∵OB＝OM，
∴△OBM为等边三角形， ∴OB＝OM＝BM＝5， 即⊙O的半径为5；
（3）由（2）知，∠N＝30°，OM＝5， ∴MN＝5
，
＝
，
﹣
．
，
∴S△OMN＝MN•OM＝S扇形MOB＝
＝
∴线段BN、MN及劣弧BM围成的阴影部分面积＝S△OMN﹣S扇形MOB＝
26．对于平面直角坐标系中的任意一点P（a，b），我们定义：当k为常数，且k≠0时，点P′（a+，ka+b）为点P的“k对应点”．
（1）点P（﹣2，1）的“3对应点”P′的坐标为 （﹣，﹣5） ；若点P的“﹣2 对应点”P′的坐标为（﹣3，6），且点P的纵坐标为4，则点P的横坐标a＝ ﹣1 ；（2）若点P的“k对应点”P′在第一、三象限的角平分线（原点除外）上，求k值； （3）若点P在x轴的负半轴上，点P的“k对应点”为P′点，且∠OP'P＝30°，求k值．
【分析】（1）根据点P的“k对应点”的定义列式计算，得到答案； （2）根据第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相等计算；
（3）根据点P的“k对应点”的定义表示出P′点的坐标，根据直角三角形的性质、正切的定义计算即可．
解：（1）﹣2+＝﹣，﹣2×3+1＝﹣5，
则点P（﹣2，1）的“3对应点”P′的坐标为（﹣，﹣5）， ∵点P的“﹣2对应点”P′的坐标为（﹣3，6），点P的纵坐标为4， ∴﹣2a+4＝6，
解得，a＝﹣1，即点P的横坐标a＝﹣1， 故答案为：﹣1；
故答案为：（﹣，﹣5）；﹣1；
（2）∵点P′在第一、三象限的角平分线（原点除外）上，
∴a+＝ka+b，
整理得，（ka+b）（1﹣k）＝0， 由题意得，ka+b≠0， ∴1﹣k＝0， 解得，k＝1；
（3）∵点P在x轴的负半轴上， ∴设点P的坐标为（a，0），
则点P的“k对应点”为P′点的坐标为（a，ka）， ∴PP′⊥x轴， ∵∠OP'P＝30°， ∴∴
＝tan30°， ＝
， ，
或
解得，k＝±
则点P在x轴的负半轴上，点P的“k对应点”为P′点，∠OP'P＝30°时，k＝﹣
．
27．某公司计划投资300万元引进一条汽车配件流水生产线，经过调研知道该流水生产线的年产量为1040件，每件总成本为0.6万元，每件出厂价0.65万元；流水生产线投产后，从第1年到第n年的维修、保养费用累计y（万元）如表：
第n年 维修、保养费用累计
y（万元）
若表中第n年的维修、保养费用累计y（万元）与n的数量关系符合我们已经学过的一
1 3
2 8
3 15
4 24
5 35
6 48
…… ……
次函数、二次函数、反比例函数中某一个． （1）求出y关于n的函数解析式；
（2）投产第几年该公司可收回300万元的投资？
（3）投产多少年后，该流水线要报废（规定当年的盈利不大于维修、保养费用累计即报费）？
【分析】（1）根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质可判断该函数是二次函数，再根据待定系数法求解即可；
（2）设投产第x年该公司可收回300万元的投资，由题意得关于x的不等式，解不等式即可；
（3）根据题意得列出不等式，结合二次函数的性质得出解集，则可得出问题的答案． 解：（1）∵ny、都不是固定值，
∴y关于n的函数解析式不是一次函数和反比例函数， ∴y关于n的函数解析式是二次函数．
设y＝an2+bn+c，将（1，3），（2，8），（3，15）代入得：
，
解得，
∴y＝n2+2n；
（2）设投产第x年该公司可收回300万元的投资，由题意得： 1040×（0.65﹣0.6）x﹣x2﹣2x≥300， 整理得：x2﹣50x+300≥0， ∴（x﹣25）2≥325， 解得：﹣5∴x≥﹣5
+25≤x≤5+25≈6.97，
+25，
∴x的最小值为7．
∴投产第7年该公司可收回300万元的投资； （3）根据题意得：1040n（0.65﹣0.6）≤n2+2n， 整理得：n2﹣50n≥0，
∴n≤0或n≥50．
∴投产50年后，该流水线要报废． 28．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．
（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为 36 ．
（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；
（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论． 解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AD， ∴AD＝2BC＝12，
∴△ABD的面积＝AD•BC＝故答案为：36；
12×6＝36，
（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H， ∴∠H＝∠C＝90°， ∵△BPQ是等腰直角三角形， ∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，
∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°， ∴∠PQH＝∠BPC， ∴△PQH≌△BPC（AAS）， ∴PH＝BC，QH＝CP， ∵AC＝BC， ∴PH＝AC， ∴CP＝AH， ∴QH＝AH， ∴∠HAQ＝45°， ∵∠BAC＝45°，
∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴AB⊥AQ；
（3）∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°， ∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°， ∴∠EAC＝30°，
如图3，作点C关于AF的对称点D， 过D作DN⊥AC于N交AF于M，
则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN， ∵点C和点D关于AF对称， ∴AD＝AC＝6， ∵∠AND＝90°， ∴DN＝AD＝
6＝3，
∴CM+NM最小值为3．
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