第三节找规律、定义新运算和程序运算(精)

第三节 找规律、定义新运算和程序运算 一、课标导航

二、核心纲要 1. 找规律

解题思维过程:从简单、 局部或特殊情况入手, 经过提炼、 归纳和猜想, 探索规律, 获得结论。 有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件。一般有下列几个类型:

(1一列数的规律:把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号 n 之间的关系。

(2一列等式的规律:用含有字母的代数式总结规律,注意此代数式与序号 n 之间的关系。

(3图形(图标规律:观察前几个图形,确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号 n 之 间的关系。

(4 图形变换的规律:找准循环周期内图形变换的特点, 然后用图形变换总次数除以一个循环 变换周期,进而观察商和余数。

(5数形结合的规律:观察前 n 项(一般前 3项及利用题中的已知条件,归纳猜想一般性结 论。

常见的数列规律:

(1 1,3,5,7,9,„, 12-n (n 为正整数 ; (2 2,4,6,8,10,„, n 2(n 为正整数 ; (3 2,4,8,16,32,„, n 2(n 为正整数 ; (4 2,5,10,17,26,„, 12+n (n 为正整数 ; (5 0,3,8,15,24,„, 12-n (n 为正整数 ; (6 2,6,12,20,„, 1(+n n (n 为正整数 ;

(7 x -, x +, x -, x +, x -, x +, „, x n 1(-(n 为正整数 ; (8 x +, x -, x +, x -, x +, x -, „, x n 1 1(+-(n 为正整数 ; (9 特殊数列:

①斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13, „, 从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数的和;

②三角形数:1,3,6,10,15,21,„, 2 1(+n n 。 2. 定义新运算

(1基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加、减、乘、除的运算, 然后按基本运算过程、运算规律进行运算。

(2注意事项:①新的运算不一定符合运算律,特别注意运算顺序; ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 3. 程序计算

解题的关键是要准确理解新程序的数学意义,进而转化为数学问题。

4. 数学能力:探究、归纳总结和知识迁移的能力

本节重点讲解:两大能力,三种题型(兆规律、定义新运算和程序计算 。 三、全能突破 基础演练

1. 根据图 3-3-1中数字的规律,在图形中填空。

2. 观察下面一列整式:y x 221, 4461y x -, 98121y x , 161620

1y x -,„,照此规律第 6个整式是 _______________,第 n 个(1≥n 且为整数整式是 _______________。

3. 正整数按图 3-3-2中的规律排列,请写出第 45行,第 46列的数字 __________。

图 3-3-2

4. 图 3-3-3所示是某广场用地板铺设的部分图案, 是一块正六边形的地板砖, 周围是正三 角形和正方形的地板砖。从里向外的第 1层包括 6个正方形和 6个正三角形,第 2层包括 6

个正方形和 6个正三角形,以此递推,第 10层中含有正三角形个数是 __________。

图 3-3-3 图 3-3-4

5. 如图 3-3-4所示,给正五边形的顶点依次编号为 1,2,3,4,5,若从某一顶点开始,沿正五边 形的边顺时针行走,顶点编号的数字是几,就走几个边长,则称这种走法为一次“移位” 。如:小宇在编号为 3的顶点时,那么他应走 3个边长,即从 3→ 4→ 5→ 1为第一次“移位” ,这时他 到达编号为 1的顶点;然后从 1→ 2为第二次“移位” 。若小宇从编号为 2的顶点开始,第 10

次“移位”后,则他所处顶点的编号是 __________;第 2012次“移位”后,则他所处顶点的 编号是 __________。

6. 观察下列等式: ① 531422⨯=-; ② 732522⨯=-; ③ 933622⨯=-; ④ 1134722⨯=-;

„„

则第 n (n 是正整数个等式为 __________________。 7. 我们规定一种运算:bc ad d c b a -= ,若 01

2 4=-x x ,则 =x __________。 8. 魔术师为大家表演魔术,他请观众想一个数,然后将这个数按图 3-3-5所示的步骤操作:

图 3-3-5

魔术师立刻说出观众想的那个数。

(1如果小明想的数是 -1,那么他告诉魔术师的结果应该是 __________; (2如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为 93,那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是

__________。

(3观众又进行了几次尝试,魔术师都能立刻说出他们想的那个数,请你说出其中的奥妙。

能力提升

9. 已知:441=, 12=, 4163=, 2=, 102445=,„,以上算式结果的个位数字分别 为 4,6,4,6,„,按照上面的研究方法确定 2006200720072006+的个位数字为( 。 A.3 B.4 C.5 D.6

10. 如图 3-3-6所示, 把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上, 按照这样的规律摆下去, 则第 n 个图形需要黑色棋子的个数是 __________。

图 3-3-6

11. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如,他们研究过图 3-3-7(a中的 1,3,6,10,„,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图 3-3-7(b中的 1,4,9,16, „, 这样的数为正方形数。 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( 。

(a (b 图 3-3-7

A.15 B.25 C.55 D.1225

12.(1探究数字“黑洞” :“黑洞”原指非常奇怪的天体,它的体积小,密度大,吸引力强,任 何物体到它那里都别想再“爬出来” ,无独有偶,数字中也有类似的“黑洞” ,满足各种条件的 所有数,通过一种运算,都能被它“吸”进去,无一能逃脱它的魔掌,譬如:任意兆一个 3的倍数,先把这个数每个数位上的数字都立方,再相加,得到一个新的数,然后把这个新数每 个数位上的数字立方再求和,重复运算下去,就能得到一个固定的数 T ,我们称它为数字“黑 洞” , T 为何具有如此魔力,通过认真的观察、分析,你一定能发现它的奥秘!此短文中的 T 是 __________。

(2任取一个自然数串,数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数,用这 3个数组成下一个数字串,重复上诉程序,就能得到一个固定的数,我们称它为数字“黑洞” , 则这个固定的数为 __________。

13. 在下表中,我们把第 i 行第 j 列的数记为 j i a , (其中 j i , 都是不大于 5的正整数 ,对于表中 的每个数 j i a , 规定如下:当 j i ≥时, 1, =j i a ;当 j i <时, 0, =j i a ,例如:当 2=i , 1=j 时, 11, 2, ==a a j i 。按此规定, =3, 1a ___________;表中的 25个数中,共有 ___________个 1;计算 5, 5, 14, 4, 13, 3, 12, 2, 11, 1, 1i i i i i a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅的值为 ___________。

14. 为确保信息安全, 信息需加密传输, 发送方由文明→密文 (加密 , 接收方由密文→明文 (解

密 ,已知加密规则如图 3-3-8所示,例如,明文 1,2,3,4对应密文 5,7,18,16,当接收方收 到密文 14,9,23,28时,则解密得到的明文为 ___________。

15. 已知 2≥m , 2≥n ,且 n m , 均为正整数,如果将 n m 按图 3-3-9所示方式“分解” ,那么下 列三个叙述:

①在 52的“分解”中最大的数是 11, ;②在 34的“分解”中最小的数是 13; ③若 3m 的“分解”中最小的数是 23,则 m 等于 5. 其中正确的是 ___________。

图 3-3-8 图 3-3-9 16. 有一个运算程序,当 n b a =Θ(n 为常数 时,则 1 1(+=Θ+n b a , 2 1(-=+Θn b a ,若 211=Θ,则 =Θ20122012___________。

17. 按图 3-3-10所示的程序计算:

若输入 100=x ,输出结果是 501,若输入 25=x ,输出结果是 631,若开始输入的 x 值为正整 数,最后输出的结果为 556,则开始输入的 x 的可能值为 ___________。

图 3-3-10 18. 如图 3-3-11所示, 从左到右, 在每个小格子中都填入一个整数, 使得其中任意一个相邻格

子中所填整数之和都相等。

图 3-3-11

(1可求得 =x ___________。第 2012个格子中的数为 ___________。

(2判断,前 m 个格子中所填整数之和是否可能为 2012?若能,求出 m 的值;若不能,请说明 理由。

19.阅读图 3-3-12 并回答下列问题： (1若 A 为 785，则 E=___________； (2按框图流程，取不同的三位数 A，所得 E 的值都相同吗？如果相同，请说明理由，如果不 用，请求出 E 的所有可能的值； (3将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为 0 的 三位数 A，它的百位数字减去个位数字所得的差大于 2” ， 其余的步骤不变，请猜想 E 的值是否为定值？并对你猜想的 结论加以证明。 图 3-3-12 中考链接 20.(北京图 3-3-13 所示为手的示意图，在各个手指间标记字母 A，B，C，D。请你按图中箭 头所指方向(即 A→B→C→D→C→B→A→B→C→„的方式从 A 开始数连续的正整数 1，2，3， 4，„，当数到 12 时，对应的字母是___________；当字母 C 第 201 次出现时，恰好数到的数 是___________；当字母 C 第

次

出现时( n 为正整数，恰好数到的数是___________（用 含 n 的代数式表示） 。 图 3-3-13 图 3-3-14 21.(江西观察图 3-3-14 中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第 n 个图形中所有的个 数为___________（用含 n 的代数式表示） 。 22.(1(贵州贵阳符号“ f ”表示一种运算， ①律计算： f ( 1 1 1 1 ②

___________。 2012 (2(湖北咸宁如下图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 96，我们发现第 1 次输出的结 果为 48，第 2 次输出的结果为 24，„，第 2009 次输出的结果为___________。

巅峰突破 23.图 3-3-16 所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果是___________。 24.对于两数 a 和 b ，给定一种运算“#” ： 在下列等式中： ①

是___________（填序号） 。 式

，其中 ；②

；③

，则。 正确的利用以上规

5.正整数 n 小于 100，并满足等表示不

超过 x 的最

大整数，这样的正整数 n 有多少个？ 图 3-3-16