九年级奥数：圆与直角坐标系

阅读思考

直角坐标系与圆是初中数学中的两个重要内容，它们的有机结合生成了近年中考数学中的一种重要题型．这类问题把代数、几何知识融合在一起，既引进运动观念，又考查了数形结合、分析转化、分类讨论思想方法及探究能力．

问题解决

3x34，并且与

例1 如图，已知真线l的解析式为

yx轴、y轴分别相交于A、B点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）一个圆心在坐标原点，半径为1个单位的圆，以0.4个单位／秒的速度向x轴正方向运动，问在什么时刻该圆与直线l相切；

（3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以0.5个单位／秒的速度运动．问：在整个运动过程中，点P在动圆的圆面上（圆上和圆的内部）一共运动了多少时间？

第 1 页 共 7 页

例2 如图，已知两点A（1，0）、B（4，0）在x轴上，以AB为直径的半圆P交y轴于点C．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）设AC的垂直平分线交OC于D，连结AD并延长AD交半圆P于点E，AC与CE相等吗？请证明你的结论；

1（3）设点M为x轴负半轴上一点，OM=2AE，是否存在过点M的直线，使该直线

与（1）中所得的抛物线的两个交点到y轴的距离相等？若存在，求出这条直线对应函数的解析式；若不存在，请说明理由．

例3 如图，已知抛物线两点．

yax2bxc经过原点（0，0）和A（1，3），B（1，5）

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点

P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交于点E，连结MD，已知点E的坐标

为（0，m），求四边形EOMD的面积（用含m的代数式表示）；

第 2 页 共 7 页

（3）延长DM交⊙M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD=S△DON，请求出此时点P的坐标．

例4 抛物线

yax2bxc交x轴于A，B两点，交y轴于C点，已知抛物线对称轴x=1，

B（3，0），C（0，3）．

yax2bxc（1）求二次函数的解析式；

（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

数学冲浪

1．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙P，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．

（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；

第 3 页 共 7 页

（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，已知直线ym(x4)（m>0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C，过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连结CN、CM．

（1）证明：∠MCN=90°；

（2）设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式；

（3）若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．

3．已知抛物线

yx2bxc经过点A（0，5）和点B（3，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，问当⊙P在运动过程中，是否存在⊙P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；

第 4 页 共 7 页

（3）若⊙Q的半径为r，点Q在抛物线上，当⊙Q与两坐标轴都相切时，求半径r的值。

4．如图所示，在平面直角坐标系中有点A（1，0）、点B（4，0），以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点C．

（1）求点C的坐标；

（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D，使四边形BOCD为直角梯形，求直线BD的解析式；

（4）设点M是抛物线上任意一点，过点M作MN⊥y轴，交y轴于点N．若在线段

AB上有且只有一点P，使∠MPN为直角，求点M的坐标．

5．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（2，0），⊙C与x轴交于O、B两点，⊙C上一点A的坐标是（3，3）．

（1）求经过原点和A、B两点的抛物线的解析式；

第 5 页 共 7 页

（2）经过抛物线的顶点P和点A作直线，分别交x轴、y轴于点H、D，求直线DH的解析式；

（3）设⊙C于抛物线的另一个交点为E，OE的延长线交直线DH于F，求线段EF的长．

kxk36．如图，直线

y分别与y轴、x轴相交于点A，点B，且AB=5．一个圆心在

坐标原点，半径为1的圆，以0.8个单位/秒的速度向y轴正方向运动．设此动圆圆心离开坐标原点的时间为t（t0）（秒）

（1）求直线AB的解析式；

（2）如图（1），t为何值时，动圆与直线AB相切？

（3）如图（2），若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以1个单位/秒的速度运动，设t秒时点P到动圆圆心C的距离为s，求s与t的关系式；

（4）在（3）中，动点P自刚接触圆面起，经多长时间后离开了圆面？

第 6 页 共 7 页

第 7 页 共 7 页