第11章 《 三角形 》培优测试题
一．选择题（共10小题）
1．下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（ ） A．5cm，8cm，2cm C．5cm，8cm，5cm
B．5cm，8cm，13cm D．2cm，7cm，5cm
2．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
A．40° B．20° C．55° D．30°
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，则∠B=（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
5．在△ABC中，若AB=9，BC=6，则第三边CA的长度可以是（ ）A．3
B．9
C．15
D．16
6．如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO等于（ ）
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A．25° B．30° C．35° D．40°
7．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ ）A．360°
B．540°
C．720°
D．900°
8．如图，图中直角三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（ ）
A．144° B．84° C．74° D．54°
10．如图，AE平分△ABC外角∠CAD，且AE∥BC，给出下列结论：①∠DAE=∠CAE；②∠DAE=∠B；③∠CAE=∠C；④∠B=∠C；⑤∠C+∠BAE=180°，其中正确的个数有（ ）
A．5个
B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共8小题）
11．三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是 ．
12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，∠1=57°，则∠2= ．
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13．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，当∠A=50°时，∠BOC= ．
14．一个n边形的每个内角都为144°，则边数n为 ． 15．在△ABC中，∠C=∠A=∠B，则∠A= 度．
16．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，∠DAE 度．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B= ．
18．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，若∠A=60°，则∠BMN的度数是 ．
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三．解答题（共7小题）
19．（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个外角的度数．
（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．
21．如图①所示，为五角星图案，图②、图③叫做蜕变的五角星．试回答以下问
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（1）在图①中，试证明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
（2）对于图②或图③，还能得到同样的结论吗？若能，请在图②或图③中任选其一证明你的发现；若不能，试说明理由．
22．如图，已知△ABC中，高为AD，角平分线为AE，若∠B=28°，∠ACD=52°，求∠EAD的度数．
23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF
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∥AD．
（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE= 度； （2）若图1中的∠B=x，∠ACB=y，则∠CFE= ；（用含x、y的代数式表示）
（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
24．如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD=BD，∠A=23°，∠BCE=44°，求∠ACB的度数．
25．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．
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（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A= 度，∠P= 度 （2）∠A与∠P的数量关系为 ，并说明理由．
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为 ．
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参考答案
一．选择题
1． C．2． A．3． D．4． C．5． B．6． A．7． C．8． C．9． B．10． A． 二．填空题 11． 1＜a＜4． 12． 101°． 13． 115°． 14． 10． 15．60． 16． 10． 17． 30°． 18． 50°． 三．解答题
19．解：（1）设此三角形三个内角的比为x，2x，3x， 则x+2x+3x=180， 6x=180， x=30，
则三个内角分别为30°、60°、90°， 相应的三个外角分别为150°、120°、90°． （2）设这个多边形的边数是n， 则（n﹣2）•180°=1800°， 解得n=12．
故这个多边形的边数为12． 20．解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°， ∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°， ∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°． 21．解：
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（1）证明：如图①，设BD、AD与CE的交点为M、N； △MBE和△NAC中，由三角形的外角性质知： ∠DMN=∠B+∠E，∠DNM=∠A+∠C； △DMN中，∠DMN+∠DNM+∠D=180°， 故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
（2）结论仍然成立，以图③为例；
延长CE交AD于F，设CE与BD的交点为M； 同（1）可知：∠DMF=∠B+∠E，∠DFM=∠A+∠C； 在△DMF中，∠D+∠DMF+∠DFM=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
22．解：∵AD为高，∠B=28°， ∴∠BAD=62°， ∵∠ACD=52°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=24°， ∵AE是角平分线， ∴∠BAE=
BAC=12°，
∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=50°．
23．解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°， ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=40°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB=90°
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∴∠BAE=60°
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=60°﹣40°=20°， ∵CF∥AD，
∴∠CFE=∠DAE=20°； 故答案为：20；
（2）∵∠BAE=90°﹣∠B，∠BAD=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠BCA）， ∴∠CFE=∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）=（∠BCA﹣∠B）=y﹣x． 故答案为： y﹣x； （3）（2）中的结论成立． ∵∠B=x，∠ACB=y， ∴∠BAC=180°﹣x﹣y， ∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAC=90°﹣x﹣y， ∵CF∥AD，
∴∠ACF=∠DAC=90°﹣x﹣y，
∴∠BCF=y+90°﹣x﹣y=90°﹣x+y， ∴∠ECF=180°﹣∠BCF=90°+x﹣y， ∵AE⊥BC， ∴∠FEC=90°，
∴∠CFE=90°﹣∠ECF=y﹣x．
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24．解：∵AD=BD，∠A=23°， ∴∠ABD=∠A=23°， ∵BG∥EF，∠BCE=44°， ∴∠DBC=∠BCE=44°， ∴∠ABC=44°+23°=67°，
∴∠ACB=180°﹣67°﹣23°=90°． 25．解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=80°， ∴∠A=50°，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB，
∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°， ∴∠P=180°﹣65°=115°， 故答案为：50，115； （2）
．
证明：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴
，
，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°， ∴∴∴（3）
；
．
， ，
理由：∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC， ∠BCQ=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，
∴△BCQ中，∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠
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ACB）=（∠ABC+∠ACB）， 又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．
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