【教材分析】
三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。
【教学目标与核心素养】
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号． 3.掌握公式一并会应用． 数学学科素养
1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义； 2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值； 3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号； 4.数学运算：诱导公式一的运用. 【教学重难点】
重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义； ②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号. 难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 【教学过程】
一、情景导入
在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课
阅读课本177-180页，思考并完成以下问题 1．任意角三角函数的定义？ 2．任意角三角函数在各象限的符号？ 3．诱导公式一？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义
(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
图121 (2)结论
①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sinα＝y； ②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cosα＝x； ③叫做α的正切，记作tan_α，即tanα＝(x≠0)． (3)总结
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为
yxyx函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．
思考：若已知α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝x2＋y2＞0)．
三角函数 sinα cosα tanα 定义 𝑦 𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑥定义域 R R παα≠kπ＋，k∈Z2名称 正弦 余弦 正切 正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 sinα cosα tanα 定义域 R R πx∈Rx≠kπ＋，k∈Z2 4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示：
图122
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 5．诱导公式一
四、典例分析、举一反三 题型一三角函数的定义及应用
例1 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sinα，cosα，tanα的值．
【答案】当α的终边在第二象限时，sinα＝－2.
当α的终边在第四象限时，sinα＝－
255
，cosα＝，tanα＝－2. 55
255
，cosα＝－，tanα＝55
【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝
－1
2
＋22＝5，
225－152
＝，cosα＝＝－，tanα＝＝－2.
55－155
所以sinα＝
当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P′(1，－2)， 则r＝12＋
－2
2
＝5，
－22515－2
所以sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－2.
51555解题技巧：（已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法） (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
跟踪训练一
1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝【答案】当x＝1时，sinθ＝当x＝－1时，此时sinθ＝
310
，tanθ＝3； 10
10x，求sinθ，tanθ. 10
yrxr310
，tanθ＝－3. 10
【解析】由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cosθ＝＝10x10又∵cosθ＝x，∴2＝x.∵x≠0，∴x＝±1.
10x＋910当x＝1时，P(1,3)，此时sinθ＝
33103
＝，tanθ＝＝3.
10112＋32
3－1
＝2
xrx. 2
x＋9
当x＝－1时，P(－1,3)，此时sinθ＝＝－3.
题型二三角函数值的符号
2
＋3
3103
，tanθ＝10－1
例2 (1)若α是第四象限角，则点P(cosα，tanα)在第________象限． (2)判断下列各式的符号： ①sin183°；②tan
7π
；③cos5. 4
7π
<0；③cos5>0. 4
【答案】（1）四；（2） ①sin183°<0；②tan
【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cosα>0，tanα<0， ∴点P(cosα，tanα)在第四象限．
(2) ①∵180°<183°<270°，∴sin183°<0； ②∵③∵
3π7π7π
<<2π，∴tan<0； 2443π
<5<2π，∴cos5>0. 2
解题技巧：(判断三角函数值在各象限符号的攻略) (1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号． 跟踪训练二
1．确定下列式子的符号：
cos
(1)tan108°·cos305°；(2)
5π11π
·tan 66
；(3)tan120°·sin269°.
2πsin
3
cos
【答案】(1)tan108°·cos305°＜0；(2)
5π11π·tan 66
＞0；
2πsin
3
（3）tan120°sin269°＞0.
【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan108°＜0.
∵305°是第四象限角，∴cos305°＞0.从而tan108°·cos305°＜0. (2)∵
5π11π2π是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角， 6635π11π2π＜0，tan＜0，sin＞0.从而663
cos
5π11π
·tan 66
＞0.
2πsin
3
∴cos
(3)∵120°是第二象限角，∴tan120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin269°＜0.
从而tan120°sin269°＞0. 题型三诱导公式一的应用
例3求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°； 7π13π23π15π
－－＋tancos(2)sincos. 6433
【答案】（1）
35
；（2）. 24
【解析】 (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋
33
＝. 22
ππππ
(2)原式＝sin2π＋cos－4π＋＋tan－4π＋·cos4π＋
3643＝sin
ππππ3315
cos＋tancos＝×＋1×＝. 36432224
解题技巧：（利用诱导公式一进行化简求值的步骤）
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值． 跟踪训练三 1．化简下列各式：
(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)； 1211π
＋cosπ·tan4π. (2)sin－
651
【答案】（1）(a－b)2；（2）. 2
【解析】(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0° ＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
1211
(2)sin－π＋cosπ·tan4π
56
π12π1
＝sin－2π＋＋cosπ·tan0＝sin＋0＝. 6562五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计
5.2.1 三角函数的概念 1. 三角函数的定义例1例2 例3 2．三角函数在各象限的符号 3．诱导公式一 七、作业
课本179页练习及182页练习. 【教学反思】
本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.
《5.2.1 三角函数的概念》导学案
【学习目标】 知识目标
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号． 3.掌握公式一并会应用． 核心素养
1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义； 2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值； 3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号； 4.数学运算：诱导公式一的运用. 【重点与难点】
重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义； ②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号. 难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 【学习过程】 一、预习导入
阅读课本177-180页，填写。 1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以_______为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义
(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与_______交于点P(x，y)，那么：
【小试牛刀】
图121 (2)结论
①y叫做α的__________，记作__________，即sin α＝y； ②x叫做α的__________，记作__________，即cos α＝x； ③叫做α的__________，记作__________，即tan α＝(x≠0)． (3)总结
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．
思考：若已知α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原
yxyx点O的距离是r(r＝x2＋y2＞0)．
三角函数 sinα cosα tanα 定义 __________ __________ __________ 名称 正弦 余弦 正切 正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 sin α cos α tan α 定义域 __________ __________ __________ 4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示：
图1 22
(2)口诀：“一全正，二_________，三_________，四_________”． 5．诱导公式一
【小试牛刀】
1．若角α的终边经过点P(2，3)，则有( ) A．sin α＝C．sin α＝
21313
B．cos α＝ 1323132
D．tan α＝ 133
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 25
3．sinπ＝．
3
31
4．角α终边与单位圆相交于点M，，则cos α＋sin α的值为．
22【自主探究】
题型一 三角函数的定义及应用
例1 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
跟踪训练一
1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝
10
x，求sin θ，tan 10
θ.
题型二 三角函数值的符号
例2(1)若α是第四象限角，则点P(cos α，tan α)在第________象限． (2)判断下列各式的符号： ①sin 183°；②tan 跟踪训练二
1．确定下列式子的符号： (1) tan 108°·cos 305°；
cos (2)
5π11π·tan 66
；
2πsin
3
7π
；③cos 5. 4
(3)tan 120°·sin 269°. 题型三 诱导公式一的应用
例3 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； 7π13π23π15π
＋tan－cos(2)sincos－. 6433跟踪训练三 1．化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)； 1211π
＋cosπ·tan 4π. (2)sin－
65【课堂检测】 1．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②sin α是“sin”与“α”的乘积； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－. 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
2．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝( ) A.2 B．－2 C.2 D．－2 3．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( ) A．第一或第四象限 C．第一或第二象限
3
1
1
3
3
B．第一或第三象限 D．第二或第四象限
4．若cos α＝－2，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是( ) A．2 B．±2 C．－2 D．－2
5．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝5，则sin β＝．
6．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°； (2)cos
25𝜋3
1
+𝑡𝑎𝑛
15𝜋4
.
答案 小试牛刀
1．C 2．B 3．自主探究
例1【答案】当α的终边在第二象限时，sin α＝tan α＝－2.
当α的终边在第四象限时， sin α＝－
255
，cos α＝，tan α＝－2. 55
255
，cos α＝－，55
33＋1
4.. 22
【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝
－1
2
＋22＝5，
225－152
＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－2.
55－155
所以sin α＝
当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P′(1，－2)， 则r＝12＋
－2
2
＝5，
－22515－2
所以sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－2.
51555跟踪训练一
1．【答案】当x＝1时，sin θ＝
310
，tan θ＝3； 10
310
当x＝－1时，此时sin θ＝，tan θ＝－3.
10
xx【解析】由题意知r＝|OP|＝x＋9，由三角函数定义得cos θ＝＝2.
rx＋9
2
又∵cos θ＝
10x10
x，∴2＝x.∵x≠0，∴x＝±1. 1010x＋9
当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝
33103
＝，tan θ＝＝3.
10112＋32
3－1
＝2
3103
，tan θ＝10－1
当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝＝－3.
2
＋3
7π
例2 【答案】（1）四； （2） ①sin 183°<0；②tan <0；③cos 5>0.
4【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cos α>0，tan α<0，
∴点P(cos α，tan α)在第四象限．
(2) ①∵180°<183°<270°，∴sin 183°<0； ②∵③∵
3π7π7π<<2π，∴tan <0； 2443π
<5<2π，∴cos 5>0. 2
跟踪训练二
cos
1．【答案】(1) tan 108°·cos 305°＜0；(2)
5π11π
·tan 66
＞0；
2πsin
3
（3）tan 120°sin 269°＞0.
【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.
∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.从而tan 108°·cos 305°＜0. (2)∵
5π11π2π是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角， 6635π11π2π＜0，tan＜0，sin ＞0.从而663
cos
5π11π
·tan 66
＞0.
2πsin
3
∴cos
(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，
∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.从而tan 120°sin 269°＞0. 例3 【答案】（1）35
；（2）. 24
【解析】 (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
33
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝. 22
ππππ
(2)原式＝sin2π＋cos－4π＋＋tan－4π＋·cos4π＋
3643＝sin
π3cosπ6＋tanππ3315
4cos3＝2×2＋1×2＝4
. 跟踪训练三
1．【答案】（1）(a－b)2 ； （2）12
. 【解析】(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°2abcos(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0° ＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sin12－116π
＋cos5π·tan 4π
＝sin
π12π1－2π＋6＋cos5π·tan 0＝sin6＋0＝2. 当堂检测 1-4． BDBD 5.−1
5 6．【答案】(1) 0；(2)3
2 .
【解析】 (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2) cos
25𝜋+𝑡𝑎𝑛
15𝜋3
4
＝cos𝜋𝑡𝑎𝑛𝜋
3+4 ＝1
2＋1＝3
2.
45°)－＋
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容