2019届高考决胜考场高中物理模块九磁场：考点4.5 带电粒子在磁场中运动之周期性磁场问题

周期性磁场问题：粒子在磁场或含有磁场的复合场中运动时，磁场周期性变化，有方向周期性变化，也有大小周期性变化，不论是哪种周期性变化，最终引起的都是粒子轨迹周期性变化。有效地区分与联系粒子运动周期与磁场变化周期是解题的关键。

【例题】如图甲所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点(3L,0)为圆心、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N.现有一质量为m、带电荷量为e的电子，从y轴上的A点以速度v0沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，速度方向与x轴夹角为30°.此时在圆形区域有如图乙所示周期性变化的磁场，以垂直于纸面向外为磁场正方向，最后电子运动一段时间后从N飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同(与x轴夹角为30°)．求：

(1) 电子进入圆形磁场区域时的速度大小； (2) 0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小；

(3) 写出圆形磁场区域磁感应强度B0的大小、磁场变化周期T各应满足的表达式．

解析 (1)电子在电场中做类平抛运动，射出电场时，如图所示．

v0由速度关系：＝cos 30°

v23解得v＝v

30

(2)由速度关系得vy＝v0tan 30°＝eE在竖直方向a＝ meEL

vy＝at＝·

mv03mv0 2

解得E＝

3eL

(3)在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移恰好等于R，如图所示．粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件

3

v 30

是：2nR＝2L

mv23mv023nmv0电子在磁场内做圆周运动的轨道半径R＝＝，解得B0＝(n＝1、2、3…)

eB03eB03eL1

若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过圆周，同时MN间运动时间是磁场变化周期的整数倍

612πm

时，可使粒子到达N点并且速度满足题设要求．应满足的时间条件：2n·T0＝nT，T0＝ 6eB0解得：T＝

3πL

(n＝1、2、3…) 3nv0

233mv0 223nmv03πL

【答案】(1)v0 (2) (3)B0＝(n＝1、2、3…) T＝(n＝1、2、3…)

33eL3eL3nv0

1. 图(a)所示的xOy平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy平面(纸面)垂直，磁感应强度B

随时间t变化的周期为T，变化图线如图(b)所示．当B为＋B0时，磁感应强度方向指向纸2π

外．在坐标原点O有一带正电的粒子P，其电荷量与质量之比恰好等于.不计重力．设

TB0P在某时刻t0以某一初速度沿y轴正向从O点开始运动，将它经过时间T到达的点记为A.

(a) (b)

(1) 若t0＝0，则直线OA与x轴的夹角是多少？ T

(2) 若t0＝，则直线OA与x轴的夹角是多少？

4

π

【答案】(1)0 (2) 2

2. 如图甲所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律

分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，沿y轴正方向电场强度为正).在t＝0时刻由原点O发射初速度大小为v0、方向沿y轴正方向的带负电粒子.

π

已知v0、t0、B0，粒子的比荷为，不计粒子的重力.求：

B0t01

(1) t＝t0时，求粒子的位置坐标；

2

(2) 若t＝5t0时粒子回到原点，求0～5t0时间内粒子距x轴的最大距离.

v0t0v0t032

【答案】（1） (，). (2) (＋)v0t0.

ππ2π

3. 如图甲所示，在坐标系xOy中，y轴左侧有沿x轴正向的匀强电场，场强大小为E；y轴

右侧有如图乙所示，大小和方向周期性变化的匀强磁场，磁感应强度大小B0已知．磁场方向垂直纸面向里为正．t＝0时刻，从x轴上的P点无初速度释放一带正电的粒子，质量为m，电荷量为q(粒子重力不计)，粒子第一次在电场中运动的时间与第一次在磁场中运动的时间相等．求：

(1) P点到O点的距离；

(2) 粒子经一个周期沿y轴发生的位移；

(3) 粒子能否再次经过O点，若不能说明理由．若能，求粒子再次经过O点的时刻； (4) 粒子第4n(n＝1、2、3…)次经过y轴时的纵坐标． mEπ2πmE15πm

【答案】(1) 2 (2)2 (3)2qB0 qB0 qB0

4. 如图a所示的平面坐标系xOy，在整个区域内充满了匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，

磁感应强度B随时间变化的关系如图b所示．开始时刻，磁场方向垂直纸面向里(如图)，t＝0时刻有一带正电的粒子(不计重力)从坐标原点O沿x轴正方向进入磁场，初速度为qv0＝2×103 m/s.已知该带电粒子的比荷为＝1.0×104 C/kg.试求：

m

(1) t1＝

4π－

×104 s时粒子所处位置的坐标(x1，y1)； 3

(2) 带电粒子进入磁场运动后第一次到达y轴时离出发点的距离h.

【答案】(1)(

3 m,0.6 m) (2)1.6 m 5

5. 在竖直平面内建立一平面直角坐标系xOy，x轴沿水平方向，如图甲所示。第二象限内有

一水平向右的匀强电场，场强为E1。坐标系的第一、四象限内有一正交的匀强电场和匀强交变磁场，电场方向竖直向上，场强E2=1/2E1，匀强磁场方向垂直纸面。处在第三象限的某种发射装置（图中没有画出）竖直向上射出一个比荷q=102 C/kg的带正电的粒子（可

m视为质点），该粒子以v0=4 m/s的速度从-x上的A点进入第二象限，并以v1=8 m/s速度从＋y上的C点沿水平方向进入第一象限。取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，磁感应强度按图乙所示规律变化（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向），g=10 m/s2。试求：

(1) 带电粒子运动到C点的纵坐标值h及电场强度E1；

(2) ＋x轴上有一点D，OD=OC，若带电粒子在通过C点后的运动过程中不再越过y轴，要使其

恰能沿x正方向通过D点，求磁感应强度B0及其磁场的变化周期T0为多少？

(3) 要使带电粒子通过C点后的运动过程中不再越过y轴，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期

T0的乘积B0T0应满足的关系？

【答案】（1）0.8m 0.2N/C （2）B0=0.2n（T）（n=1,2,3……）T0（3）B0T0 20n（s）（n=1,2,3）

60（kg/C）