2021年度年一般高等学校招生全国统一考试理科数学(全国3卷)

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．

1，2，那么A1．已知集合Ax|x1≥0，B0，A．0 2．1i2i

A．3i

B．3i

B．1

B

C．1，2 1，2 D．0，C．3i D．3i

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部份叫榫头，凹进部份叫卯眼，图中木构件右边的小长

方体是榫头．假设如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，那么咬合时带卯眼的木构件的俯视图能够是

14．假设sin，那么cos2

38A．

9 B．

7 9 C．7 9 D．8 925．x2的展开式中x4的系数为

x5A．10 B．20 C．40 D．80

6．直线xy20别离与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x22y22上，那么△ABP面积的取值

范围是 A．2，6

8 B．4，

C．2， 32D．22， 327．函数yx4x22的图像大致为

8．某群体中的每位成员利用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式彼此，设X为该群体的10位成员

中利用移动支付的人数，DX2.4，PX4PX6，那么p A．

B．

C．

D．

a2b2c29．△ABC的内角A，B，，那么C C的对边别离为a，b，c，假设△ABC的面积为

4ππππA． B． C． D．

234610．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，那么三棱锥DABC体积的最大值为

A．123 B．183 C．243 D．3

x2y211．设F1，F2是双曲线C：221（a0，b0）的左、右核心，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的

ab垂线，垂足为P．假设PF16OP，那么C的离心率为

A．5 B．2 C．3 D．2

12．设alog0.20.3，blog20.3，那么

A．abab0 C．ab0ab

B．abab0 D．ab0ab

二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分．

13．已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．假设c∥2a+b，那么________．

1处的切线的斜率为2，那么a________． 14．曲线yax1ex在点0，π15．函数fxcos3x在0，π的零点个数为________．

61和抛物线C：y24x，过C的核心且斜率为k的直线与C交于A，B两点．假设 16．已知点M1，∠AMB90，那么k________．

三、解答题：共70分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．第17~21题为必考题，每一个试题考生都

必需作答．第2二、23题为选考题，考生依照要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）

等比数列an中，a11，a54a3． （1）求an的通项公式；

（2）记Sn为an的前n项和．假设Sm63，求m． 18．（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．依照工人完成生产任务的工作时刻（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）依照茎叶图判定哪一种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时刻的中位数m，并将完成生产任务所需时刻超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式 第二种生产方式 超过m 不超过m （3）依照（2）中的列联表，可否有99%的把握以为两种生产方式的效率有不同？ 附：K2nadbc2abcdacbd，

PK2≥k 0.050 0.010 k 0.001 3.841 6.635 10.828 19．（12分）

如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

20．（12分）

x2y2已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M1，mm0．

431（1）证明：k；

2（2）设F为C的右核心，P为C上一点,且FPFAFB0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．

21．（12分）

已知函数fx2xax2ln1x2x．

（1）假设a0，证明：当1x0时，fx0；当x0时，fx0； （2）假设x0是fx的极大值点，求a．

（二）选考题：共10分，请考生在第2二、23题中任选一题作答，假设是多做，那么按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

xcos，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（为参数），过点0，2且倾斜角为ysin的直线l与⊙O交于A，B两点． （1）求的取值范围；学.

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数fx2x1x1． （1）画出yfx的图像；

（2）当x∈0，，fx≤axb，求ab的最小值．

参：

1 C 13.

2 D 3 A 4 B 5 C 6 A 7 D 8 B 9 C 10 B 11 C 12 B 1 14.3 15.3 217.(12分)

n1解：（1）设{an}的公比为q，由题设得anq.

由已知得q4q，解得q0（舍去），q2或q2.

n1n1故an(2)或an2.

42（2）假设an(2)n11(2)nm，那么Sn.由Sm63得(2)188，此方程没有正整数解.

3n1n若an2，那么Sn21.由Sm63得2m，解得m6.

综上，m6.

18.（12分）

解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时刻至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时刻最多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时刻的中位数为分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时刻的中位数为分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时刻高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时刻低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时刻散布在茎8上的最多，关于茎致呈对称散布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时刻散布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称散布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时刻散布的区间相同，故能够以为用第二种生产方式完成生产任务所需的时刻比用第一种生产方式完成生产任务所需的时刻更少，因此第二种生产方式的效率更高.*网

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由都可得分. （2）由茎叶图知m列联表如下：

第一种生产方式 第二种生产方式 2798180. 2超过m 15 5 不超过m 5 15 40(151555)2106.635，因此有99%的把握以为两种生产方式的效率有不同. （3）由于K2020202019.（12分）

解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,因此BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.

因为M为CD上异于C，D的点,且DC为直径，因此 DM⊥CM. 又 BC

CM=C,因此DM⊥平面BMC.

而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

（2）以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,成立如下图的空间直角坐标系D−xyz.

当三棱锥M−ABC体积最大时，M为CD的中点.

由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)，

AM(2,1,1),AB(0,2,0),DA(2,0,0)

设n(x,y,z)是平面MAB的法向量,那么

nAM0,2xyz0,即 2y0.nAB0.可取n(1,0,2).

DA是平面MCD的法向量,因此

cosn,DAnDA5，

|n||DA|525， 525. 5sinn,DA所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是20.（12分）

x12y12x22y221,1. 解：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，那么4343两式相减，并由

y1y2k得

x1x2x1x2y1y2k0. 43由题设知

x1x2yy1,12m，于是 22k3.①4m由题设得0m31，故k. 22（2）由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则

(x31,y3)(x11,y1)(x21,y2)(0,0).

由（1）及题设得x33(x1x2)1,y3(y1y2)2m0. 又点P在C上，因此m于是

333，从而P(1,)，|FP|. 422x12x|FA|(x11)y(x11)3(1)21.

422212同理|FB|2x2. 21(x1x2)3. 2因此|FA||FB|4故2|FP||FA||FB|，即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列. 设该数列的公差为d，那么

2|d|||FB||FA||3代入①得k1. 411|x1x2|(x1x2)24x1x2.② 22将m因此l的方程为yx712，代入C的方程，并整理得7x14x0. 44故x1x22,x1x21321，代入②解得|d|.

2828321321或. 2828因此该数列的公差为21.(12分)

解：（1）当a0时，f(x)(2x)ln(1x)2x，f(x)ln(1x)设函数g(x)f(x)ln(1x)x. 1xxx，那么g(x).

(1x)21x当1x0时，g(x)0；当x0时，g(x)0.故当x1时，g(x)g(0)0，且仅当x0时，

g(x)0，从而f(x)0，且仅当x0时，f(x)0.

因此f(x)在(1,)单调递增.学#

又f(0)0，故当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.

（2）（i）假设a0，由（1）知，当x0时，f(x)(2x)ln(1x)2x0f(0)，这与x0是f(x)的极大值点矛盾.

（ii）假设a0，设函数h(x)由于当|x|min{1,f(x)2x. ln(1x)2xax22xax21}时，2xax20，故h(x)与f(x)符号相同. |a|又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的极大值点当且仅当x0是h(x)的极大值点.

12(2xax2)2x(12ax)x2(a2x24ax6a1)h(x).

1x(2xax2)2(x1)(ax2x2)2假设是6a10，那么当0x大值点.

假设是6a10，那么a2x24ax6a10存在根x10，故当x(x1,0)，且|x|min{1,6a11，且|x|min{1,}时，h(x)0，故x0不是h(x)的极4a|a|1}时，|a|h(x)0，因此x0不是h(x)的极大值点.

x3(x24)假设是6a10，那么h(x).那么当x(1,0)时，h(x)0；当x(0,1)时，

(x1)(x26x12)2h(x)0.因此x0是h(x)的极大值点，从而x0是f(x)的极大值点

综上，a1. 622．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）当当O的直角坐标方程为x2y21．

时，l与O交于两点． 22|1，解得时，记tank，那么l的方程为ykx2．l与O交于两点当且仅当|221kk1或k1，即(,)或(,)．

4224综上，的取值范围是(,)． 44xtcos,(t为参数，)． （2）l的参数方程为44y2tsin设A，B，P对应的参数别离为tA，tB，tP，那么tPtAtB ，且tA，tB知足t222tsin10．

2xtPcos, 于是tAtB22sin，tP2sin．又点P的坐标(x,y)知足y2tsin.P2xsin2,2(为参数，)． 因此点P的轨迹的参数方程是44y22cos22223．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

13x,x,21【解析】（1）f(x)x2,x1,yf(x)的图像如下图．

23x,x1.

（2）由（1）知，yf(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部份所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在[0,)成立，因此ab的最小值为5．