湖北省黄冈中学等八校2019届高三第一次(12月)联考数学理试题及答案

2019届高三八校第一次联考数学（理科）试题2018年12月12日下午15：00—17:00第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A{x||x|1}，B{yyA.[1,2]B.[1,)3sinx1},，则AB（ ）C.(,1][1,2]D.[0,1]2.已知复数z3i（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）2iB. A.3232C. 3i212019D. 3i23.设alog2018A.abc 2019，blog20192018，c2018B.acb，则a,b,c的大小关系是（ ）D.cbaC.cab5x4x04.设函数f(x)x，若角的终边经过点P(3,4)，则f[f(cos)]的值为（ ）x03A.1B.3C.4D.95.已知公差不为0的等差数列an的首项a13，且a2,a4,a7成等比数列，数列bn的前n项和Sn满足Sn2，nNA.31n，数列c满足cnnanbn,nN，则数列cn的前3项和为（ ）D.59B.34C.626.下列有关命题的说法正确的是（ ）A.x(0,)，使得2sinx2成立. sinxB.命题p：任意xR，都有cosx1，则p：存在x0R，使得cosx01.C.命题“若a2且b2，则ab4且ab4”的逆命题为真命题.D.若数列{an}是等比数列，m,n,pN则amanap是mn2p的必要不充分条件.*2xy07.设不等式组2xy20表示的平面区域为w，则（ ）x1A.w的面积是92y2x2 B. w内的点到x轴的距离有最大值D. 若点p(x0,y0)w，则x0y02C. 点A(x,y)在w内时，8.将向量列a1(x1,y1),a2(x2,y2),an(xn,yn)组成的系列称为向量列{an}，并记向量列{an}的前n项和为Sna1a2a3an，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量 p，那么称这样的向量列为等和向量列。已知向量列{an}为等和向量列，若a1(1,0),p(1,1)，则与向量S31一定是垂直的向量坐标是（ ）A.(16,15)B. (31,30)C. (15,16)D.(16,15)9.函数yf(x)的定义域为R，且(x)f(x)f(xa)其中a0，a为常数，若对任意x1,x2(x1x2)都有(x1)(x2)x1x20，则函数yf(x)的图象可以是（ ）x2x3x4x5x6x710.已知函数f(x)1x，若函数h(x)f(x3)的零点都在区间234567b(a,b)(ab,a,bZ)内，当ba取最小值时，(2x1)dx等于（ ）aA．3B．4C．5D．611.已知f(x)sin(x3)同时满足下列三个条件：①f(x1)f(x2)2时x1x2最小值为2，②yf(x)是奇函数，③f(0)f().36若f(x)在0,t上没有最大值，则实数t的范围是（ ）A．0,6B．0,1162C．11,612D．511,61212.已知函数hxalnxa1x1a0 ，在函数hx图象上任取两点A,B，若直线AB的斜率的绝对值都不小于5，则实数a的取值范围是（）A.,0 B.(,236] 4C.(,236] 4D.(236,0)4第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.13. 已知向量a(t,0),b(1,2)，若ab2，则|a2b| 14. .公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割212cos227值约为0.618，这一数值也可表示为m2sin18. 若mn4，则 3mn.15.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)0，且f(x)的导函数f(x)满足f(x)10，则不等式f(lnx)lnx1的解集为 .（结果用区间表示）16.已知各项均为正数的两个无穷数列{an}和{bn}满足：an1anbnan2bn2，bn12bn，nN，且an{an}是等比数列，给定以下四个结论：①数列{an}的所有项都不大于2；②数列{bn}的所有项都大于2；③数列{an}的公比等于1；④数列{bn}一定是等比数列。其中正确结论的序号是 三、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. .22(本题满分12分)在ABC中，已知点D在边BC上，且ADAC0，cosDAB，3AB32.（1）若BC43，求sinC的值；（2）若AC2，求BC边上的中线AE的长. P18. (本题满分12分)如图所示，四棱锥PABCD中，EADBC面面PADABCD，PA=PD=2，四边形ABCD为等腰梯形，BC//AD,BCCD1AD1,2E为PA的中点.（1）求证：EB//平面PCD.（2）求面PAD与平面PCD所成的二面角的正弦值.19. (本题满分12分)首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办。国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集……首届进博会亮点纷呈。一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案。某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供采购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场。已知该产品年固定研发成本30万美元，每生产一台需另投入90美元。设该公司一年内生产该产品x万台0x202403x,且全部售完，每万台的销售收入为G(x)万美元，G(x)3000600080,x20x+1x(x1)（1）写出年利润S（万美元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求最大利润.20. (本题满分12分) 已知点F(4,0),H(CA2CB（1）求动点C的轨迹方程；411,0)，ABC的两顶点A(2,0),B(,0)，且点C满足82（2）设a(5,0),b(0,3),OC(aOC,bOC)，求动点C的轨迹方程；（3）过点F的动直线l与曲线C交于不同两点M,N，过点M作y轴垂线l，试判断直线l与直线NH的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程，否则，说明理由.p11lnx121. (本题满分12分)已知函数ux，不等式1px对x0,恒成立.xx（1）求函数ux的极值和函数ux的图象在点1,u1处的切线方程；（2）求实数p的取值的集合T；m22e2（3）设p0T，函数fxmx，其中e为自然对数的底数，若关logp0x，gxxx4m0至少有一个解x01,6，求m的取值范围．于x的不等式gx2fxmxx请考生在第22－23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修4－4，极坐标与参数方程xcos22sin已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线C:（为参数），在以ysin22cos平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos(3)2.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）直线l与x轴的交点P，经过点P的直线m与曲线C交于A,B两点，若PAPB43，求直线m的倾斜角.23.（本小题满分10分）选修4－5，不等式选讲2x已知函数f(x)8x0x2x2, g(x)af(x)x2.（1）当a0时，若g(x)bx5对任意x(0,)恒成立，求实数b的取值范围；（2）当a1时，求不等式g(x)2的解集.2019届高三八校第一次联考数学（理科）试题参考答案一、选择题：1－5ABCBB 6-10DCCAB11-12 DB2a1x2a0，hx在0,单调递减12. 解析：hxxhxhx2Ax1,y1,Bx2,y2，15 设x1x20,则hx15x1hx25x2x1x2+上单调递减设fxhx5x,则fx在0，2a1x25xa0对x0,恒成立 则fxx则2a1x5xa0对x0,恒成立 2则0,即8a8a2502解之得a236236236或a 又a0，所以a444162二、填空题：13. 4214.15. (0,e)16. ①③④2anbn16.解析：因为2所以1an1an2bn2anbn2 ① 下证等比数列an的公比q12,则当时，nlogq2a1a1qn2 此时an12，与①矛盾若q1，则a1a2nlogq若若0q1，则a1a21,则当时，1a1a1qn1 此时an11，与①矛盾故q1 故bn122bn 下证a12，若a12 则1,于是b1b2b3,a1a1a1a122a12由a1 所以b1,b2,b3中至少有两项相同，矛盾得bn222a11a1bna1bn所以a1三、解答题：2,所有bn2 所以正确的序号是①③④17.(1) 由条件得sinBACsin(90DAB)cosDAB223在中则ABC，3243,sinC223sinC3. ………………6分3（2）由(1)sinBAC221 ∵BAC为钝角∴cosBAC331212由得（）AE=（）（）AB+ACAE=AB+AC………………8分242,AB32，所以AE2 ………………12分又AC18.（1）取的中点连接ADO.EO,OB,∴OE//PD 又∵BC//AD,BC∴BO//CD∵E为的中点为的中点PA，OAD∴四边形是平行四边形BCDO1AD2∵OE//PD,BO//CD,OE和是平面内的两条交线BOEBO∴平面平面EBO//PCD ………………4分又∵BE平面PCD ∴ BE//平面PCD ………………6分（2）取的中点以方向为正方向BCM,OM,OD,OP，建立如图所示的空间直角系O-xyz， 31PAD的为则P(0,0,1),A(0,1,0),D(0,1,0),C(,,0) 则平面一个法向量2231PD(0,1,1),CD(,,0)， 22设平面一个法向量PCD的为则………………8分n1(1,0,0),n2(x,y,z),yz031xy022不妨令则x1,y3,z1,n2(1,3,3)142∴coscosn1,n2………………12分,则sin7719. 解：（1）当0x20时，SxG(x)(90x30)3x150x30当x20时，SxG(x)(90x30)10x23000(x2)30x13x2150x30,0x20函数解析式为：S ……………4分3000(x2)30,x2010xx1（2）当0x20时，因为S3(x25)1845，S在(0,20]上单调递增，所以当x20时，SmaxS(20)1770 ………………6分当x20时，2S10x3000(x2)900090003010x297010(x1)2970 x1x1x1………………9分2900010(x1)29702370 x1当且仅当900010(x1)即x29时等号成立 ………………10分x1因为23701770所以x29时，S的最大值为2370万美元. ……………11分答：当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为2370万美元. …12分20. 解：（1）设动点C(x,y)，其中y0 由(x2)y2(x)y得：22122x2y21（y0）…… 3分（没强调“y0”的扣1分，后面不重复扣分）xx5x（2）设点C(x,y)，由得y3yyx2y21（y0）259x5，代入（1）中的方程得：y3x2y2即曲线C轨迹方程为1（y0） ……………… 6分259（3）显然过点F(4,0)直线l不垂直y轴上，设l:xmy4,同时设M(x1,y1),N(x2,y2)xmy422由x2y2 消x整理得: (9m25)y72my810125972m81， ……………… 7分yy12229m259m25y241直线l:yy1 …… ① 直线NH:y(x) …… ②418x289my1y2y141y2418 ………… 9分联立①②求解交点，消y得：y1(x) x98y28my288172m把韦达定理中的y1y2及变形式代入上式得：yy129m2259m225由韦达定理得：y1y2x41881m972m(y)2229m2589m2525(与m无关）y2425上. ………………12分4故两直线l,NH的交点恒落在直线x21. 解：（1）ux1lnx，则x0,e时，ux0,xe,时，ux0,2x故ux在0,e递增，在e,递减，…………………..1分故ux极大值ue1,不存在极小值； ……………………2分e又u11,u10，故函数ux的图象在点1,u1处的切线方程为：yx1 分显然，p0不合题意。1111当p0时，由1px得pln11lnp，xxxp1………..31ln1xlnp， …..4分则有1p1x1ln1xlnp对x0,恒成立故依题意知1p1x1ln11x取得最大值1，故1lnp由前面的结论知，当1e时，1xeep1x又可知，当pe时，1lnp1lnp取得最大值，故 epep……..5分故1lnp， ep综上的pe …………………..6分（3）设hxgx2fxmx4mx2e2m则hxmx2lnx………………..7分xxm12e2当m0时，x[1,6],mxmx0,2lnx0，xxx所以不存在x0[1,6]使得h(x0)0成立. 故m0不合题意。…………..9分2e2m2mx2m2x2e2当m0时，h(x)2m2+xxxx2因为x[1,6],2x2e226e20,mx2m0， 所以h(x)0在[1,6]恒成立，故h(x)在[1,6]单调递减，h(x)mine2mh66m2ln6， ………..10分36e2m则依题意有6m2ln60 …………..11分362e212ln62e212ln6解之得m 故m的取值范围 ,………..12分3535（本题可用分离变量求解更简单）22. 解：（1）曲线C的普通方程为xy922直线l的直角坐标方程为x3y40………………4分（2）点P的坐标为(4,0)设直线m的参数方程为2x4tcos （t为参数，为倾斜角）联立ytsin直线m与曲线C的方程得：t8cost70………………6分t1t28cos设A、B对应的参数分别为t1,t2，则 t1t2764cos2280PAPBt1t2t1t28cos43 cos………8分53且满足0 故直线m的倾斜角是或……………10分662（说明，不检验扣1分）23. 解：（1）当a0时，g(x)bx5转化为bx2x5x2x5x2(x5)3 b3……………4分x20x2（2）当a1时，由g(x)2得或8………6分2xx22x22xx20x24即或解得xx2或2x22………8分83x03x4x故不等式的解集为{x4x22}………10分3（以上解答题如用其它方法作答，请酌情给分）