张元鹏《微观经济学》(中级教程)习题详解(第5章 生产者行为理论Ⅰ)

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张元鹏《微观经济学》（中级教程）第五章 生产者行为理论（Ⅰ）

习题详解

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1．公司A和B都生产产品X。每一个公司计划日产量为1000单位。公司可选择使用下述生产方式（投入组合）中的任一种达到日产1000的目标：

劳动L 资本K

方式1 10 20

方式2 8 25

（1）方式1与方式2有可能同时达到技术有效吗？请解释为什么可以或者不可以。 （2）A公司每天每单位的劳动成本为200元，每单位资本的成本为100元。对于A公司，哪种生产方式是经济有效的？

（3）B公司每天每单位的劳动成本为250元，每单位资本的成本为75元。对于B公司，哪种生产方式是经济有效的？

答：（1）方式1与方式2有可能同时达到技术有效，因为方式1的劳动多于方式2，方式1的资本少于方式2，所以方式1和方式2两种投入要素的组合有可能位于同一条等产量线上，从而有可能同时达到技术有效。

（2）方式1生产1000单位日产量的总成本为C120010100204000元，平均成本为AC1400010004元。

方式2生产1000单位日产量的总成本为C22008100254100元，平均成本为AC2410010004.1元。

比较方式1和方式2的平均成本以及由（1）可知，两种方式均技术有效，但方式1更为经济有效。

（3）方式1生产1000单位日产量的总成本为C12501075204000元，平均成本为AC1400010004元。

方式2生产1000单位日产量的总成本为C2250875253875元，平均成本为AC2387510003.875元。

比较方式1和方式2的平均成本以及由（1）可知，两种方式均技术有效，但方式2更为经济有效。

2．对于下述各种情况，判断管理者做的是短期还是长期生产决策。简单解释说明。 （1）海上钻井平台的钻机监控人决定每天增加一个6小时的班组，以便使钻机可以全天24小时工作。

（2）渤海湾海上钻井平台的副总监选择增加3台机器设备。 （3）一位制造业的生产工程师制定每月的生产计划。 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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（4）在研究过一份未来人口出生率的人口报告之后，医院的管理者决定增加儿科病房。 答：（1）短期生产决策。钻机监控人手下有一个班组（固定投入），但是计划使用更多的变动投入（工人）以增加产量（每日钻探的公尺数）。

（2）长期生产决策。增加机器设备使得在短期经营期间内被当作固定投入的使用水平有所改变。

（3）短期生产决策。每月的生产计划通常被理解为在该生产期间内，有一些投入是不能改变的。

（4）长期生产决策。增加儿科病房意味着在短期经营中被认为固定不变的投入，现在增加了。

3．求下列生产函数中，何者规模报酬不变？何者递增？何者递减？

（1）fL,K2L22LK4K2 （2）fL,KaLbK （3）fL,KminaL,bK （4）fL,K4L0.5K0.5

答：对于生产函数QfK,L，若fL,K或者或者Q（其中为大于1的常数），则该生产函数属于规模报酬递增、不变和递减。

（1）fL,K22L22LK4K22fL,K，从而该生产函数为规模报酬递增； （2）fL,KaLbKaLbKfL,K，从而该生产函数为规模报酬不变； （3）fL,KminaL,bKfL,K，从而该生产函数为规模报酬不变； （4）fL,K4L0.5K0.54L0.5K0.5fL,K，从而该生产函数为规模报酬不

变。

4．规模报酬不变是否表示要素的边际产量不变？ 答：该说法错误。

规模报酬不变是指随着各项生产要素投入的同时增加倍，产量也相应增加倍，即

fL,KQ；而边际产量不变是指在其他要素投入保持不变时，增加某一种要素投入带

来的产量增加保持不变，即MP常数。

这是两个不同的概念，前者是针对长期生产，因为只有在长期中，所有要素投入才可变；而后者既可以针对长期生产，也能针对短期生产。在长期中，规模报酬不变是可能发生的，但当固定一种要素投入，随着另一种要素增加超过一定的比例，就会出现边际报酬递减的现象，二者不能等同，也不矛盾。

规模报酬不变的函数，其各个投入要素的边际产量只与K/L的值有关，而与投入的绝985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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对数量无关。当K/L不变时，边际产量亦不变，当K/L变动时，边际产量也会改变。所以，边际产量不变与规模报酬不变并无必然联系。

5．如果总产量曲线是一条经过原点的直线，请说明并作出相应的平均产量曲线和边际产量曲线。这样的总产量曲线是否有可能出现？为什么？

答：有可能。此时的生产函数为QaLbK（a，b为常数），从而APLMPLa，即平均产量曲线和边际产量曲线为两条重合的水平直线，如图5-18所示。

图5-18

从长期来看，这不符合规模报酬递减规律，因为如果出现这种情况，则只要不断地投入劳动力就能不断增加产出，最后的结果是整个世界的生产只要在花盆中进行即可，这显然是不可能的，所以在长期中，这样的总产量曲线不可能出现；但从短期来看，如果协调成本很小，以致可以被忽略时，边际产量和平均产量恒定的情况是可能存在的。对于那些同质且分离的劳动，它们的边际产量是不变的，如加工成衣和玩具的企业。

6．某生产函数如下形式：QfL,K01KL2K3L，其中0i1。 请问：

（1）当0，1，2，3满足什么条件时，该生产函数呈现规模报酬不变。 （2）证明在规模报酬不变的情况下，该函数呈现出边际产量递减而且边际产量函数是零次齐次的。

解：（1）规模报酬不变即要求fL,KfL,K。

fL,K01KL2K3L01KL2K3L121212fL,K01KL2K3L

所以当00，即00时，fL,KfL,K，从而生产函数规模报酬不变。 （2）规模报酬不变时，生产函数为fL,K1KL2K3L。

fL,KL131K2MPL1213，1KL20

2LL411212MPL985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

MPK

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fL,KK311L2MPK112，1K2L20 2KK41故劳动和资本的边际产量均递减。

又因为：

1111112MPLL,K1K2L231KL23MPLL,K

22111111MPKL,K1K2L221K2L22MPKL,K

22故劳动和资本的边际产量函数均为零次齐次函数。

7．在实际的生活中，我们很难找到厂商会在生产的第三阶段生产，您是否可举例说明在第三阶段生产的实例？

答：在第三阶段中，MPL0，TP开始下降，这表示生产要素投入过多，非但不能增加生产，反而使总产量减少，使生产者蒙受双重损失：资源的浪费和总产量的减少。因此，阶段Ⅲ被成为生产的不经济阶段，理论上生产者不会在此阶段进行生产，但现实中由于其他因素的影响，厂商有可能在此阶段进行生产，比如：

（1）计划经济时期的部分国有企业。为了达到充分就业的目标，在企业里安排了过多职工，出现“人浮于事”的现象。此时就是在生产的第Ⅲ阶段生产，最直接的表现就是国有企业的效率低下，这时如果进行裁员反而会提高企业的效率。

（2）一些社会福利性、公益性的企业。它们不以利润最大化为目标，而是要考虑社会福利最大化，一般来说福利和效率是难以兼顾的，这时也可能出现在第Ⅲ阶段生产的情况。

（3）我国的农业。我国农村劳动力过剩问题相当严重，假如将一定范围的农村看作是一个生产商，那么由于劳动要素投入过多，劳动力的边际生产力就会为负，这时减少劳动投入反而会增加产出，相当于存在一种“拥挤成本”。

（4）一些季节性行业的企业也可能在第三阶段生产。例如一些具有很强季节性的旅游风景区中的宾馆，在旺季时，它能够比较充分地提供市场需求，但是到淡季时，会出现明显的员工（劳动力）和客房（资本）过多的情况，但这时不可能辞退员工或减少客房，因为不可能等到旺季再临时招聘员工进行培训，这样会降低服务的质量。客房数在短期内也是无法调整的，所以这些宾馆在淡季时很可能是在第三阶段提供服务。

8．对应于生产函数QLK0.2L20.8K2，求出APL和MPL的函数。令K10，L分别取何值时，APL和MPL等于零？并确定此时的生产的三阶段。

QQ0.8K2K0.4L。 解：APLK0.2L，MPLLLL0.810280当K10时，APL100.2L100.2L0，解得：L10或L40。

LLMPL100.4L0L25。

要确定生产的三阶段，需确定生产的合理区间（即第Ⅱ阶段的左右端点）。 左端点处有APLMPL，即100.2L右端点处有MPL0，得L25。

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80100.4L，得L20（L20舍去）， L

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故生产的三阶段分别为0,20，20,25和25,。

9．QfL,KALK1，A0，01。

（1）证明MPL0，MPK0；2Q/L20，2Q/K20。

（2）证明其满足欧拉定理。

（3）证明其扩展线为通过原点的一条直线（当w4，r2）。

LQKQ（4）劳动的产出弹性为eL，资本的产生弹性为eK1。

QLQK（5）证明MRTSLK只取决于K/L，而不依赖于生产规模，而且MRTSLK随着L/K的增加而递减。

（6）若市场为完全竞争市场，则使用资本的成本占总成本比例（称为资本的相对份额）为1，而劳动的相对份额为。

Q2Q11证明：（1）A0，01，MPL ALK0，21AL2K10；

LLMPKQ2Q1ALK0，1ALK10。 2KK（2）fLLfKKMPLLMPKKALK11ALK1ALK1Q，故该生产函数满足欧拉定理。

AL1K1Kw（3）生产的最优条件为MPL/MPKw/r，即2。 1ALK1LrK21L，即扩展线为通过原点的一条直线。

（4）eLeKLQL1AL1K1； QLALKKQK11ALK1。 QKALKMPLAL1K1K1， MPK1ALK1L1L/K（5）MRTSLKMRTSLK10

L/K1L/K2故MRTSLK只取决于K/L，而不依赖于生产规模，而且MRTSLK随着L/K的增加而递减。

（6）在完全竞争市场上，厂商按照生产的最优条件为MPL/MPKw/r进行生产，即AL1K1Kw，化简得rK1wL。

1ALK1Lr资本成本和劳动成本分别为rK和wL，总成本为rKwL。

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rKrKwLwL1，

1wLrKwLrKwLwLrKrK1即资本的相对份额为1，劳动的相对份额为。

10．生产函数为QfL,KLsinLK，且w10，r15。求该生产函数的扩展线。 K解：厂商生产的最优条件为MPL/MPKw/r，即：

LL1LcosKKKw102

r153LLLcos21KKsinL化简得：sinKLcosKL2L1cosK3K2L此即为该生产函数的扩展线方程。 ，

K

11．对于规模报酬不变的生产函数QfL,K来说，若其满足欧拉定理，则有

QffLKfLLfKK LK运用这一结论，证明对于这种生产函数，如果MPLAPL，则MPK必为负数。这意味着

生产应在何处进行呢？一个企业能够在APL递增的点进行生产吗？

答：（1）由QffLKfLLfKK，可得： LKAPLQKKfLfKMPLMPK LLLKKK，即MPK0，而0，故MPK0。 LLL如果MPLAPL，即有MPLAPLMPLMPK（2）由于MPK0，即资本的边际产量为负，这意味着生产在投入要素K的第三阶段进行生产。

（3）一个企业不能在APL递增的点进行生产。

当MPLAPL时，APL处于递增阶段，由（1）的证明可知，此时MPK0，这意味着生产在投入要素K的第三阶段生产，这是生产的不经济区域，所以厂商不会在这个阶段进行生产。

12．请运用欧拉定理证明，对于只有两种投入（K与L）的一个规模报酬不变的生产函数，fKL必定为正。请解释这一结论。

证明：对于规模报酬不变的生产函数QfL,K而言，根据欧拉定理，有：

QfLLfKK

fK,LLfL1L，故fKLfLfLLLfLfLL。

KKK如果边际报酬递减的假设成立，即fLL0，从而fKL0。

从而fK985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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在规模报酬不变和边际报酬递减的条件下，任何一种要素的边际产出都会fKL0说明，

随着另一种要素投入的增加而增加。

13．证明C-D生产函数和CES生产函数的扩展线均为线性形式。

证明：（1）对于C-D生产函数QfL,KALK1，根据生产的最优条件AL1K1Kw1wL，即扩展线为通过原

，所以MPL/MPKw/r，即Kr1ALK1Lr点的一条直线。

（2）对于CES生产函数QfL,KAL1K1有：

11Q1MPLAL1KL1LAL1K11L11A1L1KL1A

AL1Q1Q1Q同理，MPKKAK。

1KwAL根据生产的最优条件MPL/MPKw/r，即。 1r1L1QAKQ11wKr11L，即扩展线为通过原点的一条直线。

14．试证明在CES生产函数中

QAK1L1（A0，01，0）

当0时，即为C-D的生产函数。

证明：对CES生产函数两边取对数：lnQlnA当0时，对上式两边取极限，得：

limlnQlnAlim00lnL1K1lnL1K。



其中，利用L 'Hospital法则，有：

lim0lnL1KLlnL1KlnKlimlnL1lnK 0L1K985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

0

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故limlnQlnAlnL1lnKlnAlnL1lnK，即：

QALK1

其中A0，01。

故当0时，CES生产函数变成C-D生产函数。

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