2020年山东省新高考数学模拟试卷(三)

2020年山东省新高考数学模拟试卷（三）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）设集合M{x|0„x2}，N{x|x2x60}，则集合MIN等于( ) A．{x|0„x2}

B．{x|2„x3}

C．{x|0x„3}

D．{x|2„x0}

2．（5分）若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z11i，则A．i

B．i

C．1

D．1

z1( ) z23．（5分）设aR，b0，则“3a2b”是“alog3b”的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

4．（5分）如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%)，根据该图判断，以下结论中一定正确的是

( )

A．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量 B．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量 C．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果 D．华为的全年销量最大

uuuruuur5．（5分）如图，在ABC中，ABBC4，ABC30，AD是边BC上的高，则ADgAC的值等于( )

第1页（共19页）

A．2

B．4

C．6

D．8

ln(x21x)3x6．（5分）函数f(x)的图象大致为( )

x21A． B．

C． D．

x2y27．（5分）已知双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，

ab1渐近线方程为yx，|MF1||MF2|4，点N在圆x2y24y0上，则|MN||MF1|的

2最小值为( ) A．27 B．5

C．6

D．7

8．（5分）已知函数f(x)lnxln(ax)的图象关于直线x1对称，则函数f(x)的值域为(

)

A．(0,2)

B．[0，)

C．(，2]

D．(，0]

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC60，ABC的平分线交AC于点D，且BD3， 则下列说法正确的是( ) A．ac的最小值是4

C．a2c的最小值是222

B．ac的最大值是4

D．a2c的最小值是322 10．（5分）若非零实数a，b满足ab，则下列不等式不一定成立的是( ) A．

a1 bB．

ba…2 abC．

11 22ababD．a2ab2b

11．（5分）已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12和16，则这两个截面

第2页（共19页）

圆间的距离为( ) A．2

B．4

C．12

D．14

12．（5分）若三条直线l1:axy10，l2:xay10，l3:xya0不能围成三角形，则a的取值为( ) A．a1

B．a1

C．a2

D．a2

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）

14．（5分）意大利数学家列昂那多g斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即F（1）F（2）1，F(n)F(n1)F(n2)(n…3，、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2nN*)，此数列在现代物理“准晶体结构”

整除后的余数构成一个新数列{an}，则a2019 ，数列{an}的前2019项的和为 ． 15．（5分）若函数f(x)mx2ex1(e为自然对数的底数）在xx1和xx2两处取得极值，且x2…2x1，则实数m的取值范围是 ．

x2y216．（5分）若F(c,0)是双曲线221(a0,b0)的右焦点，过点F作该双曲线一条渐

ab12a2近线的垂线并与两条渐近线分别相交于A，B两点，O为坐标原点，OAB的面积为，

7则该双曲线的离心率为 ．

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） c，17．（10分）在ABC中，内角A，且4bcos2b，C的对边分别为a，B，

A32basinB． 22（1）求cosA；

（2）若a25，c5，求b．

18．（12分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn,4Snan24n1,a11． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设{an}是递增数列，bn数m的取值范围．

19．（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）

第3页（共19页）

m1，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn„恒成立，求实

angan16

男性 女性 合计 经常网购 50 70 偶尔或不用网购 合计 100 100 （Ⅰ）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？

（Ⅱ）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；

②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差． n(adbc)2参考公式：K

(ab)(cd)(ac)(bd)2P(K2…k0) k0 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 20．（12分）四边形ABCD是菱形，平面ACEF平面ABCD，ACEF是矩形，AB2AF2，

BAD60，G是BE的中点．

（Ⅰ）证明：CG//平面BDF （Ⅱ）求二面角EBFD的余弦值．

x2y2121．（12分）已知椭圆E:E:221(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，

ab2动点P在椭圆E上，△PF1F2的周长为6． （1）求椭圆E的方程；

（2）设直线PF2与椭圆E的另一个交点为Q，过P，Q分别作直线l:xt(t2)的垂线，垂足为M，N，l与x轴的交点为T．若四边形PMNQ的面积是PQT面积的3倍，求直线

第4页（共19页）

PQ斜率的取值范围．

22．（12分）已知函数f(x)xex1alnx（无理数e2.718)． （1）若f(x)在(1,)单调递增，求实数a的取值范围：

eln2ln22（2）当a0时，设g(x)gf(x)x2x，证明：当x0时，g(x)1()．

x22

第5页（共19页）

2020年山东省新高考数学模拟试卷（三）

参与试题解析

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）设集合M{x|0„x2}，N{x|x2x60}，则集合MIN等于( ) A．{x|0„x2}

B．{x|2„x3}

C．{x|0x„3}

D．{x|2„x0}

【解答】解：N{x|2x3}； MIN{x|0„x2}．

故选：A．

2．（5分）若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z11i，则A．i

B．i

C．1

D．1

z1( ) z2【解答】解：Qz1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z11i， z21i， 

z11i(1i)(1i)2ii． z21i(1i)(1i)2故选：B．

3．（5分）设aR，b0，则“3a2b”是“alog3b”的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【解答】解：若3a2b，b0，则alog32b，可得alog3b；若alog3b，可得3ab，无法得到3a2b，

所以“3a2b”是“alog3b”的充分而不必要条件． 故选：A．

4．（5分）如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%)，根据该图判断，以下结论中一定正确的是

( )第6页（共19页）

A．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量 B．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量 C．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果 D．华为的全年销量最大 【解答】解：根据图象，分析如下：

A，错误，第四季度三星和苹果总销量之和低于华为的销量； B，错误，苹果第二季度的销量大于第三季度的销量；

C，错误，第一季度销量最大的为华为；

D，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大，故D正确，

故选：D．

uuuruuur5．（5分）如图，在ABC中，ABBC4，ABC30，AD是边BC上的高，则ADgAC的值等于( )

A．2

B．4

C．6

D．8

uuuruuuruuuruuuruuurADgACADg(ABBC) 【解答】解：uuuruuuruuuruuurADgABADgBC uuuruuurADgAB

uuuruuur|AD|g|AB|cosBAD uuuruuur|AB|gsin30g|AB|gcos60

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11444；

22故选：B．

ln(x21x)3x6．（5分）函数f(x)的图象大致为( )

x21A． B．

C．【

解

答

ln1x1xx212D．

】

3x 解

：

ln(x21x)3xf(x)x21ln(x21x)3xln(x21x)3xf(x)x21x21，

即函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D， f（1）ln(21)30，排除B，

2故选：A．

x2y27．（5分）已知双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，

ab1渐近线方程为yx，|MF1||MF2|4，点N在圆x2y24y0上，则|MN||MF1|的

2最小值为( ) A．27 B．5

C．6

D．7

【解答】解：由题意可得2a4，即a2，

b11渐近线方程为yx，即有，

a22x2即b1，可得双曲线方程为y21，

4焦点为F1(5，0)，F2，(5，0)，

由双曲线的定义可得|MF1|2a|MF2|4|MF2|， 由圆x2y24y0可得圆心C(0,2)，半径r2，

第8页（共19页）

|MN||MF1|4|MN||MF2|，

连接CF2，交双曲线于M，圆于N，

可得|MN||MF2|取得最小值，且为|CF2|453， 则则|MN||MF1|的最小值为4325． 故选：B．

8．（5分）已知函数f(x)lnxln(ax)的图象关于直线x1对称，则函数f(x)的值域为(

)

A．(0,2)

B．[0，)

C．(，2]

D．(，0]

【解答】解：根据题意，对于函数f(x)lnxln(ax)，

有f(ax)ln(ax)ln[a(ax)]lnxln(ax)f(x)，则函数f(x)的图象关于直线

xa对称， 2若函数f(x)lnxln(ax)的图象关于直线x1对称，则有则f(x)lnxln(2x)ln(2xx2)，其定义域为(0,2)， 设t2xx2，则ylnt，

又由t(x1)21，0x2，则有0t„1， 则ylnt„0，

即函数f(x)的值域为(，0]； 故选：D．

a1，则a2， 2二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC60，ABC第9页（共19页）

的平分线交AC于点D，且BD3， 则下列说法正确的是( ) A．ac的最小值是4

C．a2c的最小值是222

【解答】解：有题意知SABCSABDSBDC，

B．ac的最大值是4

D．a2c的最小值是322 111由角平分线性质以及面积公式可得：acgsin603agsin303cgsin60，

222化简得acac，

2ac，当且仅当ac时成立， acac…4，选项A对； 解之得ac…Qacac，

111， ac1a1ca2c…322，当且仅当ac，选项D对； caa2c(a2c)()3故选：AD．

10．（5分）若非零实数a，b满足ab，则下列不等式不一定成立的是( ) A．

a1 bB．

ba…2 abC．

11 ab2a2bD．a2ab2b

【解答】解：当ab0时，当

a1不成立， baab0时，…2不成立， bba11ab11因为22，则一定成立， 0abab(ab)2ab2a2b因为a2b2ab(ab)(ab1)符号不定，故a2ab2b不一定成立． 故选：ABD．

11．（5分）已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12和16，则这两个截面圆间的距离为( ) A．2

B．4

C．12

D．14

【解答】解：两个平行截面圆的周长分别是12和16，可得两个半径分别为6，8，

第10页（共19页）

如果这两个平行平面在球心同一侧时，取球的中截面可得球心到截面的距离

OBR2r12102628，OAR2r22102826，

所以平行线间的距离dOBOA862，

如果这两个平行平面在球心两侧时，所以平行线间的距离dOBOA8614， 故选：AD．

12．（5分）若三条直线l1:axy10，l2:xay10，l3:xya0不能围成三角形，则a的取值为( ) A．a1

B．a1

C．a2

D．a2

【解答】解：由于l1的斜率a，l3的斜率为1， 则由题意可得l1和l3平行，或l2和l3平行，l1和l2平行． 若l1和l3平行，则

a1，求得a1； 111a若l2和l3平行，则，求得a1．

11若l1和l2平行，则

a1，求得a1． 1a综上可得，实数a所有可能的值为1，1， 故选：AB．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 36 种．（用数字作答） 【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①，将除甲乙的三人全排列，有A336种情况，排好后有4个空位，

②，由于甲不站在两端，则甲有2个空位可选，乙在剩下的3个空位中任选1个，有3种选法，则甲乙的选法有236种， 故不同的排法有6636种； 故答案为：36．

14．（5分）意大利数学家列昂那多g斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，

第11页（共19页）

2，3，5，8，13，21，34，55，，即F（1）F（2）1，F(n)F(n1)F(n2)(n…3，、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2nN*)，此数列在现代物理“准晶体结构”

整除后的余数构成一个新数列{an}，则a2019 0 ，数列{an}的前2019项的和为 ． 【解答】解：Q “兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，， 此数列被2整除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，，

即a11，a21，a30，a41，a51，a60，， 数列{an}是以3为周期的周期数列，

a2019a30，

数列{an}的前2019项的和为：a1a2a3a2019673(a1a2a3)67321346，

故答案为：0，1346．

15．（5分）若函数f(x)mx2ex1(e为自然对数的底数）在xx1和xx2两处取得极值，且x2…2x1，则实数m的取值范围是 [1,) ． ln2【解答】解：方法1:f(x)2mxex，2mx1ex1，2mx2ex2，直线y2mx，曲线yex，x2…2x1，

e2x1，x1„ln2， A(2x1，4mx1)，B(2x1，e2x1)，2ex1…exex(x1)构造g(x)，g(x)，在(0,1)递减，

2x2x2ex1． m…g(ln2)2xln2方法2:f(x)2mxex

ex由题知m有两个不等的实数根x1，x2且x2…2x1，

2xexex(x1)令h(x)，则h(x)，

2x2x2易知h(x)在(,0)，(0,1)上为减函数；在(1,)上为增函数． ex1ex21当x22x1时，由，得x1ln2，此时m； 2x12x2ln2当x22x1时，m综上m[1 ln21,)． ln2第12页（共19页）

故答案为：[1,)． ln2

x2y216．（5分）若F(c,0)是双曲线221(a0,b0)的右焦点，过点F作该双曲线一条渐

ab12a2近线的垂线并与两条渐近线分别相交于A，B两点，O为坐标原点，OAB的面积为，

75则该双曲线的离心率为 ．

4x2y2b【解答】解：双曲线221的渐近线方程为yx，

aba设两条渐近线的夹角为，

bb()a2ab， 则tantanAOBa22bb1g()abaa设FBOB，则F到渐近线y即有|OB|a，

b|bc|x的距离为db，

22aab1a3b12a2则OAB的面积可以表示为gagatan2， 2ab27b3解得，

a4cb25则e12．

aa4故答案为：

5． 4四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） c，17．（10分）在ABC中，内角A，且4bcos2b，C的对边分别为a，B，

A32basinB． 22（1）求cosA；

（2）若a25，c5，求b． 【解答】解：（1）因为4bcos2

A32basinB， 22第13页（共19页）

3所以2b(1cosA)2casinB，即4bcosA3asinB，

2由正弦定理可得，4sinBcosA3sinAsinB， 因为sinB0， 所以4cosA3sinA，

又sin2Acos2A1且sinA0，cosA0， 所以cosA3； 53b22520（2）由余弦定理可得，cosA，

510b整理可得，b26b50， 解可得，b1或b5．

18．（12分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn,4Snan24n1,a11． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设{an}是递增数列，bn数m的取值范围．

224n1[an2时，4an4Sn4Sn1an【解答】解：（1）n…14(n1)1]，化为：

m1，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn„恒成立，求实

angan162(an2)2an1，an0．

anan12，或anan12，

anan12时，数列{an}是等差数列，an12(n1)2n1． anan12，Qa11，可得an1．

（2）{an}是递增数列，an2n1． bn11111()，

angan1(2n1)(2n1)22n12n1111111111数列{bn}的前n项和Tn(1)(1)，

23352n12n122n12QTn„m1m3． 恒成立，„，解得m…626实数m的取值范围是[3，)．

19．（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）

第14页（共19页）

男性 女性 合计 经常网购 50 70 偶尔或不用网购 合计 100 100 （Ⅰ）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？

（Ⅱ）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；

②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差． n(adbc)2参考公式：K

(ab)(cd)(ac)(bd)2P(K2…k0) k0 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 【解答】解：（1）完成列联表（单位：人）:

男性 女性 合计 由列联表，得：

经常网购 50 70 120 偶尔或不用网购 50 30 80 合计 100 100 200 200(50305070)225k8.3336.635，

1208010010032能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．

（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10偶尔或不用网购的有10707人， 100303人， 100选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：

13C72C3C749P． 3C1060第15页（共19页）

②由22列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：将频率视为概率，

1200.6， 200从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，

由题意X~B(10,0.6)，

随机变量X的数学期望E(X)100.66，

方差D(X)100.60.42.4．

20．（12分）四边形ABCD是菱形，平面ACEF平面ABCD，ACEF是矩形，AB2AF2，

BAD60，G是BE的中点．

（Ⅰ）证明：CG//平面BDF （Ⅱ）求二面角EBFD的余弦值．

【解答】(I) 证法一：设ACIBDO，BF的中点为H，因为G是BE的中点，

GH//EF//AC,GH1ACOC， 2OCGH是平行四边形CG//OH，CG平面BDF，

OH平面BDF， CG//平面BDF

uuuruuuruuuruuuruuuruuur证法二：因为G是BE的中点，2CGCBCEDAAFDF，

CG//DF，

QCG平面BDF，DF平面BDF， CG//平面BDF

第16页（共19页）

(II)

设EF的中点为N，ACEF是矩形，ONAC，平面ACEF平面ABCD，

ON面ABCDONAC，ONBD

四边形ABCD是菱形，

ACBD，

以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为Y轴，ON所在直线为Z轴 建立空间直角坐标系，

AB2，AF1，BAD60，

uuuruuuruuur则DB(2,0,0),BF(1,3,1),EF(0,23,0)

uuruur平面BEF的法向量为n1(x1,y1,z1)，平面BDF的法向量为n2(x2,y2,z2)，

uuruuuruur23y10n1gEF0令z11，则n1(1,0,1)， uruuurun1gBF0x13y1z10uuruuuruur2x20ngDB02由uunruuur2(0,1,3) n2gBF0x23y2z20设二面角EBFD的大小为 uuruur则cos|cosn1,n2||322|6， 4则二面角EBFD的余弦值是6． 4

x2y2121．（12分）已知椭圆E:E:221(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，

ab2第17页（共19页）

动点P在椭圆E上，△PF1F2的周长为6． （1）求椭圆E的方程；

（2）设直线PF2与椭圆E的另一个交点为Q，过P，Q分别作直线l:xt(t2)的垂线，垂足为M，N，l与x轴的交点为T．若四边形PMNQ的面积是PQT面积的3倍，求直线PQ斜率的取值范围．

【解答】解：（1）因为P是E上的点，且F1，F2为E的左、右焦点，所以|PF1||PF2|2a， 又因为|F1F2|2c，△PF1F2的周长为6，所以2a2c6， 又因为椭圆的离心率为

c11，所以，解得a2，c1．所以b3，E的方程为

a22x2y2（4分） 1．43（2）依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为xmy1， x2y21由4，消去x得：(3m24)y26my90， 3xmy1设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则有△0且y1y26m9．（7分） ,ygy12223m43m4设四边形PMNQ的面积和PQT面积的分别为S1，S2，

11则S13S2，又因为S1[(tx1)(tx2)]|y1y2|，S2(t1)|y1y2|．

2211所以[(tx1)(tx2)]|y1y2|3(t1)|y1y2|，

22即3(t1)2t(x1x2)，得t3(x1x2)，

又x1my11，x2my21，于是t3(my1my22)1m(y1y2)，

6m26m24所以t12，由t2得122，解得m2，

3m43m4313设直线PQ的斜率为k，则k，所以0k2，

m4解得

33， k0或0k22第18页（共19页）

所以直线PQ斜率的取值范围是(33（12分） ,0)U(0,)．2222．（12分）已知函数f(x)xex1alnx（无理数e2.718)． （1）若f(x)在(1,)单调递增，求实数a的取值范围：

eln2ln22（2）当a0时，设g(x)gf(x)x2x，证明：当x0时，g(x)1()．

x22【解答】（1）解：由题意可得f(x)(1x)ex1a(xx2)ex1a…0在(1,)上恒成立． xxa„(xx2)ex1h(x)，h(x)(13xx2)ex10， 函数h(x)在(1,)上单调递增．

a„h（1）2．

实数a的取值范围是(，2]．

（2）证明：当a0时，g(x)exgf(x)x2xexx2x．g(x)ex2x1u(x)．u(x)ex2，可得xln2时，函数u(x)取得极小值，g(ln2)u(ln2)12ln20．

Qg(0)0，又g(112ln2)e112ln22(112ln2)12e3ln20．

存在x10(ln2,12ln2)，使得g(x0)ex02x010，ex02x01．

由单调性可得：xx0时，函数g(x)取得极小值即最小值，

g(x)…g(x22x221250)ex0x0x001x0x0x0x01(x02)4．

由

x2,110(ln2ln2)，可得函数

yg(x0)单调递减，g(x))…g(x(1115ln2ln220)2ln22)2412(2)．

当x0时，g(x)1ln2ln222(2)． 第19页（共19页）

故