地测防治水123

第二讲 点位的表示方法

基本要求：

1、了解点位表示方法、坐标系统、高程系统。掌握大地水准面、坐标、高程、高差、比例尺、坐标方位角等基本概念，重点掌握高斯平面直角坐标、国家通用座标的意义。

2、了解测量工作的实质，熟悉测量工作的内容、确定点位的三要素、测量的三项基本工作，掌握测量工作的原则。

难点：高斯投影、大地坐标、参考椭球、控制测量、碎部测量等概念。

重点：测量工作的实质、点位的表示方法、国家通用座标、高程，坐标方位角、比例尺的应用。

引言 测量工作的实质

测量工作的实质是确定地面点的空间位置。数学上是在空间坐标系里用

三维坐标来表示点的空间位置的，如图1—1。测量工作是在地球表面上进行的，为了确定点的空间位置，先应选择一个合适的投影面作为基准面，在基准面上建立坐标系，然后将地面点沿铅垂线方向投影到基准面上，用它们在基准面上的坐标和它们到基准面的垂直距离来表示。如图1—2。如何选择测量工作的基准面，怎样在基准面上建立坐标系，则与地球的形状和大小有关。

图1—1 点的空间坐标 图1—2 地面点的确定

一、 地球的形状和大小

测量工作的基准面是作为测量数据处理、统一坐标计算的基准面。其必须具备两个基本条件：基准面的形状和大小尽可能接近地球总的形体；能用简单的几何体和方程式表达。

地球表面的形状十分复杂，不便用数学式来表达。通过测绘工作者的长期实践和科学调查，发现地球表面积约为510083042㎞，其中海洋占70.8%，而陆地仅占29.2%，我国境内的喜马拉雅山的主峰——珠穆朗玛峰，高出海水面8846.27m，位于太平洋西部的马利亚纳海沟，则低于海平面11022m，两者之间的高度差近20000m。尽管有这样大的起伏，但从宏观上看，这些高低差异与巨大的地球半径（平均为6371km）相比，可以忽略不计。因此，

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地球总的形体可视为由海水面穿过陆地所包围的形体。

自由静止的水面称为水准面，水准面有无数个。海水面不是静止的，而是有

波浪和潮汐。海水面忽高忽低，其中通过平均海水面的水准面（与静止的海水

面最接近），称为大地水准面。大地水准面包围的形体叫大地体，它可以代表地球的形状和大小。

由物理学知道，水准面是个重力等位面，处处与重力方向垂直。大地水准面虽然比地球的自然表面要规则的多，但由于地球内部物质分布的不均匀性，导致地球上各点的铅垂线方向产生不规则的变化，这就使得大地水准面实际上是一个略有起伏变化而不规则的曲面(如图1-3a)，它的精确形态目前还无法用数学模型来描述。因此测量上选择了一个与大地水准面总形体非常接近并能用数学式子表达的面作为基准面。这个面是由一椭圆绕其短轴旋转而成，称为旋转椭球面。测量上把概括地球总形的旋转椭球面称为地球椭

球面，把适合区域性如一个国家领土的旋转椭球面称为参考椭球面。椭球的形状和大小，可由元素a、b、来描述（如图1—3b）。我国采用1975年IUGG（国际大地测量与地球物理联合会）推荐的地球椭球为

长半轴：a=6378140m；

短半轴：b=6356755.3m ； 扁率： =1：298.257。

测量工作就是以椭球面作为基准面并把这个面充当地球的数学

模型在上面建立与球一一对应的坐标系，从而确定地面点的位置。

图1—3 大地水准面和地球椭球

二、测量工作的基准面

1、大地水准面 野外测量基准面、高程基准面。 2、参考椭球面 大地测量的基准面。 3、高斯投影面 工程测量的基准面。 4、水平面 小区域测量基准面。 三、测量常用坐标系统

1．地理坐标系

地理坐标系是一球面坐标系。在地理坐标系中，地面点在球面上的位置用经度和纬度表示的称为地理坐标。

在图1—4中，PP1 为椭球的旋转轴，P表示

北极，P1表示南极， O表示球心。通过椭球旋转轴的平面称为子午面，而其中通过英国格林尼治天文台的子午面称为起始子午面。

子午面与椭球面的交线称为子午线。通过椭球中心且与椭球旋转轴正交的平面称为赤道面，赤道面与椭球面的交线称为赤道。与赤道面平行的平面和椭球表面的交线称为纬线。起始子午面和赤道面是确定地面某一点地理坐标的基准面。

图1－4中，L点的经度是该点的子午面与首子午面所构成的二面角，以

经度由首子

表示。

午面起向东、向西度量，各由0～180°，在首子午面以东者称为东经，

以西者称为西经。

L点的纬度是通过该点的铅垂线与赤道面之间的夹角，以Ф表示。纬度以赤道平面为基准，向北、向南各由0～90°，在赤道以北者称为北纬，以南者称为南纬。例如，北京的地理坐标（、Ф）为东经116°23′、北纬39°54′。上面所说的经纬度是用天文方法观

测得到的，所以又称为天文经纬度或天文地理坐标。还有一种经纬度是用大地测量的方法确定的，称为大地经纬度或大地地理坐标，通常用L表

示大地经度，B表示大地纬度。对于在球表面的同一点，这两种地理坐标的差异一般很小。在中小比例尺地形图中使用的经纬度通常是大地经纬度。

2、独立平面直角坐标系

在小区域内进行测量工作，若采用大地坐标来表示地面点的位置是不方便的，通常采用平面直角坐标。由于地球的半径很大，所以在较小区域内将椭球面看做平面而不失其应有的严密性。既然把投影面当做平面，就可以采用平面直角坐标来表示地面点在投影面上的位置（图1—5）。测量工作中采用的平面直角坐标系与数学中所介绍的相似，只是坐标轴互易。如图1—5所示，以ｘ轴为纵轴，一般用它表示南北方向，以ｙ轴为横轴，表示东西方向。纵横坐标轴的交点称为坐标原点。在象限的编号顺序上，测量坐标系按顺时针编号，而数学坐标系则按逆时针编号，这是因为测量上规定所有直线的方向都是从纵坐标轴北端起按顺时针方向量度的，而数学中的角度则是从横轴正方向起按逆时针方向量取的。

图1—5 测量坐标 图1—6 数学坐标 把ｘ轴与ｙ轴互换后，全部三角公式都可在测量计算中直接应用。

实际工作中，为了避免坐标出现负值，通常将平面直角坐标系的原点选在测量区域（测区）的西南某点上，以北方向为纵坐标轴。由于这里介绍的平面直角坐标系未与国家统一坐标系相联系，故称为任意坐标系或独立坐标系。在没有国家控制点或不便于与国家控制点联测的小地区测量中，允许暂时建立独立坐标系以保证测绘工作的顺利开展。

3、高斯平面直角坐标系

当我们研究小区域地球表面的测量问题时，可以把小区域地球表面视为平面，在平面上建立平面直角坐标系，用平面坐标表示点位。但是如果测区范围较大，就不能把地球表面当作平面看待，需要按照地图投影的方法，把地理坐标转化为直角坐标，将球面上的点移到平面上。我国采用高斯投影法。由高斯提出的横圆柱正形投影理论经克吕格补充研究完成的高斯——克吕格坐标就是建立在高斯投影面上的直角坐标。

椭球面是一个不可展曲面，将椭球面上的图形转换为平面必然产生一定的变形，为了控制由曲面正形投影到平面时引起的长度变形，高斯投影采取了分区分带的投影方法，使带内最大的变形控制在测量允许的范围内。现仅从几何关系上作简要说明。

为了研究方便把地球作为一个圆球看待，如图1—7a所示，设想将一个平面卷成圆柱

图1—7 高斯投影 形，把它套在地球外面，使圆柱面恰好与地面上的某一子午线相切（图中与PO P1相切），这条子午线称中央子午线或轴子午线。如果在球面上以不同的子午线分别与圆柱面相切，并以地心为投影中心，把地球表面分别投影到圆柱面上，则可以把地球表面分

成若干个瓜瓣形地带。例如每隔经差6°为一带(如图1—8)。然后将圆柱的母线剪开展呈平面，即为高斯投影平面，如图1—7b所示。

我国的分带投影是按照经度将地球划分为60个6°带，从0°子午线开始每隔经度差6°划分为一带，即0°~ 6°，6°~ 12°，12°~ 18°……..分带带号N自西向东依次为

1~60

如图 。位于各带边上的子午线称为分带

子午线，位于各带中央的子午线称为中央子午线，各带中央子午线的经度可按下式计算：

6=

6°N－3° （1—1）

投影时每带独立进行，将投影平面与中央子午线相切，按中央子午线投影为直线，且长度不变形，赤道投影为直线的条件进行投影。投影后，展开投影面，即高斯投影面。在高斯平面上除中央子午线与赤道的投影构成两条相互垂直的直线外，其余子午线均为对称于中

央子午线的曲线，而且距离中央子午线愈远，长度变形愈大，如分带子午线的变形就大于带内其它子午线的变形（图1—7b ）。为了控制变形，满足大比例尺测图和精密测量的需要也可采用3°带。由图1—9可知，3° 带是在6° 带的基础上划分的，3°带是从东经1.5°开始，自西向东每隔3°为一带，带号n依次为1~ 120带。各带中央子午线的经度可按下式计算：

3 = 3°n （1—2）

图1—9 投影带

例如，首都北京位于东经116°23′，所在6°带和3°带的中央子午线经度为6=

3=117°，则由式（1-1）和（1-2）

得：

N=（6+3°）÷6°=（117°+3°）÷6°= 20,

n= 3 ÷3°=117°÷3°= 39, 可见北京的6°带号为20，3°带号为39。

采用分带投影后，取各带的中央子午线为x轴，赤道为y轴，其交点为原点，从而建立起每个投影带独立

的高斯—克吕格坐标系。这样就可把地面上的点位按高斯—克吕格投影公式将球面坐标转换为平面坐标。

我国位于北半球，x坐标值为正，横坐标值y则有正有负，中央子午线以东为正，以西为负。这种以中央子午线为纵轴的坐标值，称为自然坐标值。为了使横坐标值不出现负值，规定每带坐标纵轴向西平移500km 计算坐标。这样，无论横坐标自然值为正为负，加上500km均为正值。为了判明点位所在的投影带，还规定在横坐标值之前加注投影带带号，这种由带号、500km和自然值三部分组成的坐标系，称

为国家统一坐标系。横坐标值y称为横坐标的统一值或通用值。

例 设A点位于19带，其自然坐标值为：x = 4687km，y = 178km.换算为国家通用坐标值为：X=4687km，Y=39678km。设B点也位于19带，自然坐标值为; x = 4128km，y = -183km.换算为国家通用坐标值为：X=4128km，Y=39317km。 由上例可以看出:由自然坐标值换算为国家通用坐标值时，x坐标值不变，y坐标值加上500km后，再在前面加注带号。显然，当y坐标的通用值大于500km时，该点位于投影带中央子午线的东侧，当y坐标的通用值小于500km时，该点位于投影带中央子午线的西侧。

由于我国境内6°带带号在13～23之间，而3°带带号则在24～45之间，没有重复带号，故根据某点的通用值，便可知道投影带是6°带还是3°带。

三、高程系

为了确定地面点的空间位置除了要确定其在基准面上的投影位置外，还应确定其沿投影方向到基准面的距离，即确定点的高低位置。

地面点沿铅垂线到大地水准面的距离，称为该点的绝对高程或海拔、标高，简称高程，以H表示。如图1-11所示，HA、HB表示地面点A和B

的绝对高程。如果基准面不是大地水准面，而是任意假定水准面时，则点到假定水准

面的距离称为相对高程或假定高程，用H′表示。图1-11中的HA和

HB表示A、B两点的假定高程。可见建立高程系的核心问题是如何建立高程起算面。

解放前，我国采用的高程起算面十分混乱，新中国成立后，我国的绝对高程以设在山东青岛市的国家验潮站1950年到1956年观测的验潮资料推算的黄海平均海水面作为全国高程 的起算基准面，以此基准的高程为零而建立的高程系统，称为“1956年黄海高程系”，为了明显而稳固地表示高程起算面的位置，国家于1956年在青岛建立了一个与平均海水面相联系的水准点，称为水准原点，其高程为72．289ｍ，作为布设国家高程控制网的高程起算点。20世纪80年代初国家又根据青岛

验潮站1953年到1979年的观测资料，重新计算水准原点的高程为72．2604ｍ，称为

“1985年国家高程基准”，该基准已于1985年1月1日起执行。

全国各地的地面点的高程，都是以青岛国家水准原点的黄海高程为起算数据，因而高程系统是全国统一的。在局部地区，如果远离已知高程的国家水准点，也可建立假定高程系统，即假定某个固定点的高程作为起算点，测算出其他各点的假定高程（也称相对高程）。

高程值有正有负，在基准面以上的点其高程值为正，反之为负。

相邻两点的高程之差称为高差，用ｈ表示。图1-11中A点到B点的高差

为：

HhABHBHAHBA

高差有正负之分，它反映相邻两点间的地面是上坡还是下坡，因此，高差值前应冠以 负号， 如果hAB为正，表示地面上B点高于A点，是上坡；hAB为负，表示B点低于A点，是下坡。

总之，对工程而言，测量工作的实质是确定点的平面位置和高低位置，点的平面位置用坐标表示，高低位置用高程表示。在矿山，采用高斯平面直角坐标系，用国家通用坐标值表示点的坐标；采用1985年国家高程基准作为高程系，用高程表示点的高低位置。