小学奥数：进制的应用.专项练习【精品】

5-8-2.进制的应用

教学目标

1. 了解进制；

2. 会对进制进行相应的转换； 3. 能够运用进制进行解题

知识点拨

一、数的进制

1.十进制：

我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。

2.二进制：

在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数

123

字0和1。二进制的计数单位分别是1、2、2、2、……，二进制数也可以写做展开式的形

3210

式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×2+0×2+0×2+1×2+1×2+0×2。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

0

注意：对于任意自然数n,我们有n=1。

3.k进制：

（k1）一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，，共k个数码组成，且“逢

kk1）k进一”．（进位制计数单位是k0，k1，k2，．如二进位制的计数单位是20，21，22，

，八进位制的计数单位是80，81，82，

．

4.k进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式

（anan1nn1a1a0）kankan1ka1ka0 a0100；

十进制表示形式：Nan10nan110n1二进制表示形式：Nan2nan12n1a020；

为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k，表示是k进位制的数

（352）（1010）（3145）如：8，2，12,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．

5.k进制的四则混合运算和十进制一样

先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

二、进制间的转换：

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一般地，十进制整数化为k进制数的方法是：除以k取余数，一直除到被除数小于k为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数．反过来，k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果． 如右图所示:

八进制 十进制 二进制 十六进制 例题精讲

模块一、进制在生活中的运用

【例 1】 有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工。这一次，拖了一个月的工钱，还是不

想付。可是不付又说不过去，便故作大方地拿出一条金链，共有7环。对长工说：“我不是要拖欠工资，只是想连这一个月加上再做半年的工资，都以这根金链来付。”他望向吃惊的长工，心中很是得意，“本人说话，从不食言，可以请大老爷作证。”大老爷可是说一不二的人，谁请他作证，他当作一种荣耀，总是分文不取，并会以命相拼也要兑现的。这越发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的一环三个月的工钱也不止。老财主越发得意，终于拿出杀手锏：“不过，我请大老爷作证的时候，提到一项附加条件，就是这样的金链实在不能都把它断开，请你只能打开一环，以后按月来取才行！”当长工明白了老财主的要求后，不仅不为难，反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月，顺利地拿到了这条金链，你知道怎么断开这条金链吗？

【巩固】 现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量

的物体？

【例 2】 茶叶店老板要求员工提高服务质量，开展“零等待”活动，当顾客要买茶叶的时5-8-2.进制的应用.题库 学生版 page 2 of 7

候，看谁最快

满足顾客的需要则为优秀。结果有一个员工总是第一名，而且顾客到他那儿不需要等待。原来他把茶叶先称出若干包来，放在柜台上，顾客告诉他重量，他就拿出相应重量的茶叶。别的伙计看在眼里，立即学习，可是柜台上却放不下许多包。奇怪的是，最佳员工的柜台上的茶叶包裹却不是很多。于是有员工去取经，发现最佳员工准备的茶叶数量是：1，2，4，8，16，32，，128，256。你能解释一下其中的道理么?这些重量可以应付的顾客需要的最高重量是多少？

【巩固】 如果只考虑100克以内的重量，至少需要多少包？

【巩固】 如果只许在天平的一边放砝码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少

个砝码？

【巩固】 古代英国的一位商人有一个15磅的砝码，由于跌落在地碎成4块，后来，称得每

块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至15磅之间的任意整数磅的重物（砝码只能放在天平的一边）。那么这4块砝码碎片各重 ， ， ，

【例 3】 有10箱，每个重10克，每箱600个.如果这10箱中有1箱次品，

次品每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次?

【例 4】 小马虎将一些零件装箱，每个零件10g，装了10箱，结果发现，混进了几箱次品

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进去，每个次 品零件9克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件

都找出来么？

【例 5】 计算机存储容量的基本单位是字节，用B表示，一般用KB、MB、GB作为存储容

量的单位，它们之间的关系是1KB=210B，1MB=210KB，1GB=210MB。小明新买了一个MP3播放器，存储容量为256MB，它相当于_____B。

【例 6】 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字。现在页面中有1个五号

字，将它复制后粘贴到该页面，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字。每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次。

【例 7】 成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难。假设愚公家门口的大山有80万

吨重，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，依此类推。愚公和它的子孙每人一生能搬运100吨石头。如果愚公是第1代，那么到了第 代，这座大山可以搬完。（已知10个2连乘之积等于1024）

【例 8】 123456701234567012345670……12345670,共10000个数字。第一轮去

掉在奇数位置（从左数起）上的数字，剩下5000个数字;第二轮再去掉这5000个数字中奇数位置上的数字，剩下2500个;第三轮，……;直到只剩下一个数字。最后剩下的数字是__ ,这时已经操作了 轮。

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【例 9】 10个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码

总重量最少为_________克。

【例 10】 将6个灯泡排成一行，用○和●表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，

分别表示五个数字：1，2，3，4，5。那么●○○●○●表示的数是 。

●●●●●○●●●●○●●●●●○○●●●○●●●●●○●○

12345

模块二、巧求余数问题

【例 11】 已知正整数N的八进制表示为N(123456321)8，那么在十进制下，N除以7

的余数与N除以9的余数之和是多少？

【巩固】 在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？

【例 12】 试求220061

【例 13】 计算(220031)除以7的余数．

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10除以992的余数是多少?

【例 14】 计算(320031)除以26的余数．

模块三、进制与位值的综合运用

【例 15】 在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的。如果十进

制中的147在20进制中的读音是“seyth ha seyth ugens”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens”，那么20进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数

【例 16】 一个自然数，在3进制中的数字和是2007，它在9进制中的数字和最小是 ，

最大是 。

【例 17】 在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?

【例 18】 在7进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？

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【例 19】 一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三

进制数，求此人的年龄．

【例 20】 N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四

次方．

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