吉林省松原市油田高中2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

吉林油田高级中学2015-2016学年度上学期期末考试

高二数学试题（理科）

（考试时间：120分钟，满分：150分 ）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设0ab且ab1，则下列四数中最大的是 A．a2b2

B．2ab

C．a

D．

1 22. 已知向量a(2x,x1,1),b(2,4,k) ，若a 与b 共线，则

A.k0 B．k1 C．k2 D．k4 3.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcosC，则此三角形一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 4. “1＜x＜2”是“x＜2”成立的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

x2y21上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为 5.椭圆2516A．2

B．7

C．3 D．5

6.等差数列an的前n项和为Sn，若S22,S410，则S6等于 A．12 B．18 C．24 D．42

x207. 已知点P(x,y) 在不等式组y10表示的平面区域内运动，则zxy 的

x2y20取值范围是

A．[－2，－1] B．[－2,1] C．[－1,2] D．[1,2] 8. 设a0,b0.若3是3a与3b的等比中项，则ab的最大值为

A．8 B．4 C．1

21D. 4

9.抛物线y8x中，以(1,1)为中点的弦的方程是

A .4xy30 B．x4y30 C．4xy30 D．x4y30

1

10. 等比数列an的前n项和为Sn，且4a1,2a2,a3 成等差数列．若a11，则S4等于

A．7 B．8 C．15

D．16

11. 如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若ABa，

ADb，AA1c则下列向量中与BM相等的向量是

1111A.abc B．abc

222 21111 C．abc D．abc

2222

D1A1DAMB1CBC1x2y212. 已知双曲线221的离心率e2,2．

双曲线的两条渐近线构成的角中，以实ab轴为角平分线的角记为，则的取值范围是 A．

，

B．

，

C．

，

D．

，π]

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二 填空题：( 本大题共4小题，每小题5分，共20分 )

13.已知ABC 的三个顶点为A(3,3,2) ，B(4,3,7) ，C(0,5,1)，则BC边上的

中线长为 ． 14.抛物线y24x的准线方程为 ．

15.在正方体ABCDA1B1C1D1 中，E,F 分别为AB和CC1 的中点，则异面直线EF 与 A1C1 所成角的大小是_______.

16. 设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公

共点，且满足PFPFFF1212，则e1e2ee2122的值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．设双曲线C的两个焦点为2,0，

2,0，一个顶点1,0，

 求双曲线C的方程，离心率及渐近线方程。

x2y21表示焦点在x轴上的双18.已知命题p：k8k200，命题q：方程

4k1k2 2

曲线．

（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；

（Ⅱ）若命题“pq ”为真，命题“pq”为假，求实数k的取值范围．

19. 在锐角ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c ，已知3a2csinA

(Ⅰ)求角C的值； (Ⅱ)若c

20.数列{an}中，a12,an1ancn（c是常数，nN*)，且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列. (Ⅰ)求c的值； (Ⅱ)求{an}的通项公式.

21.如图：直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB900 ，AA1ACBC2 ，D 为AB中点．

（Ⅰ）求证：BC1平面A1CD (Ⅱ)求二面角DCA1A的正切值．

7，且SABC33，求ab的值． 2

3

x2y222.过焦点在x轴上的椭圆221的右焦点F作斜率k1的直线交椭圆于A，B两

ab点，

且OAOB与a(1,) 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设P为椭圆上任意一点，且OPmOAnOB(m,nR). 证明：m2n2为定值.

13 4

2015-2016学年度上学期期末考试 高二数学理科试卷参考答案

一．选择题

ACCAB CCDAC AC

13.3 14. x1 15.30 16.

222 2

17.解：xy1 离心率e2, 渐近线方程：yx

18. 解：（1）当命题q为真时，由已知得4k0，解得1k4

k10∴当命题q为真命题时，实数k的取值范围是1k4 „„„„„„„5分 （2）当命题p为真时，由k28k200解得2k10 „„„„„„„7分

由题意得命题p、q中有一真命题、有一假命题 „„„„„„„„„8分

当命题p为真、命题q为假时，则2k10，

k1或k4解得2k1或4k10. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

k2或k10，k无解. „„„„12分

1k4∴实数k的取值范围是2k1或4k10. „„„„„„„„„„13分

当命题p为假、命题q为真时，则19(1)由3a＝2csinA及正弦定理，得＝3. 2

a2sinAsinA＝. csinC3

∵sinA≠0，∴sinC＝

π

又∵△ABC是锐角三角形，∴C＝.

3π

(2)方法一 c＝7，C＝，

3

1π33

由面积公式，得absin＝，即ab＝6.①

232π22

由余弦定理，得a＋b－2abcos＝7，

3即a＋b－ab＝7.②

由②变形得(a＋b)＝3ab＋7.③ 将①代入③得(a＋b)＝25，故a＋b＝5.

20. (Ⅰ)a12,a22c,a323c，因为a1,a2,a3成公比不为1的等比数列，解得 c=2； (Ⅱ)a2a12,...,anan12(n1) 累加可得ann2n2，a1也符合，所以

22

2

2

5

ann2n2（nN*）.

21.解答： （1）证明：连接AC1交A1C于O点，连接DO，则O为AC1的中点， ∵D为AB中点，∴DO∥BC1，

又∵DO⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， ∴BC1∥平面A1CD．

（2）解：以CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系， ∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点． ∴

=（﹣2，2，2），

设二面角D﹣CA1﹣A的大小为θ，则 ∵平面ACA1的法向量是=（0，1，0） ∴cosθ=

=

，∴tanθ=

，

∴二面角D﹣CA1﹣A的正切值是

．

22.解：（I）设AB:yxc,直线AB交椭圆于两点，Ax1,y1,Bx2,y2

b2x2a2y2a2b2yxcb2x2a2xc2a2b2,b2a2x22a2cxa2c2a2b20

xx2a2ca2c2a2b212a2b2,x1x2a2b2,2/ OAOBx11x2,y1y2与a1,3共线，

3y1y2x1x20,3x1cx2cx1x20 x3c,a23b2,ca2b26ac61x223,ea36'

6

（Ⅱ）a3b，椭圆方程为x3y3b,设M(x,y)为椭圆上任意一点,OM(x,y),

22222 OMmOAnOB，x,ymx1nx2,my1ny2,点Mx,y在椭圆上

mx221nx23my1ny23b2

m2(x2213y21)n2(x23y22)2mn(x21x23y1y2)3b8/ x3c,a23c2,b21c222a2b21x2222，xac1x2a2b238c2 x1x23y1y2x1x23x1cx2c4x1x23cx21x23c

32c292c23c2010'2

x213y213b2,x23y2223b代入得3b2m23b2n23b2,m2n2112'

7