８５８现代农业水土资源高效利用理论与实践重力树状给水管网优化的模糊线性规划模型白丹１王占军１杨培君１（１．西安理工大学西北水资源与环境生态教育部重点实验室，西安７１００４８）摘要：树状管网广泛用于农村供水工程。树状给水管网各节点压力约束具有模糊性，针对这一特点，本文建立了重力树状管网优化计算的模糊线性规划模型，在模型的求解过程中，通过适当的变换，将模糊线性规划问题转换成普通的线性规划问题。应用上述模型，可进行单水源树状管网的优化计算。与普通线性规划模型相比，本文所提出的方法可使设计结果更加经济合理。关键词：重力；树状管网：优化设计：模糊线性规划中图分类号：ＴＵ９９０．３Ｏ引言树状给水管网广泛用于农村供水，在管网布置方案确定后，如何选择各管段尺寸，使投资最小，是重力树状给水管网优化设计要解决的问题，具有显著的经济和社会效益。树状管网优化设计主要方法有非线性规划法ｕ１、动态规划法拉叫１、线性规划法哺￣７１、人工神经网络法哺’９１和遗传算法ｕ０’川等等，但其优化数学模型中普遍存在一个问题，即在管网各节点的压力约束条件中，例如要求节点自由水压２８ｍ，若实际为２７．９ｍ，则普通数学规划模型认为是不可行的，但在工程实际中两者并没有本质的区别，模糊规划可较好的描述和解决这一问题。ｌ重力管网优化的模糊线性规划模型１．１目标函数确定备选管径组。¨后，以重力树状管网投资最小为目标函数。＿ⅣＭ（ｆ）ｍｉｎＰ＝∑∑ｃ｛『～ｉ＝ｌ』＝ｌ（１）式中，Ｐ为重力给水管网投资，元；Ⅳ为管段数；Ｍ（ｉ）为第ｆ管段的备选管径数；ｃｆ，为管道单价，元／ｍ；粕为管长（ｍ）。１．２约束条件１．２．１管长约束每一管段各标准管径管长之和等于该管段长。Ｍ（ｆ）∑％＝厶Ｊ＝ｌ（ｆ＿ｌ，２…．，Ｎ）（２）式中，厶为管段长（ｍ）。１．２．２压力约束管道上某一点压力水头与该点地面标高之和称为水压标高，节点自由水压与该点地面第一作者：白丹（１９６０一），男，重庆开县人，教授，博士生导师，研究方向为农业水土工程。西安西安理工大学水资源研究所，７１００４８。Ｅ－ｍａｉｌ：ｘａｕｔｂｄ＠ｓｏｈｕ．ｃｏｒｎ※通讯作者：王占军（１９８６一），男，硕士研究生，宁夏灵武人，研究方向为农业水土工程。农村供水工程与饮水安全标高之和称为自由水压标高。在普通线性规划问题中，要求各节点水压标高均不得低于该节点自由水压标高，在考虑到节点自由水压要求具有模糊性后，压力约束为，（ｔ）Ｍ（ｆ）∑∑Ｊ口％≤Ｅｏ—Ｅｉ＝１（妊ｌ，２，＊ｏｙＫ）（３）ｊ－－ｌ式中，ｋ为节点序号；Ｋ为节点总数；，（七）为水源至第ｋ点的管段数；疡为水源水面高程（ｍ）；Ｅｋ为节点自由水压标高（ｍ）；＾为水力坡度。１．２．３非负约束Ｘ。≥０（４）２模型的求解普通线性规划数学模型一般形式如下ｍｉｎＳ＝∑Ｃ门ＸＪ＝ｌ（５）（６）ＡＸ＝ｂ；■≥０上述模型是基于约束条件不变的前提下，实际上在ＡＸ＝ｂ中，压力约束条件具有一定的模糊性，即节点自由水压在一定的范围内变化对管网的正常运行并无多大的影响，有必要探讨模糊条件下管网的优化设计问题，这样优化设计结果更加符合实际。一般当约束条件和目标函数都模糊化后，线性规划问题的数学模型可写成下列式子。在模糊约束为ＡＸ≥易（或≤ｂ）；Ｘ；≥０（７）的条件下，使得ｃｊｘｊ一＜Ｓｏ（或ｑｘｊ＞；一Ｓｏ），其数学模型的意义是：在ＡＸ大约大于等于（或大约小于等于）ｂ的模糊条件下，使得ｑｘｊ大约小于等于（或大约大于等于）Ｓｏ，Ｓｏ为目标函数（５）式在模糊约束条件下的最优解。求解上述模糊线性规划问题步骤如下。２．１约束条件的模糊化模糊约束条件（７）式，由疗个近似不等式∑ａ｛『工，手６ＪＪ＝ｌ（ｆ－ｌ，２，…，ｎ）组成。设ｘ＝｛搭（工１，ｘ２，…，‰）ＩｘＥＲ“，石≥ｏｌ，则对于每一个近似不等式∑ａ牙Ｘ，手％，都』＝ｌ有Ｘ中的一个模糊子集Ｃ，与之对应，Ｃｉ的隶属函数为１Ｅａ日＿≤％ｊ＝ｌ心（工）＝Ｚ（∑吩＿）＝’，／ｆｆｉｔｌ一土ｄｉ（芝ｊ＝ｌａｎ＿一％）０ｊ＝ｌｂ，＜姜ａ。＿≤％＋嘭１８）∑ａ冉≤％＋ｄＪｄｊ＞一０（ｆ－ｌ，２，…，ｎ）。式中，弓为人为主观确定伸缩性指标，现代农业水土资源高效利用理论与实践记＿），ｊ＝∑ａ｛ｆ工Ｊ，则∥ｑ（工）《（弘）的曲线如图ｌ所示。Ｊ＝ｌ。取ｎ个模糊约束集Ｇ，Ｃ２，…，Ｃ。的交集Ｃ＝ＣｌｎＣ２ｎ…ｎＣ。＿～●－（９）作为模糊约束条件的模糊约束集。当每一个弓２０（ｆ－ｌ，２，…，，１）时，ｇ就退化为普通的约束集Ｃ，这时“≤”（或“≥”）就退化为“≤”（或“≥＂）。２．２目标函数的模糊化图ｌ盼ｉ）的曲线Ｆｉｇ．１Ｃｕｒｖｅｏｆｆｉｆｏｆ为了求解目标函数（５）式在模糊约束条件下的最优解，需要把此目标函数转化为模｛ｍ＊糊约束条件∑ＣｊＸ，手ｓ。（或季ｓ。），对于∑ＣｊＸ，手ｓ。，有Ｘ中的一个模糊子集ｇ与ｊ＝ｌｊ＝ｌ之对应，其隶属函数为ｊ１∑ｃｊ‘＜ｓｏｊ－ｌｍ心（工）＝ｇ（∑ｃｊｘ）＝一』＝ｌ１一土ｄｏ（芝ｊ＝。ｃｊ＿一＆）０ｓｏ＜∑ｃｊ＿＜Ｓｏ＋ｄｏｊ－ｌ（１０）∑ｃｊｘｊ＞Ｓｏ＋ｄｏ卢ｌ式中：Ｓｏ＋ｄｏ为目标函数（５）式在约束条件中将ｂｉ换成ｂｉ＋函后所得约束条件下的最优解。称Ｇ为模糊目标集。记ｚ。＝∑Ｃｊ石，，则ｇ（ｚ０）的图像如图２所示。卢ｌ２．３确定模糊判决集由（２０）式和（２２）式容易看出，当∥ｃ（Ｘ）＝ｌ时，必有∥Ｇ（ｘ）＝０。如果欲使目标函数Ｓ＝ｃｘ小于Ｓｏ，则只有降低∥ｃ（ｘ）图２ｇ（ｚｏ）的曲线才可能实现。为了兼顾模糊约束集Ｃ和模糊目标集Ｇ所反映的信息，取模糊约束集Ｃ和模糊目标集Ｇ的交集Ｄ＝ＣｎＧ作为模糊判决集。２．４求模糊线性规划问题的模糊最优解按照最大隶属度的原则，求ｚ’＝（ｉ，‘，．．．，‘）∈Ｘ，使得／ｔｏ（ｘ’）＝ｍａｘ［／ｔｃ（Ｘ）Ａ／ｔｏ（ｘ）］（１１）Ｘ。＝（ｘｌ‘，工：，．．．，工二）就是目标函数（５）式在模糊约束条件（７）式下的模糊最优解，而ｓ‘＝∑ｃ』Ｘ：就是目标函数的最优值。农村供水工程与饮水安全为了便于求解上述模糊线性规划问题的最优解，可以按照下列方式将模糊线性规划转变成普通线性规划问题。从式（ＩＩ）得ｐ．ｏ（ｘ。）＝１野吆（ｘ）人馋（ｚ）】＝ｍａｘ｛２Ｉｌｔｃ（Ｘ）≥力，‰（工）≥兄；旯≥０｝＝ｍａｘ｛２１／ｔｃ，（ｘ）≥免，∥ｃ２（ｘ）≥见，…，∥Ｇ（ｘ）≥旯，／ｔｏ（ｘ）≥免；名≥Ｏ｝把Ａ看作变量，并且要求心（工）≥名，％（工）≥名，．．．，仡（石）≥名，化（工）≥名，计算出满足上述要求的最大的入，从而就导出一个新的普通的线性规划问题。在约束为卜玄‘酗矿”施１。玄‘否％矿魄）＞Ａ…………………………”（１２）１－－。≥。－（Ｚ卢。ａ．ｊｘ．ｉ－ｂ．）＞－．力１。玄‘酗矿ｓｏ）Ｈ。Ｘｌ≥Ｏ，Ｘ２≥０，…，Ｘｍ≥０，力≥ｏ’的条件下，求解（１３）Ｚ＝ｍａｘ（２）可采用单纯形法求解获得上述目标函数在约束条件下的最优解。求出的最优解工：，工：，…，ｚ二，Ｚ，显然使得ＰＤ．Ｏ＋）＝ｍｘａＸ［ｐｃ（ｘ）ＡＰｃ（工）】＝Ｚ，因此，工‘＝（工：，ｘ：，．．．，ｚ二）即为所求的模糊条件极大点，也就是目标函数（１７）式在模糊约束条件（５）式下的模糊最优解，而Ｓ＋＝∑ｃ，工；‘一｜Ｊ，＝ｌ（１４）就是目标函数（１７）式的最优解。３应用给水管网布置如图３所示，采用自应力混凝土管，单价见表ｌ，粗糙系数ｎ－－Ｏ．０１３，各节点地面高程和水压标高值见表２，节点流量见表２，要求节点自由水压为１２ｍ。当水源水面高程Ｅｏ－－－６０ｍ时，确定重力树状网优化设计方案。将有关数据代入重力管网优化的模糊线性规划模型，共计２５个优化变量（管长变量）及１８个约束条件（９个管长约束和９个压力约束）。在（２）式中，取ｄ＝Ｏ；在（３）式中，取ｄ＝２。根据本文方法，将模糊线性规划转化为一般线性规划，利用单纯形法，求出各管段最优管径及管长（见表３）。管网８６２现代农业水土资源高效利用理论与实践投资为１９６３１７．１元。６５７８）１２３ｊ（源图３管网示意图表１管道单价表２节点参数重力树状给水管网优化的模糊线性规划模型
作者：作者单位：
白丹， 王占军， 杨培君
西安理工大学西北水资源与环境生态教育部重点实验室,西安 710048
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Conference_6863602.aspx
