向量的加法运算

知识点一 向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则

→→已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝→→b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋→→BC＝AC. 三角形法则 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 向量求和的法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，→则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种作两个平行四边形法则 向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则

位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.

知识点二 向量加法的运算律 向量加法的运算律

交换律 结合律

一、向量加法法则

a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 例1 (1)如图①所示，求作向量a＋b. (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c.

→→→

解 (1)首先作向量OA＝a，然后作向量AB＝b，则向量OB＝a＋b.如图③所示.

(2)方法一 (三角形法则)如图④所示，

→→→

首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，再作向量AB＝b，则得向量OB＝a＋b，然后作向→→

量BC＝c，则向量OC＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求.

方法二 (平行四边形法则)如图⑤所示，

→→→

首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，OB＝b，OC＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， →→→

则OD＝OA＋OB＝a＋b.

再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， →→→

则OE＝OD＋OC＝a＋b＋c即为所求.

跟踪1 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.

→→→→→→

(1)OA＋OC＝________；(2)BC＋FE＝________；(3)OA＋FE＝________. →→

答案 (1)OB (2)AD (3)0

→→

解析 (1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故OA＋OC→＝OB.

→→→→→→→→→

(2)因为BC＝FE，故BC＋FE与BC方向相同，长度为BC的长度的2倍，故BC＋FE＝AD. →→→→→→

(3)因为OD＝FE，故OA＋FE＝OA＋OD＝0. 二、向量加法运算律的应用 例2 化简：

→→→→→→→→→→(1)BC＋AB；(2)DB＋CD＋BC；(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA. →→→→→

解 (1)BC＋AB＝AB＋BC＝AC. →→→→→→(2)DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB →→→→→

＝(BC＋CD)＋DB＝BD＋DB＝0. →→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA →→→→→＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA →→→→＝AC＋CD＋DF＋FA →→→＝AD＋DF＋FA →→

＝AF＋FA＝0.

→→→→

跟踪2 已知正方形ABCD的边长等于1，则|AB＋AD＋BC＋DC|＝________. 答案 22

→→→→→→→→→→→

解析 |AB＋AD＋BC＋DC|＝|AB＋BC＋AD＋DC|＝|AC＋AC|＝2|AC|＝22. 三、向量加法的实际应用

例3 河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为103 km/h，求小船的实际航行速度.

→→

解 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作OA＝a，OB＝→→→→→

b，以OA，OB为邻边作矩形OACB，连接OC，如图，则OC＝a＋b，并且OC即为小船的实际航行速度.

→

∴|OC|＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝20(km/h)， 103tan∠AOC＝＝3，∴∠AOC＝60°，

10

∴小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行.

跟踪3 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)

→→→→→→解 如图所示，设CE，CF分别表示A，B所受的力，10 N的重力用CG表示，则CE＋CF＝CG.

由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°. →→

∴|CE|＝|CG|cos 30° ＝10×

3＝53(N)， 2

→→

|CF|＝|CG|cos 60° 1

＝10×＝5(N).

2∴A处所受的力为53 N，B处所受的力为5 N.