高二(上)期末模拟题一

2014-2015学年度（上）赵化中学校期末考试模拟题（一）

数学试卷

考试时间：120分钟；命题人：xxx 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题50分）

评卷人 得分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分） 1．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市（ ）

A. 70家 B.50家 C.20家 D.10家 【答案】C 【解析】

100x试题分析：∵，∴x20.

2004001400400考点：分层抽样.

2．如图框图，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（ ） A.7 B.8 C.10 D.11 【答案】B 【解析】

试题分析：从程序框图中得到求p的解析式；列出方程，求出x3的值． 解：∵∴

解得x3=8 故选B

点评：本题考查通过程序框图能判断出框图的功能．

3．乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为x甲、x乙,则下列判断正确的是（ ）

甲 乙 6 7 7 5 8 8 8 6 8 4 0 9 3

A.x甲x乙，乙比甲成绩稳定 B.x甲x乙，甲比乙成绩稳定 C.x甲x乙，甲比乙成绩稳定 D.x甲x乙，乙比甲成绩稳定 【答案】A 【解析】

试题分析：解：由茎叶图知，甲的得分情况为17，16，28，30，34； 乙的得分情况为15，28，26，28，33，

1因此可知甲的平均分为x甲777688909485

51乙的平均分为x乙758688889386

5故可知x甲x乙，排除C、D，

同时根据茎叶图数据的分布情况可知，乙的数据主要集中在86左右，甲的数据比较分散，

乙比甲更为集中，故乙比甲成绩稳定，选B． 故选B．

考点：1.茎叶图；2.样本平均数与方差.

4．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是( )

137A．1 B． C． D．

555【答案】D

【解析】

试题分析：由a,b的坐标可得kabk1,k,2，2ab3,2,2，两向量互相垂直则ab0，即3k12k220，解得k考点：两向量垂直坐标满足的条件． 5．在正三棱柱为（ ） A．

【答案】B

B．

C．

D．

中，若

，则点A到平面

的距离

7． 5【解析】设BC中点为M，连接A、M，则所求距离为

，选B．

6．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

中A、M边上的高

则样本数据落在区间［10,40）的频率为（ ） （A）0.35 （B）0.45 （C）0.55 （D）0.65 【答案】B 【解析】

试题分析：样本数据落在区间［10,40）的频数2349，则样本数据落在区

90.45。故B正确。 间［10,40）的频率为20考点：频率公式。

7．有3人排成一排，甲、乙两人不相邻的概率是 ( ) A.

1111 B. C. D. 32【答案】C 【解析】

23试题分析：3人排成一排的方法共A326种方法，甲乙两人不相邻的方法A2种方法，所以P21. 63考点：古典概型的概率问题 8．AB是半径为1的圆的直径，在AB上的任意一点M，过点M作垂直于AB的弦，则弦长大于3的概率是 ( )

1112 A. B. C. D.

4323【答案】C 【解析】

试题分析：因为AB是半径为1的圆的直径，在AB上的任意一点M，过点M作垂直于AB的弦，则弦长

当弦长为3时，弦心距为12(321).所以弦长大于3时点M的移动范围221.故选C. 2为1个单位.根据几何概型的概率为

考点：1.几何概型.2.解三角形的知识

9．已知三棱锥DABC中，ABBC1，AD2，BD5，AC2，

BCAD，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A.6 B. 6 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】

试题分析：如图所示，由已知，DAAB,ABBC,BC平面DAB，

所以， CDAD2AC26,BD2BC2CD2,BCBD, 取CD的中点O，由直角三角形的性质，O到A,B,C,D的距离均为6，其即为2三棱锥的外接球球心，故三棱锥的外接球的表面积为4(62)6，选B. 2考点：垂直关系，球的表面积

10．正四面体ABCD的棱长为1，其中线段AB//平面，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，线段EF在平面上的射影E1F1长的范围是（ ） A.[0，

262] B.[，] 226C.[

6221，] D.[，]

2322【答案】D

【解析】 试题分析：

如图，取AC中点为G，结合已知可得GF//AB，在正四面体中，ABCD，又GE//CD，所以GEGF,所以EF2GE2GF2，当四面体绕AB旋转时，因为GF//平面，GE与GF的垂直性保持不变，显然，当CD与平面垂直时，GE在平面上的射影长最短为0，此时EF在平面上的射影E1F1的长取得最小值

1，当CD与平面2平行时，GE在平面上的射影长最长为

21，]，故选D

2221，E1F1取得最大值，所以射影E1F1长

22的取值范围是 [

考点：1线面平行；2线面垂直。

第II卷（非选择题100分）

评卷人 得分 二、填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分） 11．某路段属于限速路段，规定通过该路段的

汽车时速不得超过70km/h，否则视为违规扣分，某天有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图，如下图所示，则违规扣分的汽车大约为 辆. 【答案】120. 【解析】

试题分析：易求得70-80这组的频率为1-0.05-0.18-0.38-0.27=0.12，则违规扣分的汽车大约为0.121000120辆.

考点：频率分布直方图中每组对应的长方形面积为

频率组距，总面积为1，频组距数=频率样本容量.

12．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__ ___．

2【答案】

3【解析】

试题分析：由三视图可知，这个几何体是一个底面对角线长为2，有一条长为1的侧棱垂直于底面的正方形，∴根据椎体

2的体积公式求得体积是.

3考点：三视图.

13．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下： 零件数x（个） 10 20 30 40 50 加工时间y（分钟） 69 75 82 90 由表中数据，求得线性回归方程y0.65xa，根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为________分钟.

【答案】102 【解析】

15038030，y76，因回归直线必过样本点中心(x,y)，故试题分析：x55a56.5，当x70时，花费时间为0.657056.5102（分钟）. 考点：回归直线方程. 14.已知点A（－3，1，4），则点A关于原点的对称点B的坐标为 ；AB的长为 .

【答案】（3，-1，-4） 226．

【解析】

试题分析：由空间坐标系中点的对称原则：关于谁对称，谁不变；知点关于原点对称，各坐标全要变为原来的相反数，所以点B的坐标为（3，-1，-4）；再由空间中两点间的距离公式得AB(33)2(11)2(44)2104226． 考点：空间直角坐标系．

15．用一平面去截球所得截面的面积为3cm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是 cm3.

32【答案】

3【解析】

试题分析：设截面圆半径为r，则r23，r23，球半

432径为R，则R2r2d2314，R2，所以VR3（cm3）

33评卷人 得分 三、解答题（本大题6个小题，请写出必要的文字说明） 16（本小题12分）．空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可

入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 >250 空气质量级别 空气质量类别 一级 优 二级 良 三级 四级 五级 六级 轻度污中度污重度污严重污染 染 染 染 15天数16108425 某市2013年3月8日—4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：

(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；

(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率.

8【答案】(1)该城市一个月内空气质量类别为良的概率为；

153(2)至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为.

5【解析】

试题分析：(1)由条形图可知空气质量类别为良的天数为16，所以概率为良的概

8率为；

15(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，基本事件有15个，其中至

3少有一天空气质量类别为中度污染的事件有9个，所以概率为.

5试题解析：（1）由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为16天，所以此

168次监测结果中空气质量为良的概率为=；

3015（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a,b,c,d；样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e,f，则基本事件有：

O一级二级三级四级级别a,b,a,c,a,d,a,e,a,f,b,c,b,d,b,e,b,f,c,d,

c,e,c,f,d,e,d,f,e,f共15个，其中至少有一天空气质量类别为中度污

染的情况有：

所以至少有一天a,e,b,e,c,e,d,e,a,f,b,f,c,f,d,f,e,f共9个，空气质量类别为中度污染的概率为考点：统计与概率.

93. 15517．（本小题12分）某城市要建成宜商、宜居的国际化现代新城，该城市的东城区、西城区分别引进8甲厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示.

（1）根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高； （2）规定85分以上（含85分）为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5分的概率.

3【答案】（1）东城区的平均分较高.（2）

5【解析】 试题分析：（1）根据茎叶图的含义，分别写出东城区和西城区16个厂家进行评估得分，然后在计算平均分；

（2）两个区域各选一个优秀厂家，所有的基本事件共15种，然后找出分差距不超过5的事件并计算出基本事件个数，最后根据随机事件的概率公式求解.

试题解析：（1）东城区的平均分较高.（结论正确即给分） 5分 （2）从两个区域各选一个优秀厂家， 则所有的基本事件共15种， 7分 满足得分差距不超过5的事件（88,85）（88,85）（,85）（,94）（,94）（93，94）（93，94）（94,,94）（94,,94）共9种. 10分

3所以满足条件的概率为. 12分

5考点：1.根据样本估计总体；2.随机事件的概率.

18（本小题12分）．已知关于x的一元二次函数f(x)ax24bx1.

(1)设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数yf(x)在区间[1,)上是增函数的概率；

xy80(2)设点（a，b）是区域x0内的随机点，求函数yf(x)在区间[1,)y0上是增函数的概率.

11【答案】（1）；（2）

33【解析】

试题分析：(1)考查古典概型，满足条件的是5个，总的基本事件个数是15个，求两者的比即可；（2）考查几何概型，求出满足条件的区域面积比上总的区域面积即可.

2b试题解析：(1)∵函数f(x)ax24bx1的图象的对称轴为x,

a要使f(x)a2x4b在区间[1上为增函数，当且仅当a>0且,)x12b1,即2ba， a若a=1则b=－1；若a=2则b=－1，1；若a=3则b=－1，1； ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，

51∴所求事件的概率为. 6分

153(2)由（1）知当且仅当2ba且a>0时，函数f(x)ax24bx1在区是间[1,)上为增函数，

ab80依条件可知试验的全部结果所构成的区域为(a,b)|a0，构成所求事

b0件的区域为三角形部分.

ab80168得交点坐标为(,), 由a33b218831. 12分 ∴所求事件的概率为P218832考点：(1)古典概型；（2）几何概型. 19．（本小题12分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；

（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】 试题分析：（Ⅰ）翻折后，直线AD与直线DC、DB都垂直，可得直线与平面BDC垂直，再结合AD是平面ADB内的直线，可得平面ADB与平面垂直；

（Ⅱ）根据图形特征可得△ADB、△DBC、△ADC是全等的等腰直角三角形，△ABC是等边三角形，利用三角形面积公式可得三棱锥D﹣ABC的表面积．

解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高， ∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB， 又DB∩DC=D， ∴AD⊥平面BDC， ∵AD⊂平面ABD． ∴平面ADB⊥平面BDC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA， ∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=， 从而

所以三棱锥D﹣ABC的表面积为：

点评：解决平面图形翻折问题的关键是看准翻折后没有发生变化的位置关系，抓住翻折后仍然垂直的直线作为条件，从而解决问题． 20．（本小题满分13分）已知四棱锥P—GBCD中(如图)，PG⊥平面GBCD，GD∥

3BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4

4（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值； （Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且DFGC0，

PFkCF，求k的值.

【答案】（Ⅰ）

10；（Ⅱ）k3 10【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据异面直线所成角的定义可过C点作CH//EG交AD于H，则PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角. 因为CH//EG且GD//BC,则四边形GECH为平行四边形，则CHGE，GHEC，故可在

PCH中用余弦定理求PCH。（Ⅱ）由DFGC0可得DFGC，过D作

DMGC，M为垂足。易得证GC平面MFD，可得GCFM，从而易得证

FM//PG，可得

PFGM，即可求k的值。 FCMC试题解析：（Ⅰ）

在平面GBCD内，过C点作CH//EG交AD于H，连结PH，则PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角. 在PCH中，CH2,PC20,PH18 由余弦定理得，cosPCH10 1010. 10∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为

（Ⅱ）

在平面GBCD内，过D作DMGC，M为垂足，连结MF，又因为DFGC ∴GC平面MFD，MF面MFD ∴GCFM

由平面PGC平面GBCD，∴FM平面ABCD ∴FM//PG

3由DFGC0得GMMD，∴GMGDcos45

23PFGM23，∴k3. FCMC12考点：1异面直线所成的角；2线线垂直、线面垂直、面面垂直。

ACB90，21．（本小题14分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，

ACBC1，以AB，连接DA1和DC1． AA12．BC为邻边作平行四边形ABCD，

（1）求证：A1D∥平面BCC1B1 ；

（2）求直线CC1与平面DAC11所成角的正弦值；

（3）线段BC上是否存在点F，使平面DAC11F垂直？若存在，11与平面AC求出BF的长；若

不存在，说明理由．

【答案】（1）A1D//平面BCC1B1；（2）平面DAC11与平面AC11F垂直. 【解析】

试题分析：（1）要证明线面平行，需要在平面BCC1B1中找出一条直线平行于A1D.连结BC，1三棱柱ABC中A1B1//AB且A1B1AB，由平行四边形1A1B1C5；（3）线段BC上不存在点F，使5ABCD得CD//AB且CDAB,

A1B1//CD且A1B1CD, 四边形A1B1CD为平行四边形，A1D//B1C ,

平面BCC1B1，A1D平面BCC1B1 ,A1D//平面BCC1B1.

B1Cn(x,y,z)，利用（2）建立空间直角坐标系，设平面DAC11的法向量为

x2z0nA1D0,即，令z1，则y0nAC110.y0A1C1B1，x2n(2,0,1)，

sin|CC1n|25，直线5|CC1||n|25ABCC1与平面DAC11所成角的正弦值为

5. 5DC（3）设F(,1,0)，10，则C1F(,0,2)，设平面AC11F的法向量为

AC11m =0y10， 即 ，令x11，则mx1,y1,z1，利用垂直关系C1Fm0x12z10y10，z1n(2,0,1) ，，所以m(1,0,)，因为平面DAC11的法向量为22nm0 ，解得，41 假设平面DAC11与平面AC11F垂直，则

线段BC上不存在点F，使平面DAC11与平面AC11F垂直.