2019版一轮复习理数通用版：高考达标检测(八) 对数函数的2类考查点——图象、性质

高考达标检测（八） 对数函数的2类考查点——图象、性质

一、选择题

1．已知lg a＋lg b＝0(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是( )

解析：选B 因为lg a＋lg b＝0， 所以lg ab＝0，所以ab＝1，

1

即b＝a，故g(x)＝－logbx＝－log1x＝logax，

a则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知B正确．故选B. 2．(2017·西安二模)若函数y＝log2(mx2－2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是( )

A．(0,3) C．(0,3]

B．[0,3) D．[0,3]

解析：选B 由题意知mx2－2mx＋3>0恒成立．当m＝0时，3>0，符合题意；

m>0，当m≠0时，只需解得0Δ＝－2m－12m<0，

综上0≤m<3，故选B.

33．若偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，a＝f(log23)，b＝f(log45)，c＝f(22)，则a，b，c满足( )

A．aB．b解析：选B 由偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

3又22>2>log23>log45>0，所以b4.(2018·张家界模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )

A．0－

B．0－

C．0－D．0－

－

解析：选A 令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图象可知函数f(x)＝loga(g(x))是单调递增的，所以必有a>1.又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1－

－

1页

.

5．(2018·济宁质检)设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )

A．f(a＋1)>f(2) C．f(a＋1)＝f(2)

B．f(a＋1)解析：选A 因为f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，所以0f(2)．

1b1＋1，z＝logb 1，则x，y，z的大小6．已知a>b>0，a＋b＝1，x＝－，y＝logab

aaba关系为( )

A．x< z B．x解析：选B 因为a>b>0，a＋b＝1，所以1>a>b>0， 11111

所以a>1,04，

4

1b1＋1＝－1，z＝logb 1∈(－1,0)， 所以x＝－<－1，y＝logabaaba所以x7．(2017·深圳二模)已知函数f(x)＝|lg x|.若0A．(22，＋∞) C．(3，＋∞)

B．[22，＋∞) D．[3，＋∞)

解析：选C f(x)＝|lg x|的图象如图所示，由题知f(a)＝f(b)，则有0＝lg b，则a＝b，∴a＋2b＝2b＋b.令g(b)＝2b＋b，g′(b)＝2－2，b显然当b∈(1，＋∞)时，g′(b)>0，∴g(b)在(1，＋∞)上为增函数，

1

∴g(b)＝2b＋b>3，故选C. 8．设a，b，c∈R且c≠0， x lg x 若上表中的对数值恰有两个是错误的，则a的值为( ) 2A．lg

21

13B.lg 214

1.5 2a＋b 3 a＋b 5 a－c＋1 6 b＋c 7 a＋2b＋c 8 9 14 b－a 27 3(a＋b) 3(c－a) 2(a＋b) 2页

.

13C.lg 27

6D．lg

7

解析：选B 由题意可得lg 3＝a＋b，lg 9＝2(a＋b)，lg 27＝3(a＋b)正确， lg 5＝a－c＋1⇒lg 2＝c－a， lg 6＝b＋c⇒lg 2＝c－a，

lg 8＝3(c－a)⇒lg 2＝c－a，故这三个都正确；

此时，lg 1.5＝lg 3－lg 2＝2a＋b－c≠2a＋b，所以表中lg 1.5错误； lg 7＝a＋2b＋c＝(a＋b)＋(b＋c)＝lg 3＋lg 6＝lg 18，显然错误； 故表中lg 14＝b－a是正确的．

综上，lg 2＝c－a，lg 3＝a＋b，lg 14＝b－a， 113

所以a＝(lg 3－lg 14)＝lg. 2214二、填空题

9．若log2x＝－log2(2y)，则x＋2y的最小值是________．

解析：由log2x＝－log2(2y)，可得2xy＝1，且x，y均为正数，则x＋2y≥2x·2y＝2，1

当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立，故x＋2y的最小值是2.

2

答案：2

2m－1－mx

10．(2017·湛江一模)已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)是奇函数，则函数

x＋1f(x)的定义域为________．

解析：因为f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0， 即loga

2m－1－mx2m－1＋mx

＋loga ＝0，

x＋1－x＋1

化简得(m2－1)x2＝4m(m－1)对定义域上的每一个x都成立， 所以m＝1，此时f(x)＝loga 由

1－x

>0，解得－11－x

. 1＋x

答案：(－1,1)

11．(2018·武汉模拟)若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a>0，且a≠1)满足对任意的x1，x2，a

当x12

aa

－∞，上为减函数，设g(x)解析：当x11，

＝x2－ax＋5，则a解得1g>0，2

3页

.

答案：(1,25)

2x

12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝lg x，若对任意实数t∈

2＋1

1，2，都有f(t＋a)－f(t－1)≥0恒成立，则实数a的取值范围为________． 2

2x1

解析：设u＝x＝1－x，其在(0，＋∞)上是增函数，

2＋12＋1则f(u)＝lg u在(0，＋∞)上是增函数，

2x

所以复合函数f(x)＝lg x在(0，＋∞)上是增函数．

2＋1又因为f(x)是定义在R上的偶函数，

所以f(t＋a)－f(t－1)≥0等价于f(t＋a)≥f(t－1)， 1

即|t＋a|≥|t－1|，对任意实数t∈2，2恒成立， 两边平方化简可得2(a＋1)t＋a2－1≥0恒成立，

1＝a＋a2≥0，g令g(t)＝2(a＋1)t＋a2－1，则2解得a≤－3或a≥0.

2g2＝a＋4a＋3≥0，

答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞) 三、解答题

1

13．(2018·枣庄模拟)设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大

21

值是1，最小值是－，求实数a的值．

8

1解：f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)

21

＝[(logax)2＋3logax＋2] 2311

logax＋2－. ＝28213当f(x)取最小值－时，logax＝－.

82∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． ∵f(x)是关于logax的二次函数，

∴f(x)的最大值必在x＝2或x＝8处取得．

311

loga2＋2－＝1，则a＝23， 若2821

此时f(x)取得最小值时，x＝2

13



32＝2∉[2,8]，舍去；

4页

.

3111

loga8＋2－＝1，则a＝， 若2822

121此时f(x)取得最小值时，x＝＝22∈[2,8]，符合题意．∴a＝. 2214．已知f(log2x)＝ax2－2x＋1－a，a∈R. (1)求f(x)；

(2)解关于x的方程f(x)＝(a－1)·4x；

a＋11－

(3)设h(x)＝2xf(x)，a≥时，对任意x1，x2∈[－1,1]总有|h(x1)－h(x2)|≤成立，求22实数a的取值范围．

解：(1)令log2x＝t，即x＝2t， 则f(t)＝a·(2t)2－2·2t＋1－a， 即f(x)＝a·22x－2·2x＋1－a.

(2)由f(x)＝(a－1)·4x，化简得22x－2·2x＋1－a＝0，即(2x－1)2＝a， 当a<0时，方程无解， 当a≥0时，解得2x＝1±a， 若0≤a<1，则x＝log2(1±a)， 若a≥1，则x＝log2(1＋a)．

(3)对任意x1，x2∈[－1,1]总有|h(x1)－h(x2)|≤等价于当x∈[－1,1]时，hmax－hmin≤1－a

由已知得，h(x)＝a·2x＋x－2，

21－a1

令2x＝t，则y＝at＋t－2，t∈2，2， 1－a1令g(t)＝at＋－2，t∈2，2， t①当a≥1时，g(t)＝at＋此时g(t)max＝g(2)＝g(t)max－g(t)min＝

1－a1

，2单调递增， －2，t∈2t

a＋1， 2

a＋1

成立， 2

33a－113a

，g(t)min＝g＝－， 222

6a－3a＋14≤，解得a≤(舍去)． 225

1－a14

②当≤a<1时，g(t)＝at＋t－2，t∈2，2单调递增， 5此时g(t)max＝g(2)＝3a－113a

，g(t)min＝g＝－， 222

5页

.

6a－3a＋144

≤，解得a≤，∴a＝. 2255

g(t)max－g(t)min＝

1－a114

，2， ③当≤a<时，g(t)＝at＋t－2，t∈225

1

在， 21－1上单调递减，在a1－1，2上单调递增，

a

3a－11

且g(2)≥g，∴g(t)＝g(2)＝， max

22g(t)min＝g



1＝2a1－a－2，

－1a

3a－1a＋1414

－(2a1－a－2)≤即a≤，∴≤a<. 22525

∴g(t)max－g(t)min＝

14综上，实数a的取值范围为2，5.

1．已知函数f(x)＝

log

π

x－，x∈[0，π，cos2

x

2 017 ，x∈[π，＋∞，π

若存在三个不同的实数a，b，c，使

得f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围为________．

πx－＝sin x， 解析：当x∈[0，π)时，f(x)＝cos2π

∴f(x)在(0，π)上关于x＝对称，且f(x)max＝1；

2x

又当x∈[π，＋∞)时，f(x)＝log2 017 是增函数，

π作出y＝f(x)的函数图象如图所示．

x

令log2 017 ＝1得x＝2 017π，∵f(a)＝f(b)＝f(c)，

π∴a＋b＝π，c∈(π，2 017π)， ∴a＋b＋c＝π＋c∈(2π，2 018π)． 答案：(2π，2 018π)

2．(2017·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝

2

x，x∈D，n－1*其中集合D＝xx＝，n∈N

nx，x∉D，



，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是

6页

.

________．

解析：由于f(x)∈[0,1)，因此只需考虑1≤x<10的情况，

q

在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝，q，p∈N*，p≥2且p，q互质．

pn

若lg x∈Q，则由lg x∈(0,1)，可设lg x＝m，m，n∈N*，m≥2且m，n互质， qmnqn因此10＝，则10＝p，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x∉Q， mp故lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等， 只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点．

画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D的部分，

且x＝1处(lg x)′＝11

＝<1，则在x＝1附近仅有一个交点， xln 10ln 10

因此方程f(x)－lg x＝0的解的个数为8.

答案：8

7页