2019-2020学年重庆一中高三(上)期末数学试卷(文科)

2019-2020学年重庆一中高三（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A{1，2，3}，B{x|(x1)(x2)0，xZ}，则AUB等于( ) A．{1} 2．（5分）复数zA．第一象限

B．{1，2}

C．{0，1，2，3}

D．{1，0，1，2，3}

34i（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于( ) 1iB．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

33433．（5分）设a()4,b()2,clog2，则a，b，c的大小顺序是( )

432A．bac

B．cab

C．bca

D．acb

4．（5分）设a为实数，直线l1:axy10，l2:x(a1)y2a0，则“a的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

1”是“l1l2”2D．既不充分也不必要条件

5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )

A．

7 88B．

9C．

9 10D．

10 116．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m)，则该几何体的体积为( )m3

第1页（共20页）

A．6

B．4

C．3

D．2

uuuruuur7．（5分）正三角形ABC中，D是线段BC上的点，AB3，BD2，则ABgAD( )

A．3 B．6 C．9 D．12

8．（5分）已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,数f(x)在x(,)上的值域为( )

44)的部分图象如图所示，则函22

A．[2,2]

B．(2,2)

C．[1,2]

D．(1,2]

x2y29．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线E:221(a0,b0)的离心率为2，其焦

ab点到渐近线的距离为3，过点P(2,1)的直线m与双曲线E交于A，B两点．若P是AB的中点，则直线m的斜率为( ) A．2

B．4

C．6

D．8

10．（5分）一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号

第2页（共20页）

门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是( ) A．a

B．b

C．c

D．d

11．（5分）在锐角三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a2，且

cos(A)sin(BC)2sin(2C)，则c的取值范围为( )

2223D．(,)

331xx0(),1剟12．（5分）定义在R上且周期为4的函数f(x)满足：当x[1，，3)时，f(x)2lnx2,0x3A．(2

B．(,2)

3

25,2) 5C．(2523,) 53若在区间[0，4]上函数g(x)f(x)ax1恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )

1ln31A．[0,]U(,1)

431ln31C．[0,]U(,2)

431ln31B．[0,]U(,1)

331ln31D．[0,]U(,2)

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）在等比数列{an}中，已知a15，a9a1040，则a18 ．

14．（5分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，若x0时，f(x)2lnxx，则曲线yf(x)在点(1,1)处的切线斜率为 ．

xy„2215．（5分）设不等式组xy…22所表示的平面区域为M，函数y1x2的图象与xy„0轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点不落在N内的概率为 ．

116．（5分）已知一个圆锥的底面直径为2，其母线与底面的夹角的余弦值为．圆锥内有

3一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为 ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．已知数列{an}满足：a11，an12ann1．

第3页（共20页）

（1）设bnann，证明：数列{bn}是等比数列； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn．

18．对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量T（单位：吨）的频率分布直方图，如图一．

（1）根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量T月；

ˆ0.4t2模（2）已知该居民月用水量T与月平均气温t（单位：C)的关系可用回归直线T拟．2017年当地月平均气温t统计图如图二，把2017年该居民月用水量高于和低于T月的月份作为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，求这2个月中该居民恰有1个月用水量超过T月的概率．

SASD5，19．已知四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，

SB7．点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且

SF，SA//平面BEF． SC（1）求实数的值；

（2）求四棱锥FEBCD的体积．

第4页（共20页）

x2y220．已知椭圆C:221(ab0)过圆Q:x2y24x2y30的圆心Q，且右焦点与

ab抛物线y243x的焦点重合． （1）求椭圆C的方程；

（2）过点P(0,1)作直线l交椭圆C于A，B两点，若SAQBtanAQB，求直线l的方程．

21．已知函数f(x)xmlnx，mR，f(x)是f(x)的导函数． （1）讨论函数f(x)的极值点个数；

（2）若m0，0x1x2，若存在x0，使得f(x0)大小．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

x122．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为y22t2，以O为(t为参数）2t2f(x1)f(x2)，试比较x1x2与2x0的

x1x2极点，x轴的非负半轴为极轴，曲线C2的极坐标方程为：2(3cos2)4． （1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的参数方程；

（2）若点M在曲线C2上运动，求点M到曲线C1距离的最小值及对应的点M的坐标． [选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f(x)|xa||xb|(a0，b0)． （1）当ab1时，证明：f(x)…2；

（2）若f(x)的值域为[2，)，且f（3）5，解不等式f(x)…4．

第5页（共20页）

2019-2020学年重庆一中高三（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A{1，2，3}，B{x|(x1)(x2)0，xZ}，则AUB等于( ) A．{1}

B．{1，2}

C．{0，1，2，3}

D．{1，0，1，2，3}

【解答】解：Q集合A{1，2，3}， B{x|(x1)(x2)0，xZ}{0，1}， AUB{0，1，2，3}．

故选：C． 2．（5分）复数zA．第一象限 【解答】解：Q复数z34i（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于( ) 1iB．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

34i(34i)(1i)71i， 1i(1i)(1i)227212复数z在复平面内对应的点的坐标为(，)， 复数z在复平面内对应的点位于第四象限，

故选：D．

33433．（5分）设a()4,b()2,clog2，则a，b，c的大小顺序是( )

432A．bac

B．cab

C．bca

D．acb

434【解答】解：1a()4()2b，c1．

33cab．

故选：B．

4．（5分）设a为实数，直线l1:axy10，l2:x(a1)y2a0，则“a的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

1”是“l1l2”2【解答】解：由l1l2，可得：aa10，解得a第6页（共20页）

1． 2

a12”是“l1l2”的充要条件． 故选：C．

5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )

A．

7 B．889

C．

910 D．

1011 【解答】初始条件：i1，n0，S0， 进入第一次终止条件判断：110？选择是， 则i2,n1,S11212； 进入第二次终止条件判断：210？选择是， 则i3,n2,S11122323； 进入第三次终止条件判断：310？选择是， 则i4,n3,S11131223344； 依此下去，

进入第九次终止条件判断：910？选择是， 则i10，n9，S1121231341910910； 进入第十次终止条件判断：1010？选择否， 则输出S910． 故选：C．

6．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m)，则该几何体的体积为(第7页（共20页）

)m3

A．6

B．4

C．3

D．2

【解答】解：已知中的三视图可得该几何体是一个长方体和圆锥的组合体， 长方体的长宽高分别为：3，2，1，故体积为：6； 圆锥的底面半径为1，高为3，故体积为：； 故组合体的体积V6； 故选：A．

7．（5分）正三角形ABC中，D是线段BC上的点，AB3，BD2，则uABuurguADuur(A．3

B．6 C．9 D．12

【解答】解：如图，

QBD2，BCAB3，

BDuuur2uur3BCu，且B60， uABuurguADuuruABuurg(uABuuruBDuur) uABuurg(uABuur2uuu3BCr)

uABuur22u3ABuurguBCuur

92333(12)

6．

故选：B．

第8页（共20页）

)

8．（5分）已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,数f(x)在x(,)上的值域为( )

44)的部分图象如图所示，则函22

A．[2,2]

B．(2,2)

C．[1,2]

D．(1,2]

【解答】解：根据函数f(x)Asin(x)(A0,0,)的部分图象，

2212可得A2，g，2．

488再根据五点法作图可得282，，故f(x)2sin(2x)． 443在x(,)上，2x(，)，

44444故当2x42时，函数f(x)取得最大值为2；当2x4趋于4时，函数f(x)趋于最

小值1，

故函数的值域为(1，2]， 故选：D．

x2y29．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线E:221(a0,b0)的离心率为2，其焦

ab点到渐近线的距离为3，过点P(2,1)的直线m与双曲线E交于A，B两点．若P是AB的中点，则直线m的斜率为( )

第9页（共20页）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】解：由题意可得e解得a1，c2，

c2，bc2a23， ay2则双曲线的方程为x1，

32设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得

y12y222x1，x21，

3321两式相减可得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，①

3由P(2,1)为AB的中点，可得x1x24，y1y22， 代入①可得直线m的斜率k故选：C．

10．（5分）一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是( ) A．a

B．b

C．c

D．d

y1y2346． x1x22【解答】解：根据题意：若甲同学猜对了1b，则乙同学猜对了，丙同学猜对了，3d，2c，丁同学猜对了，4a，

根据题意：若甲同学猜对了3c，则丁同学猜对了，4a，丙同学猜对了，2c，这与3c相矛盾，

综上所述号门里是a， 故选：A．

11．（5分）在锐角三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a2，且

cos(A)sin(BC)2sin(2C)，则c的取值范围为( )

2A．(25,2) 52B．(,2)

3

C．(2523,) 53223) D．(,33【解答】解：Qcos(A)sin(BC)2sin(2C)，

2sinAsinBcosCcosBsinC2sin2C4sinCcosC，

第10页（共20页）

sin(BC)sinBcosCcosBsinC4sinCcosC，

sinBcosCcosBsinCsinBcosCcosBsinC4sinCcosC， 2sinBcosC4sinCcosC，

Q在锐角三角形ABC中，cosC0，

sinB2sinC， b2c，

QABC是锐角三角形，

a2b2c2043c20a2c2b20,代入得43c20， b2c2a205c240解得2523， c53故选：C．

1xx0(),1剟12．（5分）定义在R上且周期为4的函数f(x)满足：当x[1，，3)时，f(x)2lnx2,0x3若在区间[0，4]上函数g(x)f(x)ax1恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )

1ln31A．[0,]U(,1)

431ln31C．[0,]U(,2)

431ln31B．[0,]U(,1)

331ln31D．[0,]U(,2)

33

【解答】解：g(x)f(x)ax1恰有三个不同的零点等价于h(x)ax与f(x)1有3个不同的交点，

1xx0()1,1剟根据f(x)解析式可知f(x)12，

knx1,0x3作出f(x)1的图象如图所示：

第11页（共20页）

将(3,1)代入yax得a1， 3ln31， 3(3,ln31)代入yax，可得m由ylnx1，可得y11，设切点坐标为(m,lnm1)，则切线方程为ylnm1(xm)，xm代入(0,0)，可得m1，即yx与ylnx1相切，

所以若在区间[0，4]上函数g(x)f(x)ax1恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围

1ln31是[0，]](，1)．

33故选：B．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）在等比数列{an}中，已知a15，a9a1040，则a18 8 ． 【解答】解：由等比数列{an}中，a15，a9a1040， 则a18a9a10408， a15故答案为：8．

14．（5分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，若x0时，f(x)2lnxx，则曲线yf(x)在点(1,1)处的切线斜率为 3 ． 【解答】解：设x0，则x0， f(x)2ln(x)x， Qf(x)是定义在R上的奇函数，

f(x)2ln(x)x，则f(x)2ln(x)x，

第12页（共20页）

2f(x)1，则f(1)3．

x即曲线yf(x)在点(1,1)处的切线斜率为3． 故答案为：3．

xy„2215．（5分）设不等式组xy…22所表示的平面区域为M，函数y1x2的图象与xy„0轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点不落在N内的概率为 1【解答】解：作出平面区域M，N如图所示，

16

．

11由题意M区域的面积S42228，区域N为半圆，面积为，

221821． 向M内随机投一个点，则该点不落在N内的概率P816故答案为：1

16

116．（5分）已知一个圆锥的底面直径为2，其母线与底面的夹角的余弦值为．圆锥内有

3一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为

4 ． 3【解答】解：由题意画出圆锥的轴截面，如图所示，则PO为圆锥的高，AC为圆锥内接正方体的面的对角线，

232FO1，，所以POPF2OF22， ，PF3OF22PF32a， 设正方体的棱长为a，则OOa，AC2a，OC2由题意可得OF第13页（共20页）

Q△POC∽POF，

POOC POOF2a2a2POOOOC2a，解得：a，设正方体外接球的半径为R， 即，23POOF22则2R3a，4R23a2344， 934， 3所以外接球的表面积为S4R2故答案为：

4． 3

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．已知数列{an}满足：a11，an12ann1． （1）设bnann，证明：数列{bn}是等比数列； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn．

【解答】解：（1）数列{an}满足：a11，an12ann1． 由bnann，那么bn1an1n1，



bn1an1n12ann1n12； bnannann即公比q2，b1a112，

数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列；

（2）由（1）可得bn2n，

第14页（共20页）

ann2n

那么数列{an}的通项公式为：an2nn

数列{an}的前n项和为Sn212222332nn

(222)(123n)212nn1n2n2．

2218．对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量T（单位：吨）的频率分布直方图，如图一．

（1）根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量T月；

ˆ0.4t2模（2）已知该居民月用水量T与月平均气温t（单位：C)的关系可用回归直线T拟．2017年当地月平均气温t统计图如图二，把2017年该居民月用水量高于和低于T月的月份作为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，求这2个月中该居民恰有1个月用水量超过T月的概率． 【解答】解：（1）由图一知，该居民月平均用水量为

T月0.037520.0560.075100.05140.037518410；

ˆ0.4t2知，T对应的月平均气温为t(102)0.420(C)， （2）由回归直线方程T月根据图二可得，该居民2017年5月和10月的用水量刚好为T月，

且该居民2017年有4个月每月用水量超过T月，有6个月每月用水量低于T月； 因此用分层抽样的方法得到的样本中，有2个月（记为A、B)每月用水量超过T月， 有3个月（记为c、d、e)每月用水量低于T月；

第15页（共20页）

从这5个月中随机抽取2个月，基本事件是

AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种不同的取法；

其中恰有1个月用水量超过T月的6种， 故所求的概率为P63， 1053即所抽取的这2个月中恰有1个月用水量超过T月的概率为．

519．已知四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，SASD5，BAD60，SB7．点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且

SF，SA//平面BEF． SC（1）求实数的值；

（2）求四棱锥FEBCD的体积．

【解答】解：（1）连接AC，设ACIBEG，则平面SAC平面EFBFG，

QSA//平面EFB，SA//FG， QGEA∽GBC，



AGAE1， GCBC2SFAG11，得SFSC， FCGC231； 3（2）QSASD5，SEAD，SE2， 又QABAD2，BAD60，BE3， SE2BE2SB2，则SEBE，得SE平面ABCD，

VFEBCDS四边形EBCDhS四边形EBCDSE

131323第16页（共20页）

12123． 2(12)33323

x2y220．已知椭圆C:221(ab0)过圆Q:x2y24x2y30的圆心Q，且右焦点与

ab抛物线y243x的焦点重合． （1）求椭圆C的方程；

（2）过点P(0,1)作直线l交椭圆C于A，B两点，若SAQBtanAQB，求直线l的方程．

【解答】解：（1）因为抛物线的焦点为(3，0)，所以c3， 因为Q(2,1)在椭圆C 上，所以

412222，由，得，ab3b3， a61a2b2x2y2所以椭圆C的方程为1；

631（2）由SAQBtanAQB，得：QAgQBcosAQB2，QBgsinAQBtanAQB，即QAg2uuuruuurQAgQB2， 可得

uuuruuurQB(2,31) g(2,31)2，此时满足题意， ①当l垂直x 轴时，QAg所以此时直线l的方程为x0；

②当l不垂直x 轴时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l 的方程为ykx1，

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x2y21由6 消去y 得(12k2)x24kx40， 3ykx1所以x1x24k4，x1x2， 212k12k2uuuruuurQB2 可得：(x12，y11)g代入QAg(x22，y21)2，

代入y1kx11，y2kx21，得(x12)(x22)k2x1x22，

4(k21)8k代入化简得：20，

12k212k21解得k，

4经检验满足题意，则直线l 的方程为x4y40， 综上所述直线l 的方程为x0 或x4y40．

21．已知函数f(x)xmlnx，mR，f(x)是f(x)的导函数． （1）讨论函数f(x)的极值点个数；

（2）若m0，0x1x2，若存在x0，使得f(x0)大小．

【解答】解：（1）f(x)1f(x1)f(x2)，试比较x1x2与2x0的

x1x2mxm， xx当m„0时，f(x)0，f(x)在(0,)上单调递增，无极值点；

当m0时，f(x)0可得xm，故f(x)在(m,)上单调递增，在(0,m)上单减， 故f(x)有1个极小值点，无极大值点．

综上：当m„0时，f(x)有0个极值点；当m0时，f(x)有1个极值点． （2）Qf(x)1m， xx2f(x1)f(x2)x1mlnx1(x2mlnx2)x1又f(x0)， 1x1x2x1x2x1x2mlnf(x1x2m2m)11，

12xx12(x1x2)2x2xxx12m故f(x0)f(12)1(1)，

2x1x2x1x2mln第18页（共20页）

x2x1x2(x1x2)2mm[ln2]， x2x1x1x2x1x2x1x1x2mln令tx22(1t)，t1，h(t)lnt， x11t14(t1)2则h(t)0，

t(1t)2t(t1)2所以h(t)在(1,)上单调递增，则h(t)h（1）0， 故f(x0)f(x1x2x2(x1x2)m)[ln2]0， 2x1x2x1x1x2x1x2)， 2所以，f(x0)f(又f(x)在(0,)上单调递增，

1所以x0(x1x2)，即x1x22x0．

2（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

x122．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为y22t2，以O为(t为参数）2t2极点，x轴的非负半轴为极轴，曲线C2的极坐标方程为：2(3cos2)4． （1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的参数方程；

（2）若点M在曲线C2上运动，求点M到曲线C1距离的最小值及对应的点M的坐标． x1【解答】解：（1）已知曲线C1的参数方程为y22t2，转换为直角坐标方程(t为参数）2t2为xy30．

x2曲线C2的极坐标方程为：(3cos2)4，转换为直角坐标方程为y21，转换为参

22x2cos数方程为ysin(为参数）．

（2）设点M(2cos,sin)，则

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点M到曲线C1的距离d|3sin()3|2|2cossin3|263,cos) 332|3(63cossin)3|33

2(sin当sin()1时，dmin解得M(|33|326． 2233,)． 33[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f(x)|xa||xb|(a0，b0)． （1）当ab1时，证明：f(x)…2；

（2）若f(x)的值域为[2，)，且f（3）5，解不等式f(x)…4． 【解答】解：（1）证明：Qab1，f(x)|xa||xb|…|xb(xa)| |ab||a11|厖2ab2ag2，当且仅当ab1时，取等号， aaf(x)…2；

（2）f(x)|xa||xb|…|ab|ab，ab2， 又Qf（3）|3a||3b||3a|3b5，a31，b， 223131x…xx„2222或或， Qf(x)…4，311331xx…4xx…4xx…422222253故原不等式的解集为{x|x…或x„}．

22

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