高斯-克吕格投影和横轴墨卡托(UTM)投影的异同

高斯-克吕格投影和横轴墨卡托(UTM)投影的异同

孙立东

【摘 要】介绍在工程测量中使用的2个主要投影的原理和方法,特别在国外测量中常使用的UTM投影和国内常用的高斯投影之间的关系,以及2个投影的异同.结合UTM投影在缅甸工程测量中的应用,分析高斯-克吕格投影与UTM投影的正反解公式.

【期刊名称】《港工技术》 【年(卷),期】2008(000)005 【总页数】3页(P51-53)

【关键词】高斯-克吕格投影;UTM投影;正反解公式 【作 者】孙立东

【作者单位】中交第一航务工程勘察设计院有限公司,天津,300222 【正文语种】中 文 【中图分类】工业技术

2008 年 10 月 第5 期 总第 183 期 港工 技 术PortEngineeringTechnology Oct.2008Total183No.5高斯一 克 吕格投 影 和 横轴 墨 卡 托 (UTM) 投影 的异 同孙 立 东（中交 第一航务工 程勘察设计 院有 限公司 ，天津 300222 ）摘要 ：介绍在工程测量 中使用 的 2 个主要投影 的原理和方法 ，特别在国外测量 中常使用 的 UTM 投影和 国 内常用 的高斯投 影之间的关系 ， 以及 2 个投影 的异 同。 结合 UTM 投影在缅甸工程测量 中的应用 ，分析高斯一克 吕格投影 与 UTM 投影

的正 反解公式 。关键词 ：高斯一克 吕格投影 ： UTM 投影 ：正反解公式中图分类号 ：P226 ； P228.4文献标志码 ：A文章编 号 ：1004-9592(2008)05-0051-03 Gauss-Kruger

ProjectionandUniversalTransverseMercatorProjection of theSimilaritiesandDifferences SunLidong( CCCC

FirstHarbourConsultantsCo.,Ltd.,Tianjin300222,China) Abstract:The twomainprinciplesandmethodsof projectionusedin theengineeringsurvey,especiallythe relationship

betweenUTMprojectioncommonlyusedbymeasurementsin foreign countriesandthe popularGaus-sianprojectionin Chinaandche similaritiesanddifferences of the

twoprojectionsareintroduced.Combiningwiththeapplicationof UTMprojectortothemeasurementof MyanmarProject,the analysisonpositiveandnegativesolution of the formulasof the twoprojectionaremade. Key words:Gauss-Kruger

projection;UTMprojection;positiveandnegativesolution of the formulas随着 国 内外测 量工 程 的逐 渐增 多 ， 涉及到投影 转换 中的许 多 问题也就逐渐增 多 ， 国 内工程测量 中 使用 的大都是 高斯投影 ， 去年缅甸 中石 油 南 亚 油码 头工程测量 中使用 的是 UTM 投影 。 由于 此投影在 国 内使用接触较 少 ， 使用 过程 中曾有 不 少 困 惑 ， 感 觉很有 必要对这 2 个投影做一个 比较 和 说 明 ， 希望 遇到 同样 的问题时能有所 帮助 。 1高斯一克 吕格投影[1]高斯一克 吕格 ( Gauss-Kruger) 投影 ，是一种“ 等角 横切 圆柱投影” ， 为德 国数学家 、物理学家 、天文学家高斯 (CarlFriedrichGauss) 于 19 世纪 20 年代拟定 ， 德 国大地测量学家克 吕格 (JohannesKruger) 于 1912 年对投影公式加 以 补充 。 设想

用一个 圆柱横切于球 面上投影带 的 中央经线 ， 按照投影带 中央经线投影 为直线且长度不变和赤道投影 为直线 的条件 ， 将 中收稿 日期 ：2008-05-22作者简介 ：孙立 东（ 1971- ） 男，工程师 ，主要从事水运工程测 量技术工作。央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于 圆柱面 ， 然后将圆柱面沿过南北极 的母线剪开展平 ， 即获高斯一克 吕格投影平 面 。高斯一克 吕格投影后 ， 除 中央 经线和 赤道 为直 线外 ，其他经线均为对称于 中央经线 的 曲线 。 高斯一 克吕格投影没有角度变形 ， 在长度 和面积上变形也 很小 ， 中央经线无变形 ， 自中央经线 向投影带边缘变 形逐渐增加 ， 变形最大处在投影带 内赤道 的两端 。 由 于其投影精度 高 ， 变形小 ， 而且计算简便 （ 各投影带 坐标一致 ， 只要算 出一个带的数据 ，其他各带都能应 用） ， 因此在大 比例尺地形 图 中应用 ， 可 以 满足 军事上各种需要 ，并能在 图上进行精确 的量测计算 。 按一定经差将地球椭球 面划 分成若 干投影 带， 这是高斯投影 中限制长度变形 的最有效方法 。 分带 时既要控制长度变形使其不大于测 图误差 ， 又要使 带数不致过多 以减少换带计算工作 ， 据此原则将地 球椭球 面 沿子午线划分成经差相 等 的瓜瓣形地带，2008年10月第5期总第183港工技术 PortEngineeringTechnology Oct.2008 Total183 No.5摘要 ：介绍在工程测量 中使用 的 2 个主要投影 的原理和方法 ，特别在国外测量 中常使用 的 UTM 投影和 国 内常用 的高斯投影之间的关系 ， 以及 2 个投影 的异 同。 结合 UTM 投影在缅甸工程测量 中的应用 ，分析高斯一克 吕格投影 与 UTM 投影 的正反解公式 。

ProjectionandUniversalTransverseMercatorProjection of theSimilaritiesandDifferences Sun Lidong

( FirstHarbourConsultantsCo.,Ltd.,Tianjin300222,China) two main principlesandmethodsof projectionusedin theengineeringsurvey,especiallythe relationship

betweenUTMprojectioncommonlyusedbymeasurementsin foreign countriesandthe popularGaus- sianprojectionin Chinaandche similaritiesanddifferences of the

twoprojectionsareintroduced.Combiningwith theapplicationof UTMprojectortothemeasurementof MyanmarProject,the analysisonpositiveandnegative solution of the formulasof the twoprojectionaremade.

projection;UTMprojection;positiveandnegativesolution of the formulas随着 国 内外测 量工 程 的逐 渐增 多 ， 涉及到投影转换 中的许 多 问题也就逐渐增 多 ， 国 内工程测量 中使用 的大都是 高斯投影 ， 去年缅甸 中石 油 南 亚 油码头工程测量 中使用 的是 UTM 投影 。 由于 此投影在国 内使用接触较 少 ， 使用 过程 中曾有 不 少 困 惑 ， 感觉很有 必要对这 2 个投影做一个 比较 和 说 明 ， 希望遇到 同样 的问题时能有所 帮助 。“等角横切 圆柱投影”，为德 国数学家 、物理学家 、天文学家高斯 (CarlFriedrichGauss) 于 19 世纪 20 年代拟定 ，德 国大地测量学家克 吕格 (JohannesKruger) 于 1912年对投影公式加 以 补充 。 设想用一个 圆柱横切于球面上投影带 的 中央经线 ， 按照投影带 中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影 为直线 的条件 ， 将 中面然后将圆柱面沿过南北极 的母线剪开展平 ， 即获高斯一克 吕格投影后 ， 除 中央 经线和 赤道 为直线外 ，其他经线均为对称于 中央经线 的 曲线 。 高斯一克吕格投影没有角度变形 ， 在长度 和面积上变形也很小 ， 中央经线无变形 ， 自中央经线 向投影带边缘变形逐渐增加 ， 变形最大处在投影带 内赤道 的两端 。 由于其投影精度 高 ， 变形小 ， 而且计算简便 （ 各投影带坐标一致 ， 只要算 出一个带的数据 ，其他各带都能应用）因此在大 比例尺地形 图 中应用 ， 可 以 满足 军事上各种需要 ，并能在 图上进行精确 的量测计算 。按一定经差将地球椭球 面划 分成若 干投影 带，这是高斯投影 中限

制长度变形 的最有效方法 。 分带时既要控制长度变形使其不大于测 图误差 ， 又要使带数不致过多 以减少换带计算工作 ， 据此原则将地球椭球 面 沿子午线划分成经差相 等 的瓜瓣形地带，· 5

2 ． 港工 技 术2008 年第 5 期以便分带投影 。 通 常按经差 60 或 30 分为 60 带或 30带。60 带 自 00 子午线起每隔经差 60 自西 向东分带 ， 带号依次编为第 1 ，2---60 带 。 30 带是在 60 带的基础 上分成 的 ， 它 的 中央 子午线 与 60 带 的 中央 子午线 和 分带子午线重合 ， 即 自 1.50子午线起每 隔经差 30 自 西 向东分带 ，带号依次编为 30 带第 1 ，2 --120 带 。 我 国大 于等于 50 万 的大 中 比例尺 地形 图 多采用 60 带高斯一克 吕格投影 ，30 带高斯一克 吕格投影 多用 于大 比例尺测 图 ， 如城建坐 标 多采用 30 带 的高斯一克 吕格投影 。 2UTM 投影 [1】UTM 投影全称为 “通用横轴墨 卡托投影 (Uni- versal

TransverseMercatorProjection)” 。 从几何意义 上来看 ，UTM投影属 于横轴等角割椭 圆柱投影 。 椭圆柱 割地球于南纬 800 、 北纬 840 的 2 条等高圈 ，投 影后 2 条相割上没有变形 ， 而 中央经线上长度 比为0.9996 。 它 的平面直角坐标 系 和 高斯投影 相 同 ， 且 和高斯投影有一个简单的 比例关系 ， 因此 UTM 投影 也称其 ko-0.9996的高斯投影 。 该投影于 1938 年由 美 国军事测绘局提 出 ． 1945 年开始采用 。 与高斯一克 吕格投影相似 ，该投影角度没有变形 ， 中央经线为直 线且为投影 的对称轴 ，2 条割线 （ 在赤道上 ，位 于离 中央子午线大约+180km 处 ） 上没有长度变形 ，离开 这2条割线愈远变形愈大 ： 在 2 条割线 以 内长度变 形为负值 ；在 2 条割线之外长度变形 为正值。 由于 有 以上 优 点 ， 在众 多改进 的高斯 投影 中 ，UTM投 影 被许多 国家 和 地 区 采 用 ， 作 为 大地 测 量和 地形测量 的投影 基础 。 UTM投影 分带方法 与高斯一克 吕格投影 相 似 ，是自西经 1800 起每隔经差 60 自西 向东分带 ， 将地球划分为 60 个投影带 。 3高斯一克 吕格投影与 UTM 投影异 同 高斯一克 吕格 投 影 与 UTM

投影 都是横轴 墨 卡 托投影 的变种 ， 从投影几何方式看 ， 高斯一克 吕格投 影是等角横切 圆柱投影” ， 投影后 中央经线 保持长度不 变 ， 即 比例 因 子 为 1 ； UTM 投影 是“ 等角横轴割 圆柱投影” ， 圆柱割地球于南纬 800 、北 纬 840 的 2 条等高圈 ，投影后 2 条割线上没有 变形 ， 中央经线上长 度 比 0.9996 。 从计算结果看 ，两者 主要差别在 比例 因子上 ，高斯一克 吕格 投影 中央 经线 上 的 比例 因子为 1 ， UTM 投影为 0.9996 。在 实 际工 作应 用 中 ，2 投影 可 近 似 采用 X ⅥM=0.9996× X 高斯 ，yunu=0.9996× Y 高 W ，进行坐标转换 比对 。其 中 ，XUIM ，yUrM 分别 为 UTM 投 影 的 X ， y 坐标 ； X 高斯 ，y 高斯分别为高斯投影 的 X ，】 ， 坐标 。坐标转换 比对时 ， 需注意 ： 如果坐标纵轴西移500000m ，转换时必须将 y 值减去 500000m 乘上 比例 因子后再加上 500000m。缅甸 中石油南亚油码头工程 中 ， 控制测量采用 仪器是 中海达公 司的 HD6000 型 RTKGPS 接收机 ， 以静态测量的方法 ，对各个控制点进行测量。 静态数 据解算 中选择的投影方式为 UTM 投影 ， 比例 因子为0.9996 。静态解算完成后 ， 为进一步验证其解算 的结果 ， 使用 国内所使用 的 日产 TOPCON 全站仪 ，对 GPS 静 态测量控制点进行检校 。 其 中的 2 个控制点 FD01 ，FD02之间 的实测距离为 477.754m， 而 GPS 所测距 离为 477.577m，GPS 测量 的距离 和全站仪测量 的距 离之 比近似为 0.9996 ，从而印证了 UTM 投影和高斯 投影之间的这种关系 。从分带方式看 ，两者 的分带起点 不 同 ，高斯一克 吕格投影 自 00 子午线起每隔经差 60 自西 向东分带 ， 第1带的 中央经度为 30;UTM 投影 自西经 1800 起每 隔 经 差 60 自西 向 东 分 带 ， 第 1 带 的 中 央 经 度 为-1770 ． 因此高斯一克 吕格投影 的第 1 带是 UTM 投影 的第 31 带 。 此外 ，2 投影 的东偏移都是 500km ，高 斯一克 吕格投影北偏移 为零 ．UTM 北 半球投影 北偏 移为零 ，南半球则为 10000km 。需要注意 的是 ，使用不 同椭球参数时 ， 即使是 同 一点 ，它们的投影坐标值也是不 同的 ，不要给实际应 用 时带来

问题。 4高斯—克 吕格投影与 UTM 投影正反解公式圆 4.1高斯一克 吕格投影正解公式原点纬度 0 ， 中央 经度 LO ，大地坐标 (B ，L) 。平面直角坐标 (X ，Y) ，其表达式为 XN=k.{M+Ntg 曰 A2 +(5_T+9C+4C2)A44 卜 (61-58T+T+270C-330TC)— A6 ） ，(1) YrFE+KoN[A+(1_T+C)A6+(5-18T+T+14C_58TC)A20].式 中 T=tg2B; C=e'2cos2B ；A=(L-LO)cos 曰；M=a[1- e2 3e4_2556)B_(38 +22+4~24 )si.2B+ 4642:32'rl 024 (15e4+45e6一 )sin 4B一3335e672sin 6B];·52． 2008 年第 5 期60 带 自 00 子午线起每隔经差 60 自西 向东分带 ，带号依次编为第 1 ，2---60 带 。 30 带是在 60 带的基础上分成 的 ， 它 的 中央 子午线 与 60 带 的 中央 子午线 和分带子午线重合 ， 即 自 1.50子午线起每 隔经差 30 自西 向东分带 ，带号依次编为 30 带第 1 ，2 - 120 带 。我 国大 于等于 50 万 的大 中 比例尺 地形 图 多采60带高斯一克 吕格投影 ，30 带高斯一克 吕格投影 多 2投影 [1】投影全称为 versal TransverseMercatorProjection)。从几何意义上来看 ，UTM圆柱 割地球于南纬 800 、 北纬 840 的 2 条等高圈 ，投影后 2 条相割上没有变形 ， 而 中央经线上长度 比为 0.9996 。 它 的平面直角坐标 系 和 高斯投影 相 同 ， 且和高斯投影有一个简单的 比例关系 ， 因此 UTM 投影也称其 ko-0.9996的高斯投影 。 该投影于 1938 年由美 国军事测绘局提 出 ． 1945 年开始采用 。 与高斯一克吕格投影相似 ，该投影角度没有变形 ， 中央经线为直线且为投影 的对称轴 ，2 条割线 （ 在赤道上 ，位 于离中央子午线大约+180km 处 ） 上没有长度变形 ，离开这条割线愈远变形愈大 ： 在 2 条割线 以 内长度变形为负值 ；在 2 条割线之外长度变形 为正值。由于 有 以上 优 点 ， 在众 多改进 的高斯 投影 中 ，高斯一克 吕格投影与 UTM 投影异 同高斯一克 吕格 投 影 与 UTM 投影 都是横轴 墨 卡托投影 的变种 ， 从投影几何方式看 ， 高斯一克 吕格投影是投影后 中央经线 保持长等角横轴割圆柱投影圆柱割地球于南纬 800 、北 纬 840 的 2 条等高圈 ，投影后 2 条割线上没有 变形 ， 中央经线上长

度 比 0.9996 。 从计算结果看 ，两者 主要差别在 比例因子上 ，为UTM投影为 0.9996 。在 实 际工 作应 用 中 ，2 投影 可 近 似 采用 X ⅥM= 0.9996× X 高斯 ，yunu=0.9996× Y 高 W ，进行坐标转换比对 。其 中 ，XUIM ，yUrM 分别 为 UTM 投 影 的 X ， y 坐标；X高斯 ，y高斯分别为高斯投影 的 X ，】 ， 坐标 。坐标转换 比对时 ， 需注意 ： 如果坐标纵轴西移 500000m ，转换时必须将 y 值减去 500000m 乘上比例 因子后再加上 500000m。缅甸 中石油南亚油码头工程 中 ， 控制测量采用仪器是 中海达公 司的 HD6000 型 RTKGPS 接收机 ，以静态测量的方法 ，对各个控制点进行测量。 静态数据解算 中选择的投影方式为 UTM 投影 ， 比例 因子为 0.9996 。静态解算完成后 ， 为进一步验证其解算 的结果 ，使用 国内所使用 的 日产 TOPCON 全站仪 ，对 GPS 静态测量控制点进行检校 。 其 中的 2 个控制点 FD01 ， FD02之间 的实测距离为 477.754m， 而 GPS 所测距离为 477.577m，GPS 测量 的距离 和全站仪测量 的距离之 比近似为 0.9996 ，从而印证了 UTM 投影和高斯投影之间的这种关系 。从分带方式看 ，两者 的分带起点 不 同 ，高斯一克吕格投影 自 00 子午线起每隔经差 60 自西 向东分带 ，带的 中央经度为 30;UTM 投影 自西经 1800 起每隔 经 差 60 自西 向 东 分 带 ， 第 1 带 的 中 央 经 度 为 -1770 ． 因此高斯一克 吕格投影 的第 1 带是 UTM 投影的第 31 带 。 此外 ，2 投影 的东偏移都是 500km ，高斯一克 吕格投影北偏移 为零 ．UTM 北 半球投影 北偏移为零 ，南半球则为 10000km 。需要注意 的是 ，使用不 同椭球参数时 ， 即使是 同一点 ，它们的投影坐标值也是不 同的 ，不要给实际应用 时带来 问题。 (61-58T+T+270C-330TC)—A6 (1) YrFE+KoN[A+(1_T+C)A6+ (5-18T+T+14C_58TC)A20].式 中 T=tg2B; 3e4_2556)B_(38 +22 + 4~24 64 2: 32'rl (15e4+45e6一 )sin 4B一3335e672 sin 6B];2008 年第 5 期 孙立东 ：高斯一克 吕格投影和横轴墨卡托 (UTM) 投影 的异 同 -5

3 ．一一 (azlb)======- Ⅳ_可 ie2xsin2亍 、 ／ 五 坨×COS2B 。转换公式都基于椭球体 ， 其 中 ：①o为椭球体长半轴 ；②6为椭球体短半轴 ；豺为扁率 (a-6Va；④e为第一偏心率 ，e= 、 ／ T 可 Fn)2 ；⑤e ’ 为第二偏心率 ，e’= 、 ／ 百万） 2-1 ； z/b) ． ⑥Ⅳ 为卯酉圈 曲率半径 ，Ⅳ-弋 才 丢 墨 笔 毫 疆F ，⑦ R 为 子 午 圈 曲 率 半 径 ，R= a(l_e2) - ： 忻五百。in：B ） 弛⑧B为纬度 ，rad ； L 为经度 ，rad ；⑨‰ 为纵直角坐标 ，m ； Y 。 为横直角坐标 ，m 。 式(1)中东偏移 FE-500000m+带号× 1000000m; 高斯一克 吕格投影 比例因子 ko-l 。 4.2UTM 投影正解公式 原点纬度 O ， 中央经度 LO ，大地坐标 (B ，L)-* 平面直角坐标 (X ，Y) ，其转换公式为瓦=FN+ko {M+Ntg日

[A2+(5_T+9C+4C2) 鲁】 +61_58T+T2+600C_330e'2） 号 墓 矿） ， ，(2) y r-FE+k。Ⅳ【 A+ （ 1一r+c ） 笔 }+(5-18T+T+72C_58e'2)A20 】 。 式 (2) 中东纬偏移 FE=500000m ； 北纬偏移 FN 北半球=0 ，FN南半球=10 000000m ； UTM 投 影比例 因子 ko=0.999 6，其它参数同高斯一克 吕格投影正解公式 。 4.3高斯一克 吕格投影反解公式原点纬度 0 ， 中央经度 LO ，平 面直角坐标 (X ，Y)。大地坐标 (B ，L) B=Bf 一盟荨 笠[孚 一 （ 5+3Tf+Cf 一 正 ^ 9TfCf ） 244+(61+90Tf+45Tf) 专 轰 厂]， (3)￡ 毛0+ ：可[D一（ 1+2Tf+Cf） 告+ CO ￡ (5+28Tf+6Cf +8Tf Cf+24Tf)io].式 中 Ⅳ， ：(a2lb 一 —旦一， 一 、 ／ 百e2xcos2 丐 、 ／ 百≯石膏霉 ’； R ， 2口（ l-e2 ） ； B,=cP+(3e 1/2 _27ei3/32)sin 2p+ (l_e2Xsin2Bf)3/2 (21e21/16_55e41/32)sin4 妒

+(151e}196)sin 6cp; l-b/a蜂； 吩 ： （ XN 一e t 2_ij 石 j 了 ； 妒2 ： 石 一e214_3e4164_5e61256 ）刚） ／ ko ； Tf =tg2哆； Cf=e'2COS2 辱； D=Yk-E式 (3) 中其它参数均 同高斯一克 吕格投影正解公式 。 4.4UTM 投影反解公式 原点纬度 0 ， 中央经度 LO ，平面直角坐标 (X ，Y) _+大地坐标 (B ，L) ，其表达式为 B=Bf 一盟鼍 笠 [等 一 (5+3Tf+1吗 一 4Cf -9e'2)24D4

+(61+90Tf+298Cf+’ 45Tr -252e一3 《 ） 告 】 ， (4)扛加+ 熹 百[D一（ 1+2Tf+Cf） 告 C0 ∈ (5-2Cf+28Tf-3Cf+8e'2+24Tf) 告 】 。式(4) 中 Nf ，Rf ，Bf ，e ．，妒，Mf ，Tf，9 ，D 等参数 同高 斯一克 吕格投影反解公式 ，其它参数 同高斯一克 吕格 投影正解公式 。工程测量 中还有很多其他的投影 ， 如兰勃特等 角投影 ， 在双标准纬线下是一 “等角正轴割圆锥投 影” ， 由德 国数学 家兰 勃 特 (J.H.Lambert) 在 1772 年拟定 。目前应用较少 ，在此不 同赘述 。 5 结语 高斯投影 和 UTM 投影 中比例 因子 的关系十分重要 ，使用 国内传统测量方式在 国外施工时要特别 注意 ，小范 围的测量施工不易发现 ，很可能归结到控 制点精度不高的上面来 ， 而对于大范 围的测量工作 就会带来重大错误 。参考文献 ： [1] 孔祥元 ，梅是义．控制测量学[M].武汉 ：武汉测绘科技 大学出版社 ， 1996. [2] 孙达 ，蒲英霞，地图投影【 M]．南京 ：南京大学出版社 ，2005.年第 5 期孙立东 ：高斯一克 吕格投影和横轴墨卡托 (UTM) 投影 的异 同 -53 (azlb) ======-Ⅳ_可i e2xsin2亍 、 ／ 五 坨×COS2B 。豺为扁率 (a-6Va；⑤e为第二偏心率 ，e’=、／百万） 2-1 z/b )⑥Ⅳ 为卯酉圈 曲率半径 ，Ⅳ-弋才丢墨笔毫疆F⑦R子午圈曲率半径，R=：忻五百。in：B ） 弛⑨‰ 为纵直角坐标 ，m ； Y 。 为横直角坐标 ，m 。式(1)中东偏移 FE-500000m+带号× 1000000m;高斯一克 吕格投影 比例因子 ko-l 。 4.2投影正解公式原点纬度 O ， 中央经度 LO ，大地坐标 (B ，L)-* 平 {M+Ntg日[A2+(5_T+9C+4C2) 鲁】 +号墓矿） (2) r-FE+k。Ⅳ【 A+ （ 1一r+c ） 笔 }+ (5-18T+T+72C_58e'2)A20 】 。式 (2) 中东纬偏移 FE=500000m ； 北纬偏移 FN北半球=0，FN 000 m投影 B=Bf一盟荨笠[孚一5+3 Tf +Cf正 9TfCf ） 244+(61+90Tf+45Tf) 专 轰 厂]，[D一（ 1+2Tf+Cf） 告 CO￡ (5+28Tf+6Cf +8Tf Cf+24Tf)io].中Ⅳ， (a2lb 一—旦一百e 2xcos2丐百≯石膏霉口（l-e2B,=cP +(3e 1/2 _27ei3/32)sin

(l_e2Xsin2Bf)3/2 (21e21/16_55e41/32)sin4 妒+(151e}196)sin 6cp;吩XN e t

2_ij石j了妒2一e214_3e4164_5e61256 ）刚）koTf =tg2哆； Cf=e'2COS2 辱； D=Yk-E 4.4投影反解公式原点纬度 0 ， 中央经度 LO ，平面直角坐标 (X ，Y)一盟鼍笠 [等(5+3Tf+1吗[D一（ 1+2Tf+Cf） 告 C0∈ (5-2Cf+28Tf-3Cf+8e'2+24Tf) 告 】 。(4) 中 Nf ，Rf ，Bf ，e ．，妒，Mf ，Tf，9 ，D 等参数 同高斯一克 吕格投影反解公式 ，其它参数 同高斯一克 吕格工程测量 中还有很多其他的投影 ， 如兰勃特等角投影 ， 在双标准纬线下是一 “等角正轴割圆锥投由德 国数学 家兰 勃 特 (J.H.Lambert) 在 1772 年 5结语高斯投影 和 UTM 投影 中比例 因子 的关系十分使用 国内传统测量方式在 国外施工时要特别注意 ，小范 围的测量施工不易发现 ，很可能归结到控制点精度不高的上面来 ， 而对于大范 围的测量工作就会带来重大错误 。

【文献来源】https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_port-engineering-technology_thesis/0201221857076.html

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