电四极矩的物理图象

浅述电四极矩的物理图象

姜云梅

（玉溪师范学院物理与教育技术系 04级物理2班 云南 玉溪 653100）

指导教师 ：陈洛恩

摘要：本文比较了电四极矩的两种定义，讨论了电四极矩的特点及应用两种定义求解电势的异同，并使用Flash直观形象的呈现电四极矩的物理图象。 关键词：电势；多极展开；电多极矩；电四极矩；Flash

1.引言

求解静电场的方法是引入电势，电势的求解是一个经典问题[1]。解法较多，诸如分离变量法、电象法、格林函数法、有限差分法、电势多极展开法等等[2]。 用电势多极展开法求解电势时，电势的多极展开式中，出现了包括电单极子在内的电多极子。这些电多极子是数学推演的结果，而非真实存在。原本是一定空间范围内的电荷系统(体系)在远处所激发(产生)的电势，却被想象中的电多极子激发同样电势所取代，对此，许多教材只言“等效”而不涉及等效的模型或物理图象。Constantino Grosse对电势的多极展开进行了分析研究[3]。 兰州师范高等专科学校的蒋德翰给出了电势多极展开的物理图象[4]。

在用电势的多极展开法解决实际问题时，经常会遇到电荷集中在一个小区域内的情况。在处理这种问题时，作为初级近似，我们可以把原来的电荷体系集中起来看作是一个点电荷，但当体系的总电荷为零，或考虑某些进一步的效应需要更高的精确度时，就必须考虑到体系的电偶极矩，同样在体系的电偶极矩为零,或需要更高的精确度时，就要引入电四极矩或

更高的极矩。当然,在引入更高极矩的同时，给计算带来了很大的麻烦，传统的电动力学求解方法比较困难。所以, 衡阳师范学院物理与电子信息科学系的陈秋成尝试利用数学物理方法的理论来求解，即用分离变量法求出电多极子所满足的拉普拉斯方程,导出勒让德多项式,从而解出电多极子所处的电场的电势[5]。青岛建筑工程学院基础课教学二部的孙瑛，又做了进一步的工作，将电势的多极展开式与用分离变量法解拉普拉斯方程所得的通解进行比较，得出通解中各项的物理意义，加深了对电多极子的场的理解[6]。

在普通物理中，电势的多极展开法不便使用。因此，程稼夫给出了电多极矩矢势的微商法及这种方法的应用[7]。内蒙古师范大学物理系的徐守淳，对一些教科书中计算电四极子电势的习题答案中出现的错误作了分析和讨论，并给出一种计算任意电四极子的电势的简化方法，使电四极矩的概念更容易被学生接受和理解[8]。

随着科技的发展,电多极子的影响在科研前沿领域得到了发展[5]。尤其是电四极矩，不仅可以用来求解电荷体系在远处的电势，还可以将其应用到原子核物理中。因此，对电四极矩的理解和掌握就更重要了，但电四极矩的内容比较复杂、抽象，尤其是电四极矩的物理意义、特点和物理图象。所以，本人针对这一问题，通过查找资料、综合分析、归纳概括等方法，整理出电四极矩的定义、物理意义、特点和物理图象，并使用Flash动画直观、形象的呈现电四极矩的物理图象，希望使电四极矩的理解和掌握更简单一些。

本文包括四部分内容：第一部分描述了电势的多极展开（电四极矩的

来源）；第二部分给出了电四极矩的两种定义及特点；第三部分是电四极矩的物理图景和电四极矩的应用举例，第四部分将Flash动画呈现的物理图景应用于教学，并分析其对教学的促进作用。

2.电势的多极展开

对于局限在一小区域内任意分布的电荷所激发的电场，电荷密度和电荷分布的区域的形状都是任意的，它的电势该如何求解呢 .小区域的电荷分布的电势的多极展开

根据文献[1][9]，真空中给定电荷密度x的电荷激发的电势

xdVx （1）

V40r式中体积分遍及电荷分布区域，r为场

点x到源点x的距离。在许多物理问题 z rxxy P

中，电荷只分布于一个小区域内，而需 ρ 要求电场强度的地点x距离电荷分布区 o V x 域比较远,即在(1)式中，r远大于区域

V的线度l。所以，我们只需要将(1)式

图1 小区域电荷分布

表示为的展开式，由此得出各极子电 势的近似值[9]。即：

11121x(x)xxixjdV （2） V40R2!i,jxixjRR1lr令

QxdV (3)

V

PxxdV (4)

VDij3xixjxdV (5)

V故(2)式可写为:

1Q1121x （6） Dij40R6i,jxixjRR[1]

.电势的多极展开式的物理意义

（6）式是电荷体系激发的电势在远处的多极展开式。现讨论展开式的各项的物理意义：

展开式的第一项

0Q (7)

40R1

等效于在坐标原点的点电荷Q产生的电势。因此，小电荷体系在电荷分布区外产生的电势，在零级近似下可视为将电荷集中于原点处产生的电势。

展开式的第二项

111pR (8) p340R40R1等效于体系总电偶极矩集中于原点处，对场点产生的势，它作为体系在观察点的势的一级近似。 展开式的第三项

2

等效于体系总电四极矩集中于原点处，对场点产生的势，它作为体系在观察点的势的二级近似。

综上所述：一个小区域内连续分布的电荷在远处激发的场，等于一系列多极子在远处激发的场的迭加[10]。

由上述描述可知，电势的多极展开内容抽象、复杂，学生较难理解。因此，考虑在教学中引入Flash动画，以求直观、形象地呈现。 3.电四极矩的两种定义及特点

电四极矩有两种定义，两种定义的物理意义各不相同，此外，电四极矩还具有其独特的特点。

121 (9) 406i,jxixjR1

.电四极矩的定义一

电四极矩在电势展开的第三项，是一个张量[11]。定义张量

Dij3xixjxdV

V为体系的电四极矩。电四极矩也可以用并矢形式写为

D3xxxdV （10）

V电四极矩张量Dij是对称张量，它有6个分量：D11，D22，D33 ，D12D21，

D23D32，D31D13。其物理图象用Flash动画呈现较直观，如图：

[1]

图2 电四极矩的六个

电四极矩的第一个定义是直接从电势的多极展开式中提出的，每个分量都具有较明显的物理意义。D11表示分布在x轴上的电荷体系对电四极矩的贡献，D22表示分布在y轴上的电荷体系对电四极矩的贡献，D33表示分布在z轴上的电荷体系对电四极矩的贡献，D12D21表示分布在xy平面上的电荷体系对电四极矩的贡献，D23D32表示分布在yz平面上的电荷体系对电四极矩的贡献， D31D13表示分布在zx平面上的电荷体系对电四极

矩的贡献

[12]

。

如图3所示，z轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系，可视为一对电偶极子+p和-p组成。设正、负电荷分别位于zb与za，它的电四极矩由（5）式算出

D333zzxdVz223zzQzzdV6Qba6Qbaba6pliVz其中，pQba是其中一对电荷的电偶极矩，lba是两个电偶极子中心的距离。这电荷体系产生的电势是一对反向电偶极子所产生的电势[1]。

图3 z轴上一对正负电荷组成的电四极

.电四极矩的定义二

电四极矩有6个分量，但是只有5个分量是的。现证明如下： 当R0时，有

210 (R0) (11) R1ij （12）

0ij引入符号ij，定义为

ij则（11）式可写为

211ij0 （13） RijxixjR则2可写为

2114063xixjrijxdV221（14）

xixjR我们重新定义电四极矩张量

VDij3xixjr2ijxdV（15）



则2仍可写为

2121DijxR （16） 406i,jij1（15）式定义的电四极矩张量满足关系

D11D22D330 （17）

由此可见电四极矩只有5个分量。以后我们将沿用电四极矩的定义二

 Dij3xixjr2ijxdVV

此式用并矢形式写为



2D3xxrxdV （18）

V其中为单位张量[10]。电四极矩的第二个定义是考虑到210 (R0)恒R成立的特点来定义的，由于D11D22D330，使变量的个数在第一个定义的基础上减少一个，但D11、D22、D33 分量没有第一个定义中的明显的物理意义[12]。 .电四极矩的特点

电四极矩具有以下特点：

（1）电四极矩是一个对称张量[1]。

（2）电四极矩只有五个分量是分量[1]。

（3）具有球对称分布的电荷体系的电四极矩为零[1]。反之，若电荷分布偏离球对称性，一般就会出现电四极矩[13]。电四极矩的出现标志着对球对称的偏离，因此我们测量远场的四极势项，就可以对电荷分布形状作出一定的推论。

（4）一般情况下，电四极矩与原点选取有关[9]。任何电荷分布的最低阶非零的电多极矩才与原点的选择无关，而更高阶的电多极矩有赖于原点的位置[14]。

4. 电四极矩的物理图景

通过对电四极矩的两种定义的比较及对电四极矩的特点的讨论，可知电四极矩的应用非常广泛。

.利用电四极矩求解电荷体系在远处的电势

电四极子是两个大小相等、方向相反，并有一微小距离l的电偶极子的复合体，可用电四极矩求解其在远处的电势[2]。

上述是用电四极矩来求简单电荷体系的电势。当然，我们也可用来求复杂体系的电势[2]。以求解均匀带电的长形旋转椭球体的电四极矩和电势为例，利用电四极矩的两种定义求解电四极矩和电势。

均匀带电的长形旋转椭球体，半长轴为a，半短轴为b，总电荷Q，求它的电四极矩和远处的势[1]。

首先，可以用电四极矩的第一个定义求解。取Z轴为旋转轴，椭球方

x2y2z23Q1程为， 电荷密度，电四极矩的定义一为 0222ba4ab03(xixj)dV DijV由对称性得

所以，

VxydVyzdVzxdV0（19）

VVD23D310D12 （20）

令x2y2s2，由对称性得

b12121a4ab4a23ydVsdVdzds2s2V2a015z212xV2dVV

（21）

4ab4zdV15（22）

2所以，

3Q12ab43Qb2D2203xdVD11（23） 2V15ab

23Q12a3b23Qa203zdVD33（24） 2V155 4ab

2电四极矩产生的电势为

1240222221Q223zRD22D33ab（25） 2225D11xyzR400R我们还可以用电四极矩的第二个定义求解。取Z轴为旋转轴，椭球方

x2y2z23Q1程为，电荷密度，电四极矩的定义二为 0222ba4abDij3xixjr2ijxdV

V由对称性得

所以，

VxydVyzdVzxdV0

VV D12D23D310 （26）

令x2y2s2，由对称性得

1xdVV2V121aydVsdVdz2V2a22z22b12a04ab4ds2s

1534ab4zdV15

因此，

D3303z2r2dV02z22x2dV11（28） D11D22D33a2b2Q25

22（27）ab2Q5

电四极矩产生的电势为

2221D22D33222D11xyzR121221D33222240yzR2x1240（29）

221321Q223zR D332ab2402zR400R5通过使用两种定义求解椭球体的电四极矩和电势，可以发现：学生可以根据电四极矩的定义来进行求解，但解出的电四极矩、电势的具体的物理图象如何学生却很难理解，因此我们可以用Flash动画来直观、形象地呈现，并且可以方便的对用两种定出的电四极矩、电势进行比较。

在Flash动画中，呈现并比较了使用两种定义求解椭球体的电四极矩的异同。从Flash动画中可见：半长轴为a，半短轴为b，总电荷Q，均匀带电的长形旋转椭球体的电四极矩只有三个分量，利用定义一求解时用

表示，利用定义二求解时用D11，D22，D33表示。 ，D22，D33D11为x轴上一对正电荷和一对负电荷组成（1）利用定义一求解时，D11和-p1组成。正、负电荷分别位于的体系，它可视为一对电偶极子+p1x2b与xb,由（23）式得

3Qb211D22l1（30） D11Qb(3b)p1555Qb是其中一对电荷的电偶极矩，l13b是两个电偶极子中心的距其中p1离。

利用定义二求解时，D11为x轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体

系，它可视为一对电偶极子+p1和-p1组成。正、负电荷分别位于xb与xa,由（28）式得

1111D11D22D33a2b2QQababp1l1（31）

2555

其中p1Qab是其中一对电荷的电偶极矩，l1ab是两个电偶极子中心的距离。

为y轴上一对正电荷和一对负电荷组成（2）利用定义一求解时，D22和D11的物理图象 图4 D11和-p2组成。正、负电荷分别位于的体系，它可视为一对电偶极子+p2y2b与yb,由（23）式得

3Qb2111D11l2p1l1（32） D22Qb(3b)p25555Qb是其中一对电荷的电偶极矩，l23b是两个电偶极子中心其中p2的距离。

利用定义二求解时，D22为y轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系，它可视为一对电偶极子+p2和-p2组成。正、负电荷分别位于yb与

ya,由（28）式得



1111D22D11D33a2b2QQababp2l2（33）

2555

其中p2Qab是其中一对电荷的电偶极矩，l2ab是两个电偶极子中心的距离。

为z轴上一对正电荷和一对负电荷组成（3）利用定义一求解时，D33和D22的物理图象 图5 D22和-p3组成。正、负电荷分别位于的体系，它可视为一对电偶极子+p3z2a与za,由（24）式得

3Qa211l3（34） D33Qa3ap3555Qa是其中一对电荷的电偶极矩，l33a是两个电偶极子中心其中p3的距离。

利用定义二求解时，D33为z轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系，它可视为一对电偶极子+p3和-p3组成。正、负电荷分别位于

ababza与zb,由（27）式得

2222

2 （35） 111abQQab2abp3l3p32l15555D3303z2r2dV02z22x2dV22其中p3Qab是其中一对电荷的电偶极矩，l32ab是两个电偶极子中心的距离 。

和D33的物理图图6 D3322Q223zR（4）用定义一解得电四极矩产生的电势等于ab400R5，

22Q223zR用定义二解得电四极矩产生的电势也等于。 ab00R

图7 两种解法得出的椭球体的电势

椭球体的总电荷为Q，电荷分布对于原点对称，因此电偶极矩为零

[15]

，则体系在远处的总电势准确至四极项，等价于电单极矩和为电四

极矩产生的电势

11a2b23cos21 （36） 340R10R由此可知：对于同一个问题用不同的定义方法求出的电四极矩虽然不同，但它们产生的势却是相同的。即D11和D11的形式和意义是不同的，在空间产生的势是相同的。在实际问题中视情况可采用不同的方式求解不会影响结果[12]。 .电四极矩在原子核物理中的应用

在原子核物理中，电四极矩是表征原子核性质的重要物理量[16]。它反映着原子核变的大小。通常情况下，可以把原子核内电荷Ze近似看作均匀分布。由于它有自旋，又可以把它看成是以自旋方向为轴的轴对称系统，原子核的电四极矩只有一个的分量，

D1Dxx3xixjr2ijxdV（40）

VZe

x2y2z221，则电四极矩如果原子核的表面方程为：

b2aD22ab2Q。所以，当Q0时，原子核为球形；当Q0时，原5子核为长旋转椭球形；当Q0时，原子核为扁旋转椭球形[17] 。电四极矩在原子核物理中有非常重要的作用，如电四极矩对固体的核磁反应吸收的作用[18]，还有利用原子核的电四极矩，从电四极矩超精细分子旋转的光谱和其他光谱技术，可以测量溴的超精细原子谱

线。

5.对电四极矩教学的促进作用

在电四极矩的教学中，有一些内容比较抽象、复杂，诸如电四极矩的定义、物理意义、物理图象。学生根据课本的介绍，了解了电四极矩的定义，但由于知识的抽象性和复杂性，学生的理解和掌握都还比较肤浅，很难掌握电四极矩的物理意义，尤其是物理图象。Flash动画将这些内容都直观、形象地呈现了出来。电四极矩的六个分量一一呈现在学生眼前，通过一些讲解，学生很容易就能掌握了。椭球体的例子中，将两种方法解出的椭球体的电四极矩先分别呈现，学生不仅掌握了电势多极展开法求解电四极矩和电势，还掌握了具体的物理图象和物理意义。将两种解法的电四极矩和电势的图象进行比较，直观的把它们的不同之处展现出来，让学生清楚的看到。而不像传统的教学那样，只是说不同而无法将不同之处呈现。可见，Flash动画可以促进电四极矩教学，我们可以具体的从以下三方面来看：

从建构主义大的角度看。建构主义认为，知识是意义建构的结果而学习是意义建构的过程，教师的任务就是努力创造一个适宜学习的环境使学习者能积极主动地建构他们的知识[19]。因此，在电四极矩的教学中，引入Flash动画，将学生难以理解和想象的物理图景以Flash动画的形式呈现，打造建构主义学习情境，充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前新学知识的意义建构的目的。

从创新的角度看。要培养具有创新意识、创新精神和创新能力的人才，教育本身要创新，教师更要具有创新意识、创新精神和创新能力[20]。因此，

[13]

教师要善于创设激发学生求知欲的学习环境。在电多极矩的教学中引入Flash动画，就是创新教学的一个尝试，希望以形象，直观、生动的Flash动画，创设激发学生求知欲和兴趣的学习环境，以教学方法上的创新来激发学生的创新意识，培养学生的创新能力。

从多媒体辅助教学的角度看。将Flash动画引入课堂辅助教学，创设情景，建立物理模型，有利于降低教材难度。设计合理的教学课件，能化抽象为形象，变静态为动态，变微观为宏观，把复杂的物理过程条理化、清晰化、动态化，帮助学生对知识的理解和掌握，提高课堂教学的效率和质量，利于突破教学难点和重点。在课堂教学中，利用Flash动画的多变性、生动性的特点能将学生的无意注意引向有意注意，从而提高课堂教学效率。运用Flash动画，有利于提高学生的学习兴趣。Flash动画具有声、光、色、形，综合能力强，通过图形的翻滚、重复、定格、色彩变化及声响效果等，能给学生以新异的刺激感受，从而激发学生想学、乐学，提高学习兴趣。

6.结论

本文介绍了电四极矩的来源，比较了电四极矩的两种定义，讨论了电四极矩的特点及应用两种定义求解电势的异同，展示了电四极矩的物理图景，列举了电四极矩的应用及举例，并将Flash动画呈现的物理图景应用于教学。从中发现，Flash动画应该可以促进电四极矩的教学，帮助学生建构知识，提高教学效果，使学生易学、乐学，还可以激发学生的创新意识，培养学生的创新能力。

当然，由于环境等因素，尚未将Flash动画应用于实际教学中，因此，对于Flash对教学的实际促进作用还有待实践验证，但我仍衷心希望Flash动画对电四极矩的教学有所帮助。

致 谢

论文写作过程中得到陈洛恩教授、任继阳老师的关心、指导和帮助，在此表示衷心的感谢！

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（6）

Discussion on Physical Image of the Electric Quadrupole Moment

Yun-mei Jiang

(Department of physics and educational technology, Yuxi normal

university, Yuxi 653100) Directed by Dr. Luo-en Chen

Abstract：This paper compares two kinds of definition of the electric quadrupole moment, discuss the characteristic of the electric quadrupole moment, and discuss the similarities and differences applied two kinds of definition solution electric potential, and uses the Flash to present the physical image of the electric quadrupole moment direct-viewing.

Keywords：Electric potential; Multipolar launches; Electric multipole moment; Electric quadrupole moment; Flash