高三数学指数对数提高练习

A组

－－

1．若a>1，b<0，且ab＋ab＝22，则ab－ab的值等于________． 2．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________.

1－2

3．函数y＝()2xx的值域是________．

2

4．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

5．(原创题)若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．

B组

1．如果函数f(x)＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．

①00 ②01且b<0 ④a>1且b>0

－

2．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．

f(1)

3．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f (x)＝ax·g(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；若

g(1)

f(－1)5＋＝，则a等于________． g(－1)2

－－1

4．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，其反函数为f1(x)．若f(2)＝9，则f1()＋f(1)的值是________．

3

1

5．已知f(x)＝()x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．

3

－

ex＋ex

6．(2009年高考山东卷改编)函数y＝x－x的图象大致为________．

e－e

1x

7．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________.

2

f(x)，f(x)≤K，

8．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数

K， f(x)>K.

1－

f(x)＝2|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为________．

2|x|

9．函数y＝2的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，当a变动时，函数b＝g(a)的图象可以是________．

10．已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a的值．

－2

11．已知函数f(x)＝x－a.(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，－1)对称；

2＋1x

(2)若f(x)≥－2在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．

第二节 对数函数

A组

1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)＝________. 2设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a、b、c的大小关系是________．

1x,x[1,0)3．若函数f(x)＝4，则f(log43)＝________.

x4,x[0,1]4．如图所示，若函数f(x)＝ax

－1

1

的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝loga的图象是________．

x＋1

1

5．(原创题)已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f()＝4，则f(2010)的值为_．

2010B组

x＋3

1．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点________．

10

2．对于函数f(x)＝lgx定义域中任意x1，x2(x1≠x2)有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)

f(x1)－f(x2)x1＋x2f(x1)＋f(x2)

＋f(x2)；③>0；④f()<.上述结论中正确结论的序号是________．

22x1－x2

a(a≤b)

3．对任意实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝，则函数f(x)＝log1(3x－2)*log2x的值域为________．

b(a>b)2

4．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为________．

2

5．已知函数f(x)满足f()＝log2x|x|，则f(x)的解析式是________．

x＋|x|

6．若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝________. 7．当x∈[n，n＋1)，(n∈N)时，f(x)＝n－2，则方程f(x)＝log2x根的个数是________．

x

8．已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝a与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________．

9．已知曲线C：x＋y＝9(x≥0，y≥0)与函数y＝log3x及函数y＝3x的图象分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12＋x22的值为________．

kx－1

10．已知函数f(x)＝lg(k∈R且k>0)．(1)求函数f(x)的定义域；

x－1

(2)若函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，求k的取值范围．

1＋x

11．已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；

1－x

(2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．

2

2

a－

12．已知函数f(x)满足f(logax)＝2(x－x1)，其中a>0且a≠1.

a－1

(1)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的集合； (2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．

指数函数练习答案

1.解析：∵a>1，b<0，∴01.又∵(ab＋ab)2＝a2b＋a2b＋2＝8，∴a2b＋a2b＝6，∴(ab－a

－－b2

)＝a2b＋a2b－2＝4，∴ab－ab＝－2.答案：－2

2.解析：由图象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，∴a＝3，则f(3)＝(3)3－3＝33－3.

答案：33－3

1－211

3.解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，∴()2xx≥.答案：[，＋∞)

222

x

4.解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1，+∞)

－

－

－

－

－

0120

5.解析：由题意知a－1＝0无解或a－1＝0⇒a＝3.答案：3

a0－1＝2a2－1＝2

1.解析：当02.解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，所以f(x)在[a，＋∞)上为减函数，又f(x)，g(x)都在[1,2]上为a≤1

减函数，所以需⇒0a＋1>1

f(x)f(1)f(－1)5511－

3.解析：由f(x)＝ax·g(x)得＝ax，所以＋＝⇒a＋a1＝，解得a＝2或.答案：2或 g(x)g(1)g(－1)2222

1－1

4.解析：因为f(2)＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，则f(x)＝3x＝，∴x＝－1，故f1()＝－1.又f(1)＝3，所

33

－1

以f1()＋f(1)＝2.答案：2

3

1

5.解析：设y＝g(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)＝()x上，∴y

3

1－－－

＝()2x＝3x2.答案：y＝3x2(x∈R) 3

－－ex＋exex＋ex

6.解析：∵f(－x)＝－xx＝－x－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④.

e－ee－e－

ex＋exe2x＋1e2x－1＋22

又∵y＝x－x＝2x＝2x＝1＋2x在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答

e－ee－1e－1e－1

案：①

1

7.解析：∵2<3<4＝22，∴12

111－

＝2log224＝2log2＝.答案： 242424

2，x≥1或x≤－1，1－

8.解析：由f(x)＝2|x|≤得x≥1或x≤－1，∴fK(x)＝1则单调

2

2，－1增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]

9.解析：函数y＝2|x|的图象如图．当a＝－4时，0≤b≤4，当b＝4时，－4≤a≤0，答案：②

11

10.解：f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，∵x∈[－1,1]，(1)当0aa

1111

取得最大值．∴(＋1)2－2＝14，∴＝3，∴a＝.(2)当a>1时，≤ax≤a，∴当ax＝a时，f(x)取得最大值．∴(a

aa3a

1

＋1)2－2＝14，∴a＝3.综上可知，实数a的值为或3.

3

2

11.解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y＝－x－a，P(x，y)关于点M(a，－1)的对

2＋1x－a

－2·2－2－22

称点为P′(2a－x，－2－y)．∴－2－y＝－2＋x－a＝x－a＝，说明点P′(2a－(x－a)＝(2a－x)－a2＋12＋11＋22＋1

－2

－x，－2－y)也在函数y＝x－a的图象上，由点P的任意性知，f(x)的图象关于点M(a，－1)对称．

2＋1－22－

(2)由f(x)≥－2x得x－a≥－2x，则x－a≤2x，化为2xa·2x＋2x－2≥0，则有(2x)2＋2a·2x－2·2a≥0

2＋12＋1

2aa

在x≥a上恒成立．令g(t)＝t＋2·t－2·2，则有g(t)≥0在t≥2a上恒成立．∵g(t)的对称轴在t＝0的左侧，∴g(t)在t≥2a上为增函数．∴g(2a)≥0.∴(2a)2＋(2a)2－2·2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，则a≥0.即实数a的取值范围为a≥0.

－|x|

对数函数练习答案

1

1.解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa2＝，∴f(x)＝log1x.答案：log1x

222

1111

2.解析：a＝log3π>1，b＝log23＝log23∈(，1)，c＝log32＝log32∈(0，)，故有a>b>c.答案：a>b>c

2222log43

3.解析：0x－1

1

，∴2＝a

4－1

1

，即a＝23>1. 1

是单调递减的，故g(x)递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④ x＋1

111

5.解析：设F(x)＝f(x)－2，即F(x)＝alog2x＋blog3x，则F()＝alog2＋blog3＝－(alog2x＋blog3x)＝－

xxx

11

F(x)，∴F(2010)＝－F()＝－[f()－2]＝－2，即f(2010)－2＝－2，故f(2010)＝0.答案：0

20102010x＋3

1.解析：∵y＝lg＝lg(x＋3)－1，∴将y＝lgx的图象上的点向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋3)

10

的图象，再将y＝lg(x＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y＝lg(x＋3)－1的图象．

答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

2.解析：由运算律f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝f(x1x2)，所以②对；因为f(x)是定义域内的增函数，

x1＋x2x1＋x2f(x1)＋f(x2)lgx1＋lgx2x1＋x2

所以③正确；f()＝lg，＝＝lgx1x2，∵≥x1x2，且x1≠x2，

22222

x1＋x2∴lg>lgx1x2，所以④错误．答案：②③

2

1

3.解析：在同一直角坐标系中画出y＝log(3x－2)和y＝log2x两个函数的图象，

2

logx (0由图象可得f(x)＝1，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]

log2(3x－2) (x>1)

4.解析：由y＝f(x)与y＝ex互为反函数，得f(x)＝lnx，因为y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对

11

称，故有g(x)＝－lnx，g(a)＝1⇒lna＝－1，所以a＝.答案： ee211

5.解析：由log2x|x|有意义可得x>0，所以，f()＝f()，log2x|x|＝log2x，即有f()＝log2x，故f(x)

xxx＋|x|

1

＝log2＝－log2x.答案：f(x)＝－log2x，(x>0)

x

6.解析：由题意2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2(x2－1)＝5，②所以2x1＝5－2x1，x1＝log2(5－2x1)，即2x1

＝2log2(5－2x1)．令2x1＝7－2t，代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)，∴5－2t＝2log2(t－1)与

T7

②式比较得t＝x2，于是2x1＝7－2x2.∴x1＋x2＝.答案：

22

7.解析：当n＝0时，x∈[0,1)，f(x)＝－2；当n＝1时，x∈[1,2)，f(x)＝－1；当n＝2时，x∈[2,3)，f(x)＝0；

当n＝3时，x∈[3,4)，f(x)＝1；当n＝4时，x∈[4,5)，f(x)＝2；当n＝5时，x∈[5,6)，f(x)＝3.答案：2

11－

8.解析：由题知，a＝，则f(x)＝()x＝bx，g(x)＝－logbx，当0bb

②正确；当b>1时，f(x)单调递减，g(x)单调递减．答案：②

9.解析：∵y＝log3x与y＝3x互为反函数，所以A与B两点关于y＝x对称，所以x1＝y2，y1＝x2，∴x12

＋x22＝x12＋y12＝9.答案：9

1x－kkx－11

10.解：(1)由>0及k>0得>0，即(x－)(x－1)>0.

kx－1x－1

11

①当0；②当k＝1时，x∈R且x≠1；③当k>1时，x<或x>1.综上可得当0kk11

时，函数的定义域为(－∞，1)∪(，＋∞)；当k≥1时，函数的定义域为(－∞，)∪(1，＋∞)．

kk

10k－11

(2)∵f(x)在[10，＋∞)上是增函数，∴>0，∴k>.

1010－1

kx－1k－1k－1

又f(x)＝lg＝lg(k＋)，故对任意的x1，x2，当10≤x1x－1x－1x1－1

k－1k－1k－111111＋)，∴<，∴(k－1)·(－)<0，又∵>，∴k－1<0，∴k<1.综上可知k∈(，10x2－1x1－1x2－1x1－1x2－1x1－1x2－1

1)．

1＋x

11.解：(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．

1－x1－x

(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．

1＋x

1＋x1＋x

(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得00，则0<<1，解得－11－x1－x

aaa－－

12.解：令logax＝t(t∈R)，则x＝at，∴f(t)＝2(at－at)，∴f(x)＝2(ax－ax)．∵f(－x)＝2(a

a－1a－1a－1

a－x－

－ax)＝－f(x)，∴f(x)是R上的奇函数．当a>1时，2>0，ax是增函数，－ax是增函数，∴f(x)是R

a－1

上的增函数；

a－

当00且a≠1

a－1

时，f(x)是R上的增函数．(1)由f(1－m)＋f(1－m2)<0有f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)，

1－m∴－1<1－m<1，－12

解得m∈(1，2)．

(2)∵f(x)是R上的增函数，∴f(x)－4也是R上的增函数，由x<2，得f(x)a－

即2(a2－a2)－4≤0，解得2－3≤a≤2＋3，∴a的取值范围是2－3≤a≤2＋3且a≠1. a－1