初中数学竞赛专题选讲

初中数学竞赛专题选讲

三角形的边角性质

一、内容提要

三角形边角性质主要的有：

1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意

两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：

abca,b,c是△ABC的边长bcaab＜cab

cab推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和

2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。 推广到任意多边形：四边形内角和=2×180， 五边形内角和=3×180

六边形内角和=4×180 n边形内角和=(n－2) 180

3. 边与角的关系

① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；

大边对大角，大角对大边。

② 在直角三角形中，

△ABC中∠C=Rt∠abc(勾股定理及逆定理)

222CRt△ABC中a：b：c=1：3：2 A30△ABC中

CRt a：b：c=1：1：2 A45二、例题

例1.要使三条线段3a－1,4a+1,12－a能组成一个三角形求a的取值范围。 (1988年泉州市初二数学双基赛题)

解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组

3a14a112aa1.54a112a3a1 解得131 ∴1.5A B C D

AB=x，AC=y, AD=z 若以AB和CD分别绕着点B和点C旋转，使点A和D重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？ ① x<

zzz, ②yzy2xyxzy2yzzxzyyx 即2xz2y∴yx

2yxzyxz2xzx2答yzz和y<必须满足。 22

例3.已知△ABC的三边都是正整数，a=5, b≤a≤c,符合条件的三角形共有几个？试写出它们的边长。 解：由已知a=5，1≤b≤5，∵c它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458；

555，556，557，558，559。

例4. 如图求角A，B，C，D，E，F的度数和 D A 解：四边形EFMN 的内角和=360度 ∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D

∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝ 360度 N M ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度

BC21

F E例5.△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，2∠C=5∠A，求∠B的取值范围

(1989年泉州市初二数学双基赛题)

解：根据题意，得

ABC522C5A得∠C=(180－∠B)，∠A＝(180－∠B) 77ABC180∴

25(180－∠B)≤∠B≤(180－∠B) ∴ 40≤∠B≤75 77例6.在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠A：∠B：∠C＝1：1：2 求各内角的度数

A解：作∠BCD的平分线交AD于E， 13△BCE≌△DCE（SAS） ∴∠D＝∠CBE D △BCE≌△BAE（SSS） ∴∠CBE＝∠ABE＝∠DB 24C设∠D＝X度，则2X＋2X＋4X＋X＝360

∴X＝40（度） 答∠DAB＝∠ABC＝80，∠B∠D＝160，∠D＝40 三、练习

1. △ABC中，a=5,b=7,则第三边c和第三边上的高hc的取值范围是＿＿

222. a,b,c是△ABC的三边长，化简(abc)(abc)得＿＿

3. 已知△ABC的两边长a和b（a是＿＿＿＿＿＿＿＿＿

4. 三边长是连续正整数，周长不超过100的三角形共有＿＿＿个，按边长的数字写出这些三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＿＿＿＿＿＿＿＿

（按由小到大的顺序排列，可用省略号）（1987年全国初中数学联赛题） 5. 各边都是整数且周长小于13，符合条件的

① 不等边三角形有___个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿

② 等腰三角形有______个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6.如果等腰三角形的周长为S，那么腰长X的适合范围是＿＿＿＿＿＿＿＿ 7.四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，CD＝7，边AD的适合范围是＿＿＿ 8.三角形不同顶点的三个外角中至少有___＿＿个钝角

（1986年泉州市初二数学双基赛题）

9.△ABC中，a>b>c,那么∠C的度数是范围＿＿＿＿＿＿＿＿

（1987年泉州市初二数学 双基赛题） 10.△ABC中，∠C、∠B的平分线相交于O，∠BOC＝120，则∠A＝＿＿

11.△ABC中，AB＝AC，∠A＝40，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，CE＝BD，BF＝DC，则∠EDF＝＿＿（1986年泉州市初二数学双基赛题）

12.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝＿＿＿＿＿度

（1986年泉州市初二数学双基赛题）

13.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠H＝＿＿度



14.如图△ADE中，∠ADE＝140且AB＝BC＝CD＝DE，则∠A＝＿＿

EA D56B

JDB

A72 C1 E34CF

15.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠AED＝＿度（1988年泉州市初二数学双基赛题） （这里∠AED是指射线EA绕端点E按逆时针方向旋转到ED所成的角） 16.△ABC的AB＝AC＝CD，AD＝BD，则∠BAC＝＿＿＿度

（1988年泉州市初二数学双基赛题）

17.△ABC中，∠A＝Rt∠，∠B＝60∠B的平分线交AC于D，点D到边BC的距离为2cm,则边AC的长是＿＿cm (1988年泉州市初二数学双基赛题)

C

C B A E B C D D B A

D A



AB的值是（ ） BM1213（A） 大于（B）大于（C）大于（D）大于

233418.△ABC中，AB＝AC，M是AC的中点，则

19不等边三角形的三边长均为整数，其周长是28，且最大边与次大边的差比次大 边与最小边的差大1，则这样的三角形共

有＿＿个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （1989年泉州市初二数学双基赛题） 20.菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且△AEF为等边三角形，求∠C的度数。

练习题参考答案

1. 2＜c<12, hc≤5 2. 2c

3. 2b5. ①3个 ②15个 6.

11s＜x9. 0＜∠C＜60 10. 60

11. 70

12. 360

13. 540

14. 10 15. 540 16. 108 17. 6

18. （B） 19. 3个 20. 100

