四川省成都市五校2015-2016学年高二数学下学期期中联考试题 文

成都市五校联考高2014级第四学期期中试题

数学（文科）

(全卷满分:150分 完成时间:120分钟)

注意事项:

选择题答案用铅笔涂写在机读卡上,每小题选出答案后,用铅笔把对应题目的答案标号涂黑.其它题答在答题卷上.

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的．)

1.命题“xR,sinx1”的否定是 ( ▲ )

A.x0R,sinx01 B.x0R,sinx01 C.xR,sinx1 D.x0R,sinx01

2.抛物线y4x的准线方程是

A.x1 B.x1 C.y211 D.y 16163.在同一坐标系中，将曲线y3sin2x变为曲线y'sinx'的伸缩变换是 ( ▲ )

x2x'x'2x A, B,'1 1'yyyy33'x2x'x2x C, D,' 'y3yy3y4. 已知直线a、b是平面内的两条直线，l是空间中一条直线. 则“la,lb”是 “l”的 ( ▲ )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

35. 在极坐标系中，点(2,)到直线sin(的距离是 ( ▲ ) )432111 A.1 B. C. D.

2346. 已知命题p:命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”的否命题是真命题；

x2y2“5k9” 命题q:是方程1表示椭圆的充要条件。则下列命题为真命

9kk5 题的是 ( ▲ )

A.pq B.pq C.pq D.pq

x2y27. 已知F1、F2是椭圆221(ab0)的左右焦点，P是椭圆上一点，且

ab PF2F1F2,PF1F26。则椭圆的离心率是 ( ▲ )

1

A.1235 B. C. D.

25238.与⊙C1:x2(y2)225内切且与⊙C2:x2(y2)21外切的动圆圆心M的轨

迹方程是 ( ▲ )

x2y2y2x2 A.1(y0) B.（1x0)

9595x2y2y2x2 C.1(x3) D.1(y3)

95959. 设函数f(x)(xa)lnx，已知曲线yf(x)在点（1，f(1))处的切线与直线 2xy30平行，则a的值为 ( ▲ )

A.3 B.3 C.2 D.2

10.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合。曲线C的参

x3cos 数方程为，直线l的极坐标方程是 (cos2sin)15。若 (为参数）

y2sin 点P、Q分别是曲线C和直线l上的动点，则P、Q两点之间距离的最小值是 ( ▲ )

A.10 B.23 C.25 D.21

11. 已知函数

124f(x)()x4x3t，g(x)x1t,2x1若x1R，

x2(,1)，使得f(x1)g(x2)，则实数t的取值范围是 ( ▲ )

A.(,0] B.(0,2] C.(,2] D.[3,)

12. 已知，焦点在x轴上的椭圆的上下顶点分别为B2、B1，左焦点和右顶点分别为F、A1. 经过点B2的直线l与以椭圆的中心为顶点、B2为焦点的抛物线交于A、B两点，且点 B2恰为线段AB的三等分点，直线l1过点B1且垂直于y轴，线段AB的中点M到直线l1的

9距离为. 若FB2A1B2123，则椭圆的标准方程是 ( ▲ )

4x2x2y2x2y2x22 A.y1 B.1 C.1 D.y21

4423 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共有4小题,每小题5分,共20分．把答案直接填在答题卷指定的横线上．) 1x3t213. 将曲线的参数方程(t为参数）化为普通方程为 ▲ .

3yt214. 已知函数

f(x)exsinx，则f() ▲ . 215.已知命题p:函数

x2ax16f(x)log22存在最小值；命题q:关于x的方程

2 2x(2a2)x3a70有实数根。若命题pq为真命题，则实数a的取值

范围是 ▲ .

2

16. 已知直线l交抛物线y23x于A、B两点，且OAOB（，设l 0O是坐标原点）

x2y2交x轴于点F，F、F分别是双曲线221(a0,b0)的左右焦点。若双曲

ab线的右支上存在一点P，使得|PF|2|PF|，则a的取值范围是 ▲ . 三、

解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．) q;实数x满足17.(本小题满分12分）已知命题p:实数x满足|2xm|1；命题

（Ⅰ）若m1时，pq为真，求实数x的取值范围；

（Ⅱ） 若p是q的的充分不必要条件，求实数m的取值范围。

13x0. x2y2x218.（本小题满分12分） 已知命题p：方程1表示焦点在y轴上的双曲线；

4tt8命题q：实数t使函数f(x)log2(x22tx2t3)的定义域是R． （Ⅰ）若t2时，求命题p中的双曲线的离心率及渐近线方程；

（Ⅱ）求命题p是命题q的什么条件(充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要中的一种)，并说明理由． 19.（本小题满分12分） 已知函数fxx3x5(xR)的图象为曲线C.

32（Ⅰ）当x2,1时，求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

1310tx210（Ⅱ）求垂直于直线l:(t为参数）并且与曲线C相切的直线方程. y110t310

20.（本小题满分12分）

已知动圆过定点F(0,1),且与定直线y1相切。 （Ⅰ）求动圆圆心M所在曲线C的方程；

（Ⅱ）直线l经过曲线C上的点P(x0,y0)，且与曲线C在点P的切线垂直，l与曲线C的

3

另一个交点为Q，当x02时，求OPQ的面积；

21，（本小题满分12分）

x2y2 椭圆C;221ab0的左、右焦点分别是F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,ab坐标系原点O到直线AB的距离为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如果动直线l;ykxn与椭圆C有且只有一个公共点，点F1,F2在直线l上的正投影

2面积S的取值范围。 分别是P,Q,求四边形F1PQF1221，椭圆的离心率是。 27

22.（本小题满分10分）

在直角坐标系xoy中，直线l的方程为xy40。以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为242cos(1)求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；

(2)若点P曲线C上任意一点，P点的直角坐标为x,y，求x2y的最大值和最小值．

60。 4 4

高二下期半期考试题数学（文）参 一、选择题

BDBBBCCDBCDA 二、填空题

 13.3xy330； 14.e2； 15.(4,3]； 16.[1,3). 17.(本题满分12分）已知命题p:实数x满足|2xm|1；命题q;实数x满足 （Ⅰ）若m1时，pq为真，求实数x的取值范围；

（Ⅱ） 若p是q的的充分不必要条件，求实数m的取值范围。 解；（Ⅰ）为真，pqp,q真。........................................................1分

m1 又

都

为，

13x0. x2p真；2x11,即x0或x1...........................................2分

1-3x0,(13x)(x2)0,x212x.....................................4分

3x0或x1 由1得-2x0

2x3 q真；

即

-2，实数x的取值范围为,0。.................................................

..............6分

（Ⅱ）p:实数x满足|2xm|1,p;2xm1,即 令

m1m1x22

m1m1A,2.............................................................2.....7分

q;2x13, 令

1B2,.....................................................8分

3P是q的充分非必要条件AB，是的真

集。....................................................9分

子

m12123m(不能同时取等），得 3 m1132m 实数的取

值范围是

5

13,。.....................................................12分 3y2x218.（本小题满分12分）已知命题p：方程1表示焦点在y轴上的双曲线；

4tt8命题q：实数t使函数f(x)log2(x22tx2t3)的定义域是R． （Ⅰ）若t2时，求命题p中的双曲线的离心率及渐近线方程；

（Ⅱ）求命题p是命题q的什么条件(充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要中的一种)，并说明理由．

y2x2 解； （Ⅰ）当t2时，双曲线方程为1，.................1分

26222 得a2，b6，c8，故a2，c22，

ce2．..................................................4分

a

3 其渐近线方程为；yx....................................6分

34t0 （Ⅱ）命题p成立条件为得t4，

t80 p;t4，令A4,.............................8分

命题q成立条件为x2tx2t30对于xR恒成立。

0即t2t30 1t3

由此可得q：t1或t3，令B,13,...。....10分 A是B的真子集

命题p是命题q的充分不必要条件。......................12分 19.（本小题满分12分）已知函数fxx3x5(xR)的图象为曲线C.

3222（Ⅰ）当x2,1时，求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

1310tx210（Ⅱ）求垂直于直线l:(t为参数）并且与曲线C相切的直线方程。 y110t310 1310xt210（Ⅱ）求垂直于直线l:(t为参数）并且与曲线C相切的直线方程。 y110t310

解：

（Ⅰ） f'(x)3x6x,对称轴x1 ........................2分

2x[2,1]时，f'(x)mix3,f'xmax9...................4分

6

当x2,1时，过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围为3,9。........6分（Ⅱ）直线l方程可化为：2x6y10,.................8分设切点p(a,b),y'3x26x,切线斜率k3a26a3.....................10分

a1,b3,即p(1,3)

所求切线方程为：3xy60.......................... 12分 20.(本题满分12分）已知动圆过定点 F(0,1),且与定直线y1相切。

（Ⅰ）求动圆圆心M所在曲线C的方程；

（Ⅱ）直线l经过曲线C上的点P(x0,y0)，且与曲线C在点P的切线垂直，l与曲线C的另一个交点为Q，当x02时，求OPQ的面积；

解.（Ⅰ）由题知，点M(x,y)到定点F(0,1)的距离等于它到定直线y1的距离，所以点

M所在的曲线C是以F(0,1)为焦点，以y1为准线的抛物

线。..............................2分

C曲线的.......................4分 （

Ⅱ

）

由

（

1

方

程

是

：

x24y。.....................................................................

）

有

曲

线

C：

y12x4，

1x 2.............................................................5分

1 当x02时，P(2，),曲线C在点P的切线的斜率是

22 ,...................................6分 2lk2 所以直线的斜率

5直线l的方程为：y-2x2.................................7分 y' 设

Qx1,y1

联立

5y2x2y1x24得方程

x242x100............................................................8

分

 x0x142,x0x110

PQ3x0x124x0x166...........10分

..............................................

7

又点O到直线l的距离d 从

53 6而

可

得

SOPQ1522.................................................................

...............12分

21，（本小题满分12分）

x2y2 椭圆C;221ab0的左、右焦点分别是F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,ab坐标系原点O到直线AB的距离为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如果动直线l;ykxn与椭圆C有且只有一个公共点，点F1,F2在直线l上的正投影

2面积S的取值范围。 分别是P,Q,求四边形F1PQF1221，椭圆的离心率是。 27解；2（Ⅰ）

1b31e,1..................................................2a22.....1分 又坐标系原点O到直线AB的距离为 221。 7112212abab2....................................................227.................2分 

32221232aaa，a2，b3 274x2y21.........4分 椭圆C的方程为43

直线l与椭圆C有且只有一个公共点。ykxn由x2y2134 222得(34k)x8knx4n120

22 由0 得4kn30.............................6分

（Ⅱ）

F1Pl,F2QL,

8

当k0时，在直角梯形F1PQF2中其中位线长d1 直线F1P的方程为；xky10 点F21,0直线F1P的距离d2

n1k2

21k2

，

SF1PQF24k23d1d2221k(1k2)2...........................................

2n................8分

t18

1t22t1t2t又t3，由双勾函数知S在t3上单调递减，0S23................10

令t34k2，S8分



当

k0时，则

n3，

S23。......................................................11分 2综上所述；四边形F1PQF面积S的取值范围为0,23。..............................12分 22.（本小题满分10分） 在直角坐标系xoy中，直线l的方程为xy40。以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为

242cos60。

4（Ⅰ）求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点P曲线C上任意一点，P点的直角坐标为x,y，求x2y的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）直线l的方程；xy40 xcos,ysin

cossin40.......................3分 l的极坐标方程为； 又曲线C的极坐标方程;242cos 4cos4sin60 xy,xcos,ysin,

曲线C的直角坐标方程:x2y22.........................6分

2260 42222x22cos为参数........7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C参数方程为y22sin  x2y＝(2＋2cos θ)+2(2＋2sin θ)

9

＝6＋2(cos θ＋2sin θ)

610sin...........................................8分

当sin()1时，x2y有最小值为610....................9分 当sin1时，x2y有最大值为610......................10分

10