广东省揭阳市2013-2014学年高二下学期学业水平考试数学(理)试题

2013-2014学年高二下学期学业水平考试

数学（理）试题

（测试时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，用钢笔或签字笔填写在答题卡密封线内. 2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的. 1．复数i(1i)

A．1i B．1i C．1i D．1i 2．设集合U{x|x是小于5的正整数}，A{1,2},则ðUA=

A．{3，4，5} B．{3，4} C．{0，1，3，4} D．{0，3，4，5} 3．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图（1）示，则该几何体的正视图为

4．执行图（2）所示的程序框图，若输入的x值为A．2 B．-2 C．

2231，则输出的y的值为 4开始输入xx≤2？否1 D．42 25．“a1”是“方程xy2x2ya0表示圆”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

是y=log2x输出yy＝2x图(2)结束（0，+）6．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是

A．yx B．y()|x| C．y1x D．ylgx

312227．已知cos3，(,)，则cos()的值为

524A．722272 B． C． D． 10101010x2y2y)在椭圆C:8．已知动点P(x，若点M满足|MF|11上，F为椭圆C的右焦点，

2516且MPMF0，则|PM|的最大值为

A．3 B．63 C．8 D．63

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上. 9. 函数y3sin(2x6)的最小正周期为 ，值域为 . 甲乙10. 图（3）是甲，乙两名同学5次综合测评成绩的茎叶图，

则乙的成绩的中位数是 ，甲乙两人中成绩较为稳定的 是 .

11. 设|a|12,|b|9,ab542，则a与b的夹角为 . 12．在(x2)5的展开式中，x的系数为 . 13．已知函数f(x)2x，点P(a,b)在函数y是 ．

9 8 8 3 3 72 0 1 9 8 9 图（3）1x1(x0)图象上，那么f(a)f(b)的最小值xyx,14．已知不等式组xy1,表示的三角形区域为M，过该区域三顶点的圆内部记为N,在N

y1.中随机取一点，则该点取自区域M的概率为 .

三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分12分）

B，C的对边分别为a，b，c，且abc， 在△ABC中，角A，（1）求角B的大小；

（2）若a2， c3，求b边的长和△ABC的面积.

a2b． sinA316．（本小题满分12分）

某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续 驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）， 被调查汽车的续驶里程全部介于50公里 和300公里之间，将统计结果分成5组：

[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，

[250,300]，并绘制成图（4）所示的频率分

布直方图．

（1）求直方图中x的值；

（2）求续驶里程在[200,300]的车辆数；

（3）若从续驶里程在[200,300]的车辆中随机抽取2辆车，记表示续驶里程在[250,300]的车辆数，求的分布列和数学期望. 17．（本小题满分13分）

如图（5），已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面 PAB是正三角形，且平面PAB平面ABCD，E是PA的中 点，AC与BD的交点为M. （1）求证：PC//平面EBD； （2）求证：平面BED平面AED；

图（5）

18.（本小题满分13分）

已知点A(1,0),点A关于y轴的对称点为B，直线AM，BM相交于点M，且两直线的斜率kAM、kBM满足kAMkBM2. （1）求点M的轨迹C的方程；

（2）设轨迹C与y轴的交点为T，是否存在平行于AT的直线，使得直线与轨迹C有公共点，且直线AT与的距离等于2？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由. 2

19.（本小题满分15分）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比为q，且满足：

a13,b19,a2b233,S32q2.

（1）求an与bn； （2）设cn3，记数列cn的前n项和为Tn. 若对于任意的nN*，

anlog3bnTn(n4)恒成立，求实数的取值范围.

20．（本小题满分15分）

已知函数f(x)13xax2bx，且f'(1)0. 3 （1）试用含a的代数式表示b； （2）求函数f(x)的单调区间；

（3）当a3时，设函数f(x)在x1,x2(x1x2)处取得极值，记点M(x1,f(x1)),

N(x2,f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点.

揭阳市2013－2014学年度高中二年级学业水平考试

数学（理科）

参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三．解答题： 15.解：（1）∵分 ∴sinBa2ba2bb，由正弦定理得------------------------2=sinAsinAsinB333-------------------------------------------------------------------42分

∵0B，abc，∴BC，----------------------------------------------5分 ∴B3．----------------------------------------------------------------------6

分

（2）∵a2，c3

由余弦定理得：b2a2c22accosB--------------------------------------------8分

49223分 ∴b分 ∴ SABC=分

17，--------------------------------------------------------927. --------------------------------------------------------------------10

11333．-------------------------------------12acsinB2322222C21P(2)2.-----------------------------------------------------------10

C510分

故的分布列为  0 1 2 33P() 510 1 10

--------------------------------------------------------11分

的数学期望：E0331412. ---12分 10510517.（1）证明：连结EM，-----------------------2分

∵ 四边形ABCD是矩形，

∴M为AC的中点．----------------------------3分 ∵ E是PA的中点，

∴EM是三角形PAC的中位线，-----------------4分

∴EM∥PC．------------------------------------------------------------------5分

其它解法请参照给分.

18.解：（1）依题意可得点B(1,0)，-------------------------------------------------1分

设点M(x,y)，显然x1， 由kAMkBM2得分

整理得yx1，

即点M的轨迹C的方程为yx1.(x1) -------------------------------------5分

(2) 在方程yx1中令x0得y1，即点T(0,1),------------------------------6分

则kAT1,假设存在符合题意的直线，其方程为yxm，--------------------------7分

222yy2，----------------------------------------------3x1x1y1x2,由消去y得x2xm10，------------------①---------------------8yxm.分

∵直线与轨迹C有公共点 ∴方程①的根判别式14(m1)0， 即m分

5，---------------------------------------------------------------------104又由直线AT与的距离等于22|m1|得， 222解得m0或m2，-----------------------------------------------------------12

分

∵2(,],而0(,]，

∴满足题意的直线存在，其方程为：yx.---------------------------------------13分

19.解：（1）设数列{an}的公差为d，

5454（2）由cn分

∴Tn1分

33111得cn-----------------------8anlog3bn3nlog33n1n(n1)nn11111.-------------------------------------10nn1n1111223对于任意的nN*，Tn(n4)恒成立

分 ∵

nn对任意的nN*恒成立---------------------11(n4)n1(n1)(n4)nn1，----------------------------------------1224(n1)(n4)n5n4n5n分 而n分 ∴

44452n59，当且仅当n即n2时等号成立--------------------13nnn11-------------------------------------------------------------144n59n分

∴ 1 9即实数的取值范围是[,).--------------------------------------------------15分

20.解：（1）依题意，得f'(x)x2axb

由f'(1)12ab0得b2a1----------------------------------------------1分

（2）由（1）得f(x)221913xax2(2a1)x 3故f'(x)x2ax2a1(x1)(x2a1)-------------------------------------3分

令f'(x)0，得x1或x12a ①当a1时，12a1

当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：

--------------5分

由此得，函数

x f'(x) (,12a) + 单调递增 (12a,1) — 单调递减 (1) + 单调递增 f(x) f(x)的单调增区间为(,12a)和(1,)，

单调减区间为(12a,1)---------------------------------------------------------6分

②当a1时，12a1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(,1)和(12a,)，单调减区间为(1,12a)；

-----------------------------------------------------------7分

③当a1时，12a1，此时，f'(x)(x1)0恒成立，且仅在x1处f'(x)0，故函数f(x)的单调增区间为(,)；--------------------------------------------8分

综上得：

当a1时，函数f(x)的单调增区间为(,12a)和(1,)，单调减区间为(12a,1)；

2当a1时，函数f(x)的单调增区间为(,)；

当a1时，函数f(x)的单调增区间为(,1)和(12a,)，单调减区间为

(1,12a)---------------------------------------------------------------------9

分

（3）解法一：当a3时，f(x)213x3x25x, 3由f'(x)x6x50，解得x15,x21,-----------------------------------10分

由（2）知函数f(x)的单调增区间为(,5)和(1,)，单调减区间为(5,1)

∴函数f(x)在x15,x21处取得极值, ----------------------------------------11分 故M(5,257),N(1,) 338x5------------------------------------------------123∴直线MN的方程为y分

132yx3x5x,3由消去y得：x39x223x150,------------------------13分 y8x5.3令F(x)x9x23x15

易得F(4)30,F(2)30，---------------------------------------------14分

而F(x)的图象在(4,2)内是一条连续不断的曲线， 故F(x)在(4,2)内存在零点x0，

这表明线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点.------------------- -------------15分

【解法二：当a3时，得f(x)23213x3x25x, 3由f'(x)x6x50，得x15,x21,-------------------------------------10分

由（2）得f(x)的单调增区间为(,5)和(1,)，单调减区间为(5,1)

所以函数f(x)在x15,x21处取得极值, --------------------------------------11分 故M(5,257),N(1,) 338x5----------------------------------------------123所以直线MN的方程为y分

132yx3x5x,3由消去y得：x39x223x150,--------------------------13y8x5.3分

解得x5,或x3,或x1，

即线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点(3,3).--------- ------------------15分】