第２８卷第３期 ２０１５年６月 文山学院学报 Ｊ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＷＥＮＳＨＡＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｖ０１．２８ Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．２０１５ 关于 矩阵Ｈａｄａｍａｒｄ积的几个不等式 周平，黄卫华 （文山学院数学学院，云南文山６６３０９９） 摘要：根据非奇异 矩阵的特点和性质，对在不同情况下，两个 矩阵的Ｈａｄａｍａｒｄ积做进一步研究， 给出ｇ ｏＡ ）和ｑ（ＡｏＡ ）的几个新不等式；算例表明，文中所给的不等式在某些情况下比现有不等式的估 计结果更精确。 关键词： 矩阵；Ｈａｄａｍａｒｄ积；不等式；最小特征值 中图分类号：０１５１．２１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７４—９２００（２０１５）０３—００５５—０６ 丽 １ 基本符号、定义及引理 下面先对文中用到的相关符号作以下说明： 用Ｒ ｎＸｎ（Ｃ ｎＸｎ）表示所有ｎ×ｎ阶实（复）方阵构成的集合，令Ｎ＝（１，２，…，ｎ｝，Ｓ是Ｎ的非空真子集， 是Ｓ在Ｎ中的补集，即 ＝Ｎ＼ ；所有ｎ阶非奇异 矩阵所构成的集合记为 ，ｑ（Ａ）为Ａ的最小特征值。 设 ＝（口 ，）∈Ｒ ｎＸｎ如果 是可逆矩阵，那么记Ａ ＝ ）， ＝ ∽… ％＝ ； ｃｆ ， ∈Ⅳ； 荟 ｉ ｌ ａ＇ｋｌ ：以 ｆ ｌ。。。。。。 一● 垂 Ｉ 定义１设 ＝（口 ）∈Ｃ ， ＝（６ ）∈Ｃ 定义ＡｏＢ＝（ａｏｂ ）∈Ｃ ，即 叫－．ａ ｌ ｂｌ］， 。 收稿日期：２０１４—１０—３１ 基金项目：云南省科技厅应用基础研究项目“关于两个Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程的数值解及其相关问题研究” 文山学院重点学科“数学”建设项目（１２ＷＳＸＫ０１）；文山学院“数学与应用数学”特色专业建设项目。 作者简介：周平，文山学院数学学院讲师，硕士。 ５５ 第２８卷 文山学院学报 ２０１５年第３期 定义２【２］・ ，设Ａ≥０且Ａ的每一列元素和为１，则Ａ称为随机的；若Ａ≥０，Ａ的每一列元素和为１且 Ａ的每一行元素和也为ｌ，则Ａ称为双随机矩阵。 引理ｌ【６］若Ａ∈ ，Ａ 是 的主子矩阵，则ｑ（Ａｋ）≥ｇ ）；若Ａ不可约且Ａ ＣＡ，则ｑ（Ａｋ）＞ｇ ）。 引理２【７］若Ａ（口 ，）∈ｃ一 ， 是Ⅳ＝｛１，２，…，，ｚ）（ ≥２）的任意非空真子集，则矩阵Ａ的所有特征值包含 在如下集合中 Ｃｓ ） Ａ ）ｊｎ（ Ａ ）ｊ，其中 ｙｅｓ Ａ （ ）＝｛ｚ仨ｃ：Ｉ ｚ—ａ ｌ≤ ）），ｉ∈ ； 兀Ｓ ）＝｛ｚ Ｅ ｃ：（Ｉ ｚ一 Ｉ＿ ））（Ｉ ｚ一 Ｉ－， ））≤厂 ） ）｝，ｉ ＥＳ，ｊ ｅ 。 引理３［９］若 ＝（口 ，）∈ 一是一个严格行对角占优矩阵，则Ａ— ＝ ，）存在，并且 ≤ ｉ，ｊ∈Ｎ，ｊ≠ｉｏ （６）若 ＝（口 ）∈ ” 是一个严格列对角占优矩阵，则Ａ ＝ ）存在，并且 ≤ ９Ｉｉ＇ｉ，Ｊ∈Ｎ，ｊ≠ｉｏ 引理４ 若 ＝（口 ）ｅ Ｍ 是一个严格行对角占优 矩阵，则 ＝ ）存在且有 １ ≥ ， ∈Ⅳ。 引理５ 若 ＝（口 ）ＥＭ ，且 一 ＝ ）是双随机矩阵，则 ≥专’ 、 矩阵， ＝（６ ）∈ ，Ａ一’＝ ），则 ２主要结论 定理ｌ设 ＝（口 ）∈ｎ 是严格行对角占优 … ≥ ｎ （ ｍｉ ｎ｛ｂｉ，－＝＿Ｈ，＋半一 妙叫｛｝。 ［（ ＋ 一去 ≠ 贝４由弓ｌ理２得 证明：令Ｃ＝ＢｏＡ一 ＝（ｃ ，根据引理１知任取ｉ∈＾ｒ，有ｃ —ｇ（Ｃ）＞０。记 ＝ｇ ｏＡ一 ）。设 ｃ Ｊ７、ｒ且 ≠Ⅳ， （ｉ）存在某个ｉ∈Ｓ，使得 ｃ Ｉ≤ （ｃ）， 即 ｂ Ｉ≤恙 Ｉ， 周平，等：关于 矩阵Ｈａｄａｍａｒｄ积的几个不等式 故 ≥ ６ Ｉ。 应用引理３，则（１）式得 Ｉ。 ｂ ｌｆ，ｆ，ｉ∈Ｓ。 ａｋｋ 应用引理４，则（２）式得 ≥ ６ 一 ６ ∑ Ｉ ＋， ｌ Ｉ ｒｆ ≥ 一ａｉｉ 口肚 一 ｋ ＃ｉ 即 ∑譬 ，●●●●●』‘●●●【 ｂ —Ｈ ≥ｍｉｎ ｆＥ 口 ｊ （ｉｉ）存在某个ｉ∈ ，Ｊ∈ ，使得 ＼●● （ －－ＯｉｌＩ一 （ｃ）（ （ｃ））≤ｒ （ｃ）， ｊ —ｃ ｌＩ 一 Ｉ一 （ｃ）Ｉ 一 Ｉ一， （ｃ）ｌ －ＣｉｉＩ＋ （ｃ） （ｃ）一 （ｃ） （ｃ）≤０， 即 ２－％１１２一 Ｉ＋ （ｃ）Ｉ 一 Ｉ＋，． （ｃ）ｌ —ｃ ｌ＋ （ｃ） （ｃ）一 （ ） （ｃ）≤０， ｚ一（Ｃｉｉ－ （ｃ）＋ 一 （ｃ）） ＋（Ｃｉ－ （ｃ））（ 一 ≤０． 故 ≥丢｛（ｃ 一 ｃｃ ＋ 一 ｃｃ ）一［（ｃ 一 ｃｃ ＋ 一 ｃｃ ） 一 ４（ （ｃ））（ 一 ） ） 即 ≥ 』 Ｉ ６ Ｉ ２【 ６ Ｉ＋ 一善１ ＋ 一 ＩｌｅＳ １≠ｉ ｌ≠， ≥ Ｊ ２ Ｉ ６ Ｉ ｆＩ］一 Ｉｍ∈ Ｅ Ｉ ｌ ＩＩ）Ｉ ｊＪ 。 （１） （２） （３） （４） ５７ ， ，【 Ｃ 、 一 ， Ｃ 、Ｊ 』 ，【 Ｃ 、Ｊ 第２８卷 应用引理３和引理４，则（４）式得 ≥ 文山学院学报 ２０１５年第３期 Ｊ 。／，．． Ｉ＋， ｌ 一 ＿／ ＋ ，ａｑｌ［ｔｊ＇ ２【 ＋， ，， 一 。， ∑＝ｌ ｂ １ｌ ＋∑ 口 ｆｌ ｑ≠ｋ，／ —１ ６ ¨ 口触 口耶 一 一 ，，●● ●●∑＝ｌ ＋善 ｋ≠ｉ ， 。１ Ｉ ≥ ．一， ，， ● ●●●＼，ｌａｑ，ｌ￣ 、 口聃 口 ∑．ｍＥＳ Ｉｂ ｌ 一 ６ ＼、●●●／ ∑Ｉ ∈ ｎ∈一 ｌ ．－ １、 叫 一２ 口 ｎＨ ｔ ９ ｉ∈Ｓ， Ｊ∈Ｓ。 、、 ●●／ ２ ｎ≠， 即 ＋ ＼、●●●／ ●一 ＼、●●●／／， ● ＼、●●一、 ＋ 。，，。 ．．．／， ，．．．一 ＿一／ 一，／ ６¨耵 ， ｂ “ 啦 』， 一Ｏｉｌ 口 一 ＿一／ ∑． 一 ∑ ㈨ 一 ｌ 一６ Ｉｌ． ‘ ｉｔ．一 １ １ ∑ ４ ｒ 一 ｌ一２ ］ 、、●● （ 一 一 Ｊ ｛｝０ 综上所述，由（ｉ）（ｉｉ １得 ｇ ，≥ ｂｉｉ—Ｈ 口 ｂ “ 口 “ 坼 一Ｏｉｌ 口 上， 一ｂ 一＋ ＝ ，ｂ、２ ｌ 一 ４ ｒ 一 ］ ａｎ １ 在定理１中，当Ａ：Ｂ时，可得到下面的推论。 推论ｌ设 ：（口 ）ＥＲ 为严格行对角占优 ｑ ｏＡ一） ≥ ＳｃＮ（ 一 一 ｛｝ｃ 矩阵，Ａ－１＝ ），则 ， ｍｉ ｎ ≠Ⅳ｛Ｉ ｍｉｎ ＋ 鲁 口“ 口］２一 一 （ 一 一 ］ ｛｝ｏ ＋ａｉｉｆ， Ｑ－．ｌｆ，， 一２口 “ … … ’Ｊ 同理可证，当 是双随机矩阵时，有下面的结果成立。 定理２设 ：（口 ），Ｂ＝（６ ）∈ ，且 ＝ ）是双随机矩阵，则 ｇ ≥ ｛ｍｉｎ ｍｌｎ ｊ∈ （ｂｎ【 —Ｈ｜ｋ １≠ｆ ＋ ｂ —Ｑｊｔ ¨善 ４ （Ｈｔ ｂ｝ ＋ １＋∑ ， ≠ｉ 生 ¨善 ５８ 『ｂｉ－ 一 一 ］ ｛｝ｃ （ 留］（１＋引 周平，等：关于Ｍ矩阵Ｈａｄａｍａｒｄ积的几个不等式 ３数值例子 ６ —１ —１ —１ １ －０．５ ０ ０ 例１令 ＝ —２ ５ —１ —１ －１ －０．５ ０ ，Ｂ＝ ０．５ ０ —２ ７ —１ ０ －０．５ １ －０．５ －—１ —１ 一ｌ ８ ０ ０ ０．５ １ 显然 ，Ｂ∈ ，且Ａ是严格行对角占优矩阵，应用ＭＡＴＬＡＢ计算得ｇ（ＢｏＡ ）＝０．１２８５。分别由Ｈｏｒｎ在 文献［５］７３页中给出的定理５．７＿３１的不等式，ＨｕａｎｇＲｏｎｇ在文献［８】中给出的定理９的不等式，Ｌｉ Ｙａｏｔａｎｇ等 在文献［１Ｏ】中给出的定理２．１中的不等式得ｇ 。 一 ）≥０．０２６８，ｑ ｏＡ一 ）≥０．０５５５和ｇ 。 一 ）≥０．０７１４。 而由本文给出的定理１得ｇ 。 ）≥Ｏ．１０７５。 ５ —１ －２ —１ 例２设Ａ＝ —１ １２ —７ —２ —１ —４ １５ —４ —２ —３ ０ １０ 这里Ａ是非奇异 矩阵，应用文献［５１７３页中给出的定理５．７＿３１的不等式，得ｇ 。 ）≥０．３１４７，应 用文献［９中定理３．９］４，得ｇ 。 一 ）≥０．５４２２，应用文中推论，得ｇ 。 ）≥０．５１２３。 对以上结果进行比较知，在某些情况下应用本文给出的不等式有效地改进了现有文献的结果。文献 【５，８—１ ０］中给出的估计式，或涉及到 矩阵Ａ和 的最小特征值ｑ（Ａ）和ｇ ）的计算，或涉及到Ａ和 的 Ｊａｃｏｂｉ迭代矩阵 和 的谱半径ｐ ）和ｐ 的计算，当矩阵的阶数较大时ｇ ）和ｇ ）和ｐ（ＪＡ），ｐ 都 是难以计算的，因此应用它们估计ｇ 。 ）和ｇ 。 ）的下界是难以实现的，但本文给出的这些新估计式 仅与矩阵的元素有关系，且计算简单易行。 参考文献： ［１］黄廷祝，杨传胜。特殊矩阵分析及应用【Ｍ】．北京：科学出版社，２００３． ［２］陈景良，陈向晖．特殊矩阵【Ｍ】．北京：清华大学出版社，２０００． ［３］ＹＯＮＧ Ｘ Ｒ．Ｐｒｏｏｆｏｆａ ｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅ ｏｆＦｉｅｄｌｅｒ ａｎｄ Ｍａｒｋｈａｍ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉ－ｃａｔｉｏｎｓ，２０００，３２０：１６７—１７１． ［４］ｚ．Ｊ．Ｈｕａｎｇ．Ｏｎ ｔｈｅ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｒａｄｉｕｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｎｏｒｌｎ ｏｆ Ｈａｄａｍａｒｄ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ ｉｔｓ ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１ １，４３４：４５７—４６２． ［５］Ｒ．Ａ．Ｈｏｒｎ，Ｃ．Ｒ．Ｊｏｈｎｓｏｎ．Ｔｏｐｉｃ ｉｎ Ｍａｔｉｒｘ Ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ，１９９１． ［６］Ａ，Ｂｅｒｍａｎ，Ｒ，Ｊ，Ｐｌｅｍｍｍｏｎｓ．Ｎｏｎｎｅｇａｆｉｖｅ Ｍａｔｉｒｃｅｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ，Ｐｈｉｌａ－ｄｅｌｐｈｉａ，ＰＡ，１９９４，１０１：１０６８—１０７２． ［７］Ｌｊｉｌｊａｎａ Ｃｖｅｔｋｏｖｉｃ．Ｈ－ｍａｔｒｉｘ ｔｈｅｏｒｙ ＶＳ．ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｕｍｅｒ Ａｌｇｏｒ，２００６，４２：２２９—２４５． ［８］Ｒ．Ｈｕａｎｇ，Ｓｏｍｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈａｄａｍａｒｄ ｐｒｏｄｕｃｔ ａｎｄ ｔｈｅ Ｆａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｍａｔｉｒｃｅｓ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．２００８， ４２８：１５５１－１５５９． ［９］Ｙ．Ｔ，Ｌｉ，Ｆ．Ｂ．Ｃｈｅｎ．Ｄ．Ｆ．Ｗａｎｇ．Ｎｅｗ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄｓ ｏｎ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｈａｄａｍａｒｄ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ａｎ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｉｎｖｅｒｓｅ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００９，４３０：１４２３－１４３１． ［１０］Ｙ．Ｔ．Ｌｊ，Ｙ．Ｙ．Ｌｉ，Ｒ．Ｗ．Ｗａｎｇ，Ｙ．Ｑ．Ｗａｎｇ．Ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｂｏｕｎｄｓ ｏｎ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｈａｄａｍａｒｄ ｐｒｏｄｕｃｔ ａｎｄ ｔｈｅ Ｆａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］． Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１０，４３２：５３６—５４５． ５９ 第２８卷 文山学院学报 Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｏｆ Ｈａｄａｍａｒｄ Ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ Ｍ－ｍａｔｒｉｃｅｓ ＺＨＯＵＰｉｎｇ，ＨＵＡＮＧＷｅｉ－ｈｕａ ２０１５年第３期 （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｗｅｎｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｅｎｓｈａｎ ６６３０９９，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｃｃ０ｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｎｏｎｓｉｎｇｕｌａｒ Ｍ－ｍａｔｒｉｃｅｓ，ｔｈｅ Ｈａｄａｍａｒｄ ｐｒｏｄｕ ｏｆ ｔｗｏ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｉｎ ｄｉ ｒｅｍ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｎｈｅｒ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ，ａｎｄ ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｏｎ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄｓ ｏｆ ｑ（ＢｏＡ＂１） ａＩ１ｄ Ｃａｓｅｓ． ‘ ）ａｒｅ ｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅ ｇｉｖｅｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｓｈｏｗ ｈａｔｔ ｈｅｓｅ ｉｔｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｉｍｐｒｏｖｅ ｓｅｖｅｒａｌ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｅｓｕｉｔ ｍ 。ｍｅ Ｋｅｖ ｗ０ｒｄｓ：Ｍ－ｍａｔｒｉｃｅｓ；Ｈａｄａｍａｒｄ ｐｒｏｄｕｃｔ；ｉｎｅｑｕａｌｉｙ；ｓｔｍａｌｌｅｓｔ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ （责任编辑 刘常福） （上接第５４页） Ｔｈｅ Ｌｏｗｅｒ Ｂｏｕｎｄ ｏｆ Ｍ ｍａｔｒｉｃｅｓ Ｍｉｎｉｍｕｍ Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ＪＩＡＮＧ Ｊｉａｎ—ｘｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｗｅｎｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ，Ｗｅｎｓｈａｎ ｔ６６３０９９，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇ ｔｗｏ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｄｉｓｋ ｔｈｅｏｒｅｍｓ，ａｎｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｃａｌａｒ ｍａｔｒ ｃｅ ， ｔｌ１ｅ ｐａｐｅｒ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｒａｄｉｕｓ ｏｆ Ｈａｄａｍａｒｄ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｎｄ ｉｎｖｅ￣ｅｄ Ｍ ｍａ仃ｉｃｅｓ：ｔｈｅ ｐ印ｅｒ ａｌｓｏ ｏｂｔａｉｎｓ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄ ｏｆ Ｍ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｍｉｎｉｍｕｍ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅｓ ｏｆ ｉｔｓ ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ；Ｍｍａｔｒｉｃｅｓ；。ｓｐｅｃｔｒａｌ ｒａｄｉｕｓ；ｍｌｎｌｍｕｍ ｅ ｇｅｎＶａＩｕｅ （责任编辑 刘常福）．、
