2013数学三真题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

（1）当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）xo(x2)o(x3) （B）o(x)o(x2)o(x3) （C）o(x2)o(x2)o(x2) （D）o(x)o(x)o(x) 答案：（D）

22xo(x2)o(x2)0 解析：（A）32xxo(x)o(x2)o(x)o(x2)20 （B）

x3xxo(x2)o(x2)o(x2)o(x2)20 （C）22xxxo(x)o(x2)o(x)o(x2)o(x)o(x2)222推不出0 如：xo(x)则1 （D）

x2x2xx

|x|x1（2）函数f(x)的可去间断点的个数为（ ）

x(x1)ln|x|（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 答案：（B）

|x|x1exln|x|xln|x|limlim1. 解析： limx1x(x1)ln|x|x0x(x1)ln|x|x0x(x1)ln|x|limf(x)= limx1x1xln|x|1

x(x1)ln|x|2x1

limf(x)= limx1xln|x|

x(x1)ln|x|而f(0),f(1)无定义，故x=0,x=1为可去间断点.

（3）设Dk是圆域D{(x,y)|x2y21}位于第k象限的部分，记Ik(yx)dxdyDkk1,2,3,4，则（ ）

（A）I10 （B）I20 （C）I30 （D）I40 答案：（B） 解析：

Ik＝（yx)dxdyDkk/2(k1)/2d(rsinrcos)rdr0k/211k/2(sincos)d(k1)/231k/2122(sincos)d＝(cossin)，带入得I10,I20,I30,I403(k1)/2333(k1)/2

故应选B。

（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若anan1,则(1)n1n1an收敛

（B）若(1)n1n1an收敛，则anan1

（C）若an1n收敛，则存在常数P1,使limnan存在

nP（D）若存在常数P1，使limnan存在，则

nPan1n收敛

答案：（D）

1解析：因为pp1收敛，limnan存在，则an收敛。故应选D。

nn1n1n（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC,则B可逆，则

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 答案：（B）

解析：∵B可逆.∴A(b1…bn)=C=(c1…cn)

∴Abi=Ci.即C的列向量组可由A的列向量组表示. ∵AB=C ∴A=CB-1=CP.

同理：A的列向量组可由C的列向量组表示.

1a1200

（6）矩阵aba与0b0相似的充分必要条件为

1a1000

（A）a0,b2 （B）a0,b为任意常数 （C）a2,b0

（D）a2,b为任意常数

答案：（B）

解析：A和B相似，则A和B的特征值相同. ∴A和B的特征值为λ1=0. λ2=b. λ3=2.

1∴|A-2E|=aa11b2a4a2 ∴a=0 a112000 B000

0000a12且R(A)R(B) A0ba00当a=0时，bR时，有R(A)R(B). 反之对于bR、a0时.有A和B相似..

（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,22），X3~N(5,32),

PjP{2Xj2}(j1,2,3),则（ ）

（A）P1P2P3

（B）P2P1P3 （C）P3P1P2 （D）P1P3P2 答案：（A） 解析：

P1P(2X12)(2)(2)2(2)1X20 1)2(1)1　　　　P1P227X57P3P31(1)　P2P3P1P2P3333P2P(1（8）设随机变量X和Y相互，则X和Y的概率分布分别为，

则P{XY2} ( )

1 121（B）

81（C）

61（D）

2（A）答案：（C） 解析：

PXY2PX1，Y1PX2，Y0PX3，Y11111111PX1PY1PX2PY0PX3PY14383836

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）设曲线yf(x)和yxx在点(0,1)处有公共的切线，则limnfn2nn2________。

答案：-2 解析：

22f1f1f12n2nn2n2nlimlimnflimnnn222n2nn2n2n2

2f1f12nn2limlim2f12nn2n2n2（10）设函数zz(x,y)由方程(zy)xxy确定，则答案：2-2ln2 解析：

zx(1,2)________。

把点1,2代入zyxy,得z1,20在zyxy两边同时对x求偏导数，有zzxxy,将x1,y2,z1,20代入得=2-2ln2zylnzyxzyx（11）求

xx

1lnxdx________。 2(1x)答案：ln2

解析:

1lnxlnxdx2(1x)1x11dx

(1x)x1x＝0+ln=0-lnln2.

21x1（12）微分方程yy答案：ye(c1c2x) 解析：

1x21y0通解为y________。 4二阶齐次微分方程的特征方程为2所以齐次方程的通解为ye1x2110,解得12,42

c1c2x（13）设A(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若

aijAij0(i,j1,2,3),则A____。

答案：1 解析：

aijAij0

AijaijAAAAAA|A|E取行列式得：

*T*T|A|2|A|3|A|0或|A|1

若|A|0，AAT0,A0(矛盾)

|A|1

（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe答案：2e2

解析：

2X)= ________。

1x2标准正态分布的概率密度fxe2EXe

2X2xe2x1e2x221dx2xe1x2222dxe2x22112xedx2e22三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 解析：

ncos6xcos4xcos2x11cosxcos2xcos3x3cos6xcos4xcos2x4limlimlimx0x0x0axnaxn4axn6sin6x4sin4x2sin2x36cos6x16cos4x4cos2xlimlimx0x04anxn14an(n1)xn21所以n2当n2时，由题意所以n2，a7

（16）（本题满分10分）

设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx，求a的值。

1336+16+41a74a21解析：由题意可得：

Vxa035(x)dxa3

5a132Vy2067xxdxa3

71367353a10a3a77 因为：Vy10Vx 所以75（17）（本题满分10分）

设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成.计算

xdxdy。

D2解析：y3x与xy8的交点为(2,6)，y23xx68xx1x与xy8的交点为(6,2)。 32xdxdyD20dx1xdydx132236114162xdy(3xx)xdx(8xx)x2dx023332

（18）（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。

解析：（1）总收入R(P)PQ1000P(60P)60000P1000P 总成本C(P)6000020Q126000020000P 总利润L(P)R(P)C(P)1000P280000P1260000 边际利润L(P)2000P80000

（2）当P=50时的边际利润为L(50)200050800002000，其经济意义为在P=50时，价格每提高1元，总利润减少2000元。

0,P40（3）由于L(P)2000P80000，L(P)在(0,40)递增，在(40,)递减，当P=40

0,P40Q，1000时，总利润最大。

（19）（本题满分10分）

设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明

x（1）存在a0，使得f(a)1

（2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f'()证明：（1）因为limf(x)2，对于x1. a11，存在A0,使得当xA时，|f(x)2|，22因此f(A)3，由连续函数的介值性，存在a(0,A)，使得f(a)1。 2（2）由拉格朗日中值定理，存在(0,a),使得f'()

（20）（本题满分11分） 设Af(a)f(0)1.

a0a1a01,B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所

101b有矩阵C。 解析：令C

x1x3x2，则 x41ax1 ACx103 CAx2x1ax3x4x1x2ax4 x2ax1 ax3x1x3x21ax1xxxx410324x2ax3 ACCAx1x3x4则由ACCAB得

a1x2xa4x，

xax23x2ax30axxax1124，此为4元非齐次线性方程组，欲使C存在，此线性方程组必须xxx1134x2ax3b有解，于是

01a0a10aA101101a010 00001a001101a01a00110111b01a0b00111111a00 a01aa0b01111a00

0001a000b所以，当a1,b0时，线性方程组有解，即存在C，使ACCAB。

10又 A0001111100,

00000000111c1c21c1001 所以 Xc1c2100c1c0102

所以 Cc1c21c1。 ,（其中c1,c2,c3为任意常数）

cc12

（21）（本题满分11分） 设

二

次

型

fx1,x2,x32a1x1a2x2a3x3b1x1b2x2b3x322，记

a1b1a,2b2。

ab33（I）证明二次型f对应的矩阵为2TT；

22（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y1。 y2证明：

a1x1b1x1aa,a,axx,x,xbb,b,b1f2x1,x2,x3212321232123x2axbx3333XT2TXXTTXXT2TTX故f的矩阵A=2TT2A(2TT)2T222为A的对应于1=2的特征向量又A(2TT)=2T=

为A的对应于2=1的特征向量rAr2TrTrr233=02故f在正交变换下的标准型为2y12y2.（22）（本题满分11分）

3x2,0x1, 设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为fXx其他.，在给定0,Xx0x1的条件下，Y的条件概率密度fYX（1） 求X,Y的概率密度fx,y； （2） Y的边缘概率密度fYy； （3） 求PX3y2,0yx,yxx3

0,其他.2Y。

0x1,0yx其他23y23x3解析：(I)fx,yfXxfYXyxx0（II）fYy。

fx,ydx

19y2dx9y2lny 当0y1时，fYyyx9y2lny所以y的边缘概率密度为fYy0（III）PX2Y0y1其他x20

X2Yfx,ydxdydx019y21dy x8

（23）（本题满分11分）

23ex,x0,设总体X的概率密度为fxx其中为未知参数且大于零，

0,其它.X1,X2，XN为来自总体X的简单随机样本.

（1）求的矩估计量；

（2）求的最大似然估计量. 解析：（1）EX0xf(x)dx0估计（2）

2edxexd()etd(t)，令EXX,得到矩20xxx0X。

l()f(x1,)f(x2,)f(xn,)2n(x1x2xn)(1x1xn)3e1)xn(1x11)xnLln(l())2nln3ln(x1x2L2n1(x11)0xn

得到最大似然估计：

2n1x11。 xn