高数下期中考试

Prepared on 22 November 2020

数下期中试高考

高等数学（下册）期中考试汇编

(2013-5-5)

一、解答下列各题（71070分）

x 1. 设uxyexyz，求dz(1,2,0)

y 2. 设曲线为rr(t)(t3,t2,t)，求它在对应于t1的点处的切线方程和法平面方程. 3. 设有球面x2y2z214，求它在(3,2,1)处的切平面方程和法线方程.

2z4. 设由方程x2y3zxyz90可确定zz(x,y)，求在P(1,2,1)处的

xy值.

2225. 设积分区域由抛物面zx2y2及平面zh0所围成。求z2dv

6. 计算二重积分I(1x2y2)d，其中D是由x2y2a2和x2y2ax及

Dx0所围在第一象限的区域.

7. 计算二重积分Idy1edx1dy221214yyx1yyedx.

yx8. 在圆锥面Rzhx2y2与zh(R0,h0)所围的锥体内作一个底面平行于xoy面的最大长方体，求此长方体的体积.

9. 在一个侧面为旋转抛物面4zx2y2的容器内装有8(cm3)的水，现注入128(cm3)的水，问水面比原来升高多少

10. 求向量值函数f的导数，其中fxcosy,yex,sin(xz).

Txyx2f二、设zfe,y，其中具有二阶连续偏导数，求xy.

122(xy)sin,x2y20三、讨论函数f(x,y)在(0,0)点是否连续，是否x2y20,x2y20可微.

四、设是由曲面za2x2y2及zx2y2a(a0)围成的空间立体，求对oz轴的转动惯量Iz.

12五、设f(t)在[0,)上连续，且满足方程f(t)1z2fxy2dv，其中

2是由不等式0zh,x2y24t2所确定，求f(t).

(2012-4-21)

一．填空题（每小题5分，共20分）

1．曲线xt2，y2t,zt上相应于y2的点处的切线方程是

y2．uzarctan在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,2,2)方向的方向导数为

x3．曲面F(x,y,z)x2xy2y3z10，在点M(2,1,6)处的切平面方程为 4．若函数f(x,y)2x2axxy22y在点(1,1)处取得极值，则常数a 二．计算下列各题（每小题9分，共分）

11sinx1）计算Idy(1ex)dx

0yx2）计算二重积分sinx2y2dxdy，D:2x2y242

y2zz3）设zxf(x,)，其中f具有连续的二阶偏导数，求和2

xxxx2y2z21被平面xyz0截得的椭圆长半轴与短半轴之长. 4）求椭球面325．在曲面axbycz1 (a0,b0,c0)上作切平面，使该切平面与三坐标面所围成的体积最大，求切点的坐标.

2D2F2F,6．设函数F(x,y)x[1yf(xy)]，其中f(u)二阶可导，① 求，② xxy22求二重积分IF(x,y)dxdy，其中D是由yx3,y1,x1围成的平面区域.

D三. (9分)(学习工科数学分析者作(1),其余作(2))

x2y2，试求f在点(1,1)处的导数与微分. 1）设有二元向量值函数f(x,y)2xy2)．设zf(x,y)，由xyxexyz0所确定，求dz 四．（11分）讨论函数f(x,y)3x2y在点(0,0)处是否连续，偏导是否存在，是否可微

2u2u五．（6分）已知uu(xy)有连续二阶偏导数，且满足22x2y2试求

xy函数u的表达式.

22(2011-4-23)

一、填空题（每小题5分共20分）

1．函数f(x,y)exlnsin(x2y)，在(,0)点处的全微分dz . 42．设u2xyz2，则u在点(2,1,1)处的方向导数的最大值为 . 1113．设有椭球面x22y2z21，则它在点(,,)处的切平面方程为

2222zxz4．设zz(x,y)由方程ln所确定，则2

xzy二．单选题（每小题5分，共20分）

xt 1．在曲线yt2的所有切线中，与平面x2yz4平行的切线（ ）

zt3 A．只有1条 B．只有2条 C．只有3条 D不存在

221 2．lim2exycos(xy)dxdy（ ）. 其中D:x2y2r2.

r0rD A． B．1/ C．1 D．1 3．设f(x,y)连续,Idx1elnx0f(x,y)dy交换积分次序后为（ ）

e1e0 A．Idy1elnx0f(x,y)dx B．Iydyf(x,y)dx

1e0e C．Ilnx0dyf(x,y)dx D．Idyyf(x,y)dx

1esin2(x2y2)22,xy022 4．函数f(x,y)xy在点(0,0)处（ ）

0,x2y20 A．无定义 B．连续 C．有极限但不连续 D．无极限

三、（10分）设函数f(u,v)可微，zz(x,y)是由方程zxyf(xz,yz)确定的可微函

zz数，求,.

xy四、（10分）讨论函数f(x,y)|xy|在(0,0)处连续性、可导性、可微性. 五、（10分）在曲面:zx22y2上求一点p(x0,y0,z0)，使它到平面:xy2z60的距离最短.

2 x 4 2xxdydxsindy. 六、（10分）计算Idxsin 1 x 2 x2y2y七、（10分）计算二重积分sinx2y2dxdy,D:2x2y242.

D八、(4分)(学习工科数学分析者作(1),其余作(2))

(1) 求向量值函数f(x,y,z)(xcosy,yex,sin(xz))T的Jacobi矩阵.

(2) 求函数zf(x,2xy,x23y)的梯度(f的偏导存在).

九. （6分）求抛物面z1x2y2的一个切平面,使得它与抛物面及圆柱(x1)2y21围成的体积最小，试写出切平面方程并求出最小体积.

(2010-5-8)

一、 填空题（每小题4分，共20分）

x1 设uxyexyz，则dz(1,2,0) . yxt32 设yt2，则它在t1所对应点处的切线方程为 . zt3 设ulnx2y2z2，则gradf(1,1,1) . 1114 设u2xyz，则u在点(2,1,1)处沿方向l,,的方向导数为 . 3335 计算(x2y)d . 2x2y2R2二、 计算题（每小题7分,共63分）

1 求曲面zx2y21在点(2,1,4)的切平面方程和法线方程.

111y2sinxy2 计算dy2dx.

1yx2zy23 设zxf2x,x，其中f具有二阶连续偏导数，求xy.

xy,x2y2024 讨论函数f(x,y)xy2在点(0,0)的偏导数及可微性.

0,x2y205 设有形状为旋转抛物面的一容器,其中心轴截面与容器的截线方程为yx2,现将长为l的细棒AB置于容器之中,试求细棒中点的最低位置(设l1). 6 (学工科数学分析者作(1),其他作(2))

12222(1)求向量值函数fsin(xy),ln(xz),在点(1,1,1)T处的导数.

y2z22z222(2)求由方程x2yz4x2z50所确定的隐函数z的二阶偏导数2.

x7 计算二重积分x2y2d，其中D{(x,y)|2xx2y24,x0,y0}.

DT8 若二元函数z(x,y)在xoy平面上的任意一个有界闭区域内存在一阶连续的偏导

zz数，且dxdy2xzx2z2dxdy，求函数z(x,y).

xxDD9 设函数f(t)在[0,)上连续，且满足方程

212f(t)e4πtfxy2dxdy,求f(t).

2x2y24t2三、 讨论题（共17分）

1.计算二元函数zf(x,y)在点P(x0,y0)处对x的偏导数fx(x0,y0)时,可以先将yy0代入f(x,y)中,再求一元函数f(x,y0)在x0处对x的导数,即

2fx(x0,y0)df(x,y0),为什么

dxxx02.试通过讨论函数f(x,y)12x28xy2y4的极值点,来说明当点(x,y)在过

M0(x0,y0)的任一直线L上变动时,二元函数f(x,y)都在M0(x0,y0)处取得极值,能否断定该函数在M0(x0,y0)处取得极值

（2009-4-26）

一、 填空题（每小题3分，共15分）

1．若函数f(x,y)2x2axxy22y在点(1,1)处取得极值，则常数a . x2z2．zln(e)，沿l{1,0}方向的方向导数 . ylt3．曲线xcost,ysint,ztan在点(0,1,1)处的切线方程是 . 24．交换二次积分的积分次序（其中f(x,y)为连续函数）

xdx01x20f(x,y)dydx122x0f(x,y)dy . 5．设M(1,1,2)是曲面zf(x,y)上的一点，若fx(1,1)3，在任一点(x,y)处有

xfx(x,y)yfy(x,y)f(x,y)，则曲面在M处的切平面方程是 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）

4xy,x2y20221. 函数f(x,y)xy在原点(0,0)间断的原因是f(x,y)（ ）

x2y200, A. 在原点无定义 B. 在原点极限存在但在原点无定义

C. 在原点极限不存在 D. 在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值 2. 函数f(x,y)2xy3x22y210在点O(0,0)处（ ）

A. 取得极大值 B. 取得极小值 C. 无极值 D. 不能判定是否取得极值

x3. 设uarctan则gradu(1,1)（ ）

y111111 A. B.  C. (,) D. (,)

2222224. 设f(u)是连续函数，平面区域D:0y1x2（ ） A. dx011x20(|x|1)，则f(x2y2)dvDf(xy)dy B. dy02211y20f(x2y2)dx

C. df(2)d D. df(2)d

0000115. 比较I1(xy)2d与I2(xy)3d的大小，其中

DDD(x,y)|(x2)2(y2)22，则（ ）

A. I1I2 B. I1I2 C. I1I2 D. I1I2 三、解答题（每小题8分，共分）

2zyz221. 设zarctanlnxy，求和.

xyxx2. 求曲面xyz2上任一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和。

11xy3. 计算二重积分dx2dy.

30x1y4. 设F(t)esinDx2y2dxdy，其中D{(x,y)|x2y2t2}，求limt2F(t). t122(xy)sin25. 讨论函数f(x,y)xy20,x2y20x2y2在原点(0,0)处的可微性.

6. 设有一物体，它是由曲面zx2y2和z8x2y2所围成，已知它在任意的点

(x,y,z)处的密度z，求此物体的质量m.

7. (学习工科数学分析者作①，学习工科数学分析者作②)

x2①求向量值函数f(x,y)xy的导数.

y2 ② 设函数zz(x,y)由方程F(x2y2,y2z2)0所确定.其中F(u,v)可微，

zzzFv0，求yx.

xy2zy8. 设zf(x,)，其中f具有二阶连续偏导数，求dz及.

xyx四、综合题（6分）

在第一卦限内作旋转抛物面z1x2y2的切平面，使得该切平面与旋转抛物面z1x2y2(x0,y0)及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点坐标. 一.解答下列各题(每小题7分,共70分)

y21. 设f(x,y)arcsin,求df(x,y).

xz2z2. 设由方程x2y3zxyz90可确定zz(x,y),求，.

x(1,2,1)xy(1,2,1)2223. 求曲面zx2y21在点(2,1,4)的切平面与法线方程. 4. 求曲线r(sint,t2,2t)在t0时的切线与法线方程。 5. 设f连续，交换积分次序6. 计算二重积分.

x2y2a211dy2y11y2f(x,y)dx.

(x2siny1)dxdy

7. 设空间立体是由抛物面zx2y2及平面zh0所围成,已知它的密度为

f(x,y,z)z2.试计算它的质量.

8. 求u2xyz2在点(2,1,1) 处的方向导数的最大值. 9. 求曲线r(acost,asint,kt)的曲率.

10.（学工科数学分析者做①，其它做②）

① 设f(x,y)(x2y2,exy)T,求Df(1,1),df(1,1)

22uvxyuv,. uu(x,y)vv(x,y) ② 设方程组 2,确定了函数和 求22xxxyuvz2zy(2)二. （8分）设zf(xy,),其中fC, 求,.

xxyxx2y22,xy022三. （8分） 设f(x,y)xy,试研究f(x,y)在(0,0)点处的连续性、可

0,x2y20微性.

四. （7分） 求曲面z1x2y2在点M0(1,1,3)的切平面与曲面zx2y2所围立体的体

积。.

五. （7分） 设函数f(x,y,z)在闭球体:x2y2z23上有连续的偏导数,且满足条

fff1,1,1， ②f(1,1,1)11。 件：①在内xyz试求函数f(x,y,z)并证明7f(x,y,z)13,(x,y,z)

2(2007年)

一、解答下列各题（每小题7分，总计70分）

1、设zf(2xy,xy)，其中f具有一阶连续偏导数，求dz.

2zy222、设zarctanlnxy，求.

xyx3、求曲面228,在M0(2,2,1)处的切平面和法线方程。

4、设f[x2y2,exy]T，求Df(1,1),df(1,1)。（求fx3y33x23y2的极值）

xzyzx2y2z265．求曲线在(1,2,1)处的切线和法平面方程。

xyz06．若f(r)为可微函数，其中rx2y2z2，计算gradf(r)。 7．在直角坐标系下，交换二次积分dx0a2axaa2x2f(x,y)dy的积分次序。（a0,f连续）。

8．设有一物体由曲面zx2y2和z8x2y2所围成，已知它在任意一点M(x,y,z)处的密度z，求此物体的质量。

9．一质量分布均匀（密度为常数）的物体由曲面zx2y2,x2y21及z0所围成，求此物体的质心坐标。

10．计算dx013xxedy。

y22z二、（8分）设zz(x,y)由方程x2y2z2yf()确定，其中f具有一阶连续

yzz偏导数，求yx.

xyx2y,(x,y)(0,0)三、（8分）设f(x,y)x2y2，试讨论f在点(0,0)处的连续性

0,(x,y)(0,0)和可微性.

四、（8分）在第一卦限内作旋转抛物面z1x2y2的切平面，使得该切平面与旋转抛物面z1x2y2(x0,y0)及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点的坐标。

五、（6分） 设f(x,y)在单位圆x2y21上有连续的一阶偏导数，且在边界上

xfxyfy1取值为零，证明：f(0,0)limdxdy，其中D为圆环域2x2y21. 2202xyD(2006年)

一、

解答下列各题（每小题7分，总计70分）

1、设zf(x,2xy,xy)，其中f具有一阶连续偏导数，求dz.

2zy2、设zf(xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求2

xx3、求曲线r(t){t,t2,3t1}上一点处与平面x2yz4平行的切平面方程。 z2、求曲面xy的平行于平面2x2yz1的切平面方程。

22225、交换二次积分的积分次序：dy024yyf(x,y)dx。

6、计算dx013xxedy

2x00y227、设f(u)是连续函数，试将dxf(x2y2)dy在极坐标系下为二次积分。

8、设函数f(x,y,z)xyzxzyxyz6，问在点M(3,4,0)处沿怎样的方向

l，f的变化率最大并求此最大变化率。

9、计算二重积分(x2y2)dxdy，其中D为x2y22x所围平面区域。

D10、（注学习工科分析基础的作（1），其余作（2）

ln22f(u)du，其中D是由直线yx,y2x与（1） 证明等式f(xy)dxdy12D双曲线xy1,xy2所围成的位于第一象限的闭域。

（2） 把正数a分成三个正数x,y,z之和，并使f(x,y,z)xy2z3取得最大值。

2z二、（8分）设zyf(xy,xy)其中f具有二阶连续偏导数，求.

xy11三、（8分）从平面薄圆板x2(y1)21的内部挖去一个园孔x2(y)2后，得

24222到一个薄板，若其上名点处的密度为x2y2，求此薄板的质量。

xy,(x,y)(0,0)22四、（7分）证明：f(x,y)xy在点(0,0)处偏导数存在但不可

0,(x,y)(0,0)微。.

五、（7分）若点M0(x0,y0,z0)是光滑曲面F(x,y,z)0上与原点距离最近的点，试证

过点M0的法线必定过坐标原点.

(2004年)

一、解答下列各题（每小题6分，总计12分）

3b1、求曲线xacost,ybsint,zct在点2a,2,6c处的切线方程.

2．将IdxR203x0f(x,y)dyRdx2RR2x20f(x,y)dy化为极坐标系中先对r后对的

二次积分。

二、解答下列各题（每小题6分，总计12分）

1．在曲线xt,y2t2,z3t2上求点，使该点处曲线的切线平行于平面8x7y4z1.

2、求曲面x3y2xzz3在点(1,1,1)处的切平面方程. 三、（8分）计算I|x2y22|dxdy，其中D:x2y23.

Dzz,. xy五、（7分） 设函数f(t,s)具有连续的一阶偏导数，而uf(xyz，xyz)，求du.

四、（7分）设z[f(x)]g(y),f(x)0，其中f,g为可微函数，求

xy2,(x,y)(0,0)六、（7分）证明：f(x,y)x2y4在点(0,0)处不连续，但存在一阶

(x,y)(0,0)0,偏导数.

x2y2z21上求距离平面3x4y12z288的最近点和最七、（9分）在椭球面96远点.

八、（9分）设yy(x),zz(x)是由方程zxf(xy)和F(x,y,z)0所确定的函数，

dz其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求.

dx九、（9分）设球体x2y2z22az(a0)中每点的质量密度与该点到坐标原点的

距离平方成反比.试求该球体的质量与质心. x2y2z2十、（9分）试求正数的值，使得曲面xyz与曲面2221在某点相切.

abc十一、（8分）设由ylnx,y0及xe所围的均匀薄板（密度1）求此薄板绕哪一条垂直于x轴的直线旋转时转动惯量最小

(2003年)

一、解答下列各题(每小题5分，总计15分)

1、设ai j，bi j 4k，ci j，求(ab)c. 2、求曲线xt,ycost,zsint在点(2216, 2 022,)处的切线方程. 22 2x x3、设f(x,y)为连续函数，交换累次积分dxf(x,y)dy的积分次序.

二、解答下列各题(每小题6分，总计12分)

1、试求平行于x轴，且过点(3,1,2)及(0,1,0)的平面方程.

2、试求曲面zez2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程.

三、(8分)设区域D由x2y21,x2y22x及y0所确定，计算二重积分

Ix2y2d.

Dxf四、(7分)设f(x,y)x(y1)arccos，求yx五、(7分)设z(1xy)x，求dz.

(0,1),fy(0,1).

六、(7分)一直线在平面:x2y0上，且和两直线l1:l2:xyz1, 141x4y1z2都相交，求该直线的方程. 2013七、(9分)求函数zx3y23xy6x3在闭域D:0x2,0y2上的最小值和

2最大值.

八、(9分)设uf(x,y,z),(x2,ey,z)0,ysinx，其中f,具有一阶连续的偏导数，

du且0，求. zdx九、(9分)计算由曲面zx2y2,y1,z0,yx2围成的曲顶柱体的体积.

x2y2z21外法线方十、(9分)求函数uxyz在点M(1,0,3)处沿椭球面2318向的方向导数.

十一、(8分)设fx(x,y)在(x0,y0)点处连续，fy(x0,y0)存在，试证f(x,y)在(x0,y0)点

222处可微.

(2002年)

一、 解答下列各题(每小题6分，共60分)

1．求向量p，使其与a{4,2,3}与b{0,1,3}都垂直，模为26，且与y轴成钝角. 2．求过点M1(1,0,1),M2(0,1,2)且垂直于平面xyz0的平面方程.

x2y1z53．一直线在xoz坐标面上，且通过原点，又垂直于直线，求321它的对称式方程.

4．设zf(x,y)，其中yy(x)由方程(x,y)0确定，而f,具有连续的一阶偏

dz0导数，且， 求. ydxcosy5．设z(lnx)，求dz.

6．求曲线xyz12xy在(1,1,1)点处的切线和法平面方程.

7．求函数zx2xyy22xy极值.

8．改变二次积分 dx f(x,y)dydx2 f(x,y)dy(a0)的积分次序，其中

ax0x0aaaf(x,y)连续.

9．计算积分 dx022xx20(x2y2)dy.

10．求函数uxyz在点M(0,0,1)处沿球面x2y2z21的外法线方向的方向导数.

z2zx二、（10分）设函数zf(xy,)，其中f(u,v)具有二阶连续的偏导数，求,.

xxyy22xy(x,y)(0,0)x2y2 三、（10分）试讨论函数f(x,y)在(0,0)处的连续性与可微

0 (x,y)(0,0)  性.

四、（10分）设半径为r的球面(S1)其球心位于定球面(S):x2y2z2a2上，试求

r的值，使得球面(S1)位于定球面(S)内部的那一部分面积取得最大值.

五、（10分）证明：抛物面zx2y21上任一点处的切平面与曲面zx2y2所围

成的立体的体积为一定值.