昌平区2018－2019学年第一学期高一年级期末质量抽测
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知集合A. 【答案】A 【解析】 【分析】
根据并集的定义写出A∪B即可．
【详解】集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{0，2，3}， 则A∪B＝{﹣1，0，2，3}． 故选：A．
【点睛】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题． 2.已知角α的终边经过点A.
B.
，那么
的值为
B.
，
,那么 C.
等于 D.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
由三角函数的定义直接可求得sina. 【详解】∵知角a的终边经过点P∴sina故选：B．
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 3.
（ ）
C. D.
，
，
A. B. 【答案】D 【解析】
..
..
试题分析：考点：诱导公式 4.已知向量A.
, 且
，那么实数的值为
B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】 根据
即可得出
，
；
，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．
【详解】∵∴∴m＝2． 故选：C．
【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算． 5.下列函数中，既是偶函数，又在区间A.
B.
C.
上为减函数的为
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，y
为反比例函数，为奇函数，不符合题意；
对于B，y＝cosx为余弦函数，在（﹣∞，0）上不是单调函数，不符合题意；
x
对于C，y＝2﹣，不是偶函数，不符合题意；
对于D，y＝|x|+1故选：D．
，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数，符合题意；
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题． 6.已知A.
B.
那么a，b，c的大小关系为 C.
D.
【答案】A 【解析】
..
..
【分析】
0.54
容易看出4＞1，log0.54＜0，0＜0.5＜1，从而可得出a，b，c的大小关系． 0.5040
【详解】∵4＞4＝1，log0.54＜log0.51＝0，0＜0.5＜0.5＝1；
∴b＜c＜a． 故选：A．
【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，以及指对函数的值域问题，属于基础题． 7.如果二次函数A.
B.
C.
有两个不同的零点，那么的取值范围为
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
由条件利用二次函数的性质可得△＝4
﹣4（
）＞0，由此求得m的范围．
﹣4（
）＞0，
2
【详解】∵二次函数y＝x+2x+（m﹣2）有两个不同的零点，∴△＝4
求得m＜-1或m>2， 故选：C．
【点睛】本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查了二次函数的性质，属于基础题． 8.为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象
A. 向左平行移动个单位 B. 向左平行移动个单位 C. 向右平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位 【答案】B 【解析】 【分析】
由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 【详解】∵将函数y＝sin（2x
）的图象向左平行移动个单位得到sin[2（x
）
]=
，
∴要得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝sin（2x故选：B．
）的图象向左平行移动个单位．
【点睛】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律的简单应用，属于基础题． 9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度
与时间
，水温
与时间
近似满足
近似满足函数的关系式为
..
..
（为常数）, 通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数
据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为
A. 35C. 25
B. 30 D. 20
【答案】C 【解析】 【分析】
由函数图象可知这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，即满足
，且过点（5，100）和点（15，60），代入解析式即可得到函数的解析式．令y=40，求出x,
即为在口感最佳时饮用需要的最少时间．
【详解】由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一个线段，当t≥5时，函数的解析式为点（5，100）和点（15，60），代入解析式，
，
有，
解得a＝5,b=20， 故函数的解析式为
，t≥5．令y=40，解得t=25,
..
..
∴最少需要的时间为25min． 故选C.
【点睛】本题考查了求解析式的问题，将函数图象上的点的坐标代入即可得到函数的解析式，考查了指数的运算，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.
10.已知集合【答案】【解析】 【分析】
直接由交集的定义求得结果. 【详解】∴A∩B＝故答案为
，． ．
,
，
, 则
__________.
【点睛】考查描述法表示集合的概念，以及交集的运算，属于基础题． 11.【答案】5 【解析】 【分析】
根据对数与指数的运算性质直接得到结果. 【详解】故答案为5.
【点睛】本题考查了指数运算法则及对数的运算性质，属于基础题， 12.已知向量【答案】 【解析】
【详解】∵||＝1，||＝1，向量与的夹角为∴故答案为.
【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属于基础题．
， ，∴
，
，向量与的夹角为
, 那么
__________.
.
__________.（用数字作答）
..
..
13.已知函数的图象如图所示，那么函数 __________,__________.
【答案】 (1). 2 (2). 【解析】 【分析】
根据周期求出ω，根据五点法作图求出φ，从而求得函数的解析式． 【详解】由题意可得T再由五点法作图可得2故答案为(1). 2 (2). ．
【点睛】本题主要考查利用y＝Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题． 14.已知函数
在
上存在零点，且满足
,则函数
的一个解析式为 __________.（只需
•
＝，解得
，解得ω＝2． ，
写出一个即可） 【答案】【解析】 【分析】
2
根据f（﹣2）•f（2）＞0便可想到f（x）可能为偶函数，从而想到f（x）＝x，x＝0是该函数的零点，在（﹣2
2，2）内，从而可写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x．
（不是唯一解）
【详解】根据f（﹣2）•f（2）＞0可考虑f（x）是偶函数； ∴想到f（x）＝x，并且该函数在（﹣2，2）上存在零点；
2
∴写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x． 2
故答案为：f（x）＝x．
2
..
..
【点睛】考查函数零点的定义及求法，属于基础题． 15.已知函数（1）当（2）若
是定义在上的奇函数，当时，
__________；
时，
，其中
．
的值域是，则的取值范围为__________.
(2). （﹣∞，-2]∪[2，+∞）．
【答案】 (1). 【解析】 【分析】
①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；
②由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的值域，结合判别式与对称轴满足的条件列出不等式，解不等式即可得到所求范围． 【详解】①当
时，
，函数f（x）是定义在R上的奇函数，
f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1﹣2+3）＝﹣2；
②由f（x）的图象关于原点对称，可得f（0）=0，又当x＞0时，f（x）的对称轴为x=a, 所以若f（x）的值域是R， 则当x＞0时，f（x）＝
，或
解得a≥2或a≤-2，
即a的取值范围是（﹣∞，-2]∪[2，+∞）． 故答案为：【答题空1】
；【答题空2】（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．
必须满足： ，
【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属于难题．
三、解答题（共5个小题，共70分）
16.已知是第二象限角，且（1）求（2）求
的值； 的值． ；（2）
．
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）直接由（2）由
.
，再由二倍角公式计算
，解得
.
即可.
可得
【详解】（1）由
..
..
（2）由（1）可得，所以
.
【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系、两角和的正切公式及二倍角公式，熟练掌握基本关系是解决本题的关键，属于基础题． 17.已知函数（1）求函数（2）求函数(3)求函数
的最小正周期； 的单调递减区间； 在区间
上的最小值．
；（3）
【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】 （1）化简（2）由题意知
（3）由（2）知f（x）在区间值． 【详解】（1）所以函数
的最小正周期是
.
，由周期公式计算周期即可.
解得x的范围即得
上单调递增，在
单调递减区间.
上单调递减，即可求f（x）在区间[0，]上的最小
（2）由题意知故所以函数
单调递减区间为
.
上单调递增，在.
上单调递减，
（3）由（2）知f（x）在区间故f（x）在
时取得最小值为
【点睛】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
..
..
18.已知函数（1）求函数的（2）判断函数（3）若函数【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）由
定义域；
.
的奇偶性，并用定义证明你的结论； ，求实数的取值范围. ；（2）见解析；（3）
，求得x的范围，可得函数的定义域；
（2）根据函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数； （3）由f（x）【详解】（1）由所以 （2）函数
, 故函数是奇函数.
0，利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集．
解得的定义域是
.
由（1）知定义域关于原点对称. 因为
所以函数(3) 由得解得
.
是奇函数. 可得
. ，
【点睛】本题考查了函数的定义域、奇偶性问题，考查了对数函数单调性的应用，考查转化思想，是一道中档题．
19.为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下： 小明阅读“经典名著”的阅读量下表所示； t 阅读“古诗词”的阅读量
（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图1所示的关系. 0 0 10 2700 20 5200 30 7500 （单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如
..
..
（1）请分别写出函数和的解析式；
（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 =（1）设f（t）解得k,再令解析式；
（2）由题意知每天的阅读量为最大值，比较可得结论.
【详解】（1）因为f（0）=0，所以可设f（t）=所以
,又令
＝kt，
代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.
＝mt+b，
. ，
,代
=
，分
和
两种情况，分别求得
代入（10，2700）与（30，7500），解得a与b. 令
＝mt+b，
＝kt，
,代入（40，8000），
和
的
,代入（40，8000），（60，11000），解得m，b的值．即可得到
,代入（40，8000），解得k=200,令
入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以 （2）设小明对“经典名著”的阅读时间为① 当==所以当当h=因为
，
的对称轴方程为
时，时，
， 是增函数，
时，
，即 ，
有最大值13600．
时，
时，
，则对“古诗词”的阅读时间为
，即
所以 当所以 当
有最大值为13200.
..
..
因为 13600>13200， 所以阅读总字数间为20分钟．
【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档． 20.已知函数① 函数② 函数
在在
的定义域为，对于给定的上是单调函数； 上的值域是，
，则称
是函数
的级“理想区间”. ，若存在
，使得函数
满足：
的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时
(1)判断函数直接写出结果） (2) 证明：函数(3)设函数
是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需
存在3级“理想区间”；（ ，
，若函数
）
存在级“理想区间”，求的值. 或
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】 【分析】
(1)直接由“理想区间”的定义判断即可. (2)由题意结合函数设
(3)根据函数进而转化为即可.
【详解】(1) 函数间”. (2)设函数因为函数所以设可知，
由零点存在定理知，存在设
，
的单调性得
，即方程有两个不等实根.
存在3级“理想区间” 在
上有两个不等实根
，由零点存在定理知
在在
有零点，，所以方程组有解，即函数
，转化为方程、
上为单调递增得到至少有一个实根.分
三种情况，分别求得满足条件的k
存在1级“理想区间”，“理想区间”是[0,1]；不存在1级“理想区
存在3级“理想区间”，则存在区间在R上单调递增， ，即方程，
，
，
，，使
有两个不等实根.
，使的值域是.
，
，
.
，所以方程组有解，即函数存在级“理想区间”，则存在区间
存在3级“理想区间”. ，函数
的值域是
.
(3)若函数
..
..
因为，任取 ，且，
有因为所以 所以 函数
，所以，即在
，
，
，
上为单调递增函数.
所以 即显然 （1）当（2）当（3）
，于是方程在
在上有两个不等实根.
上有两个不等实根.
在
至少有一个实根.
是方程的一个解，所以 时，
，不合题意，舍；
时，方程无实根，舍； 时，
,
所以 所以
，解出，又因为
. ，所以
或
.
【点睛】本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义中的题意与要求，转化为解题的条件与结论，属于难题．
..
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容