向量的数乘运算及几何意义教学设计(郭会芹)

霸州四中 郭会芹

版本：人教A版必修四第一章第二节

题目：《向量的数乘运算及几何意义》 课型：新知教学课 课时：一课时 一、 教学目标：

知识目标：1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义；

2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律； 3．会综合运用向量的加法，减法和数乘运算解决问题。

能力目标：通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊

到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神。

二、 目标分析

可行性分析：学生已学习了向量的加法和减法及其几何意义，在此基础上能够较好地理解

并掌握向量的数乘运算及其几何意义。学生能由实数运算律类比向量运算律，从而加深对后者的理解及运用；

准确性分析：学生在掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大

困难。通过前面学习两个向量的运算，进一步转化为数与向量的联系，是后面学习平面向量基本定理的基础。

弹性分析： 所授课班级为普通班，学生基础参差不齐，所以在授课过程中，要根据学生的

接受情况侧重数乘运算的定义及运算律的应用，调整练习量与习题的难易程度。

三、 教学过程 程序 教为学服务的互动过程 学习目标与成果 预 习 认 标 1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义； 2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律； 3．会综合运用向量的加法，减法和数乘运算解决问题。 学生在预习的基预设问题： 1.知识点的总结不够全面； 2.重点不够突出，难点把握不准； 解决方案： 根据学生存在的问题，补充完善，并明确具体的学习目标； 础上建立对知识的初步印象，有目的解决发现的问题 复习 引入 1.复习向量的加法和减法 2.已知非零向量a，作出aaa和(a)(a)(a) 你能说出他们的几何意义吗？ 问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？ 问题2：这些变化与哪些因素有关？ 学生在白纸上作出图像，并讨论两个问题。最后学生之间互相交流，总结结论。 学生通过作图，以及观察、思考，让学生对向量的数乘有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识3a与a方向相同且3a3a； 3a与a方向相反且3a3a 预设问题： 1.学生对向量的加法和相反向量掌握的不够牢固，在作图时有可能存在问题； 2.学生分析问题时不能从向量的大小和方向两个角度考虑。 解决方法： 1.在作图前先引导学生复习向量的加法和减法。

观 察 学 习 2.引导学生从向量的大小和方向两个方面考虑所作向量与a的关系同时通过多媒体展示 作好铺垫。 请大家根据上述问题作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？学生思考并作答 实数与向量的积的定义： 通过引出向量的归 纳 一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法 总 结 它的长度与方向规定如下： （1）|a||||a|； （2）当0时，a的方向与a的方向相同； 当0时，a的方向与a的方向相反； 当0 时，a0． 预设问题： 1.学生忽略数乘向量在方向和长度两个方面与原向量的联系。 2.学生对 的取值讨论的不够全面（忽略况）。 解决方法： 0的情小组充分讨论后由学生作答，其他学生点评补充。 通过本例题学生进一步加深对向量的数乘运算的理解 例 题 预设问题： 分 析 1.学生对题目的要求理解的不到位。2.忽略两个向量的方向关系。 解决方案： 1.让学生思考后在黑板上讲解，其他学生补充。

提问：运算律可以有效地简化运算， 实数运算律都有哪些？ 学生回答：结合律，分配律 提问：类比数的乘法的运算律，你能说出数乘的运算律吗？ 实数与向量的积的运算律： （1）(a)()a（结合律）； （2）()aaa（第一分配律）； 类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律。 （a+b）=ab（第二分配律）（3）． 预设问题： 1. 1.学生由于基础较差可能对实数的运算律掌握的不太好 无法完成数乘向量的运算律的类比推导。 2.学生对运算律理解不够深入。 解决方法： 师生共同证明第一个运算律，其他证明留作课下研究。再通过例题讲解，转化练习使学生加深对运算律的理解与运用。 例 题 分 析 例2 计算 1 -34a 2　3a+b2ab预设问题： 1.学生对向量数乘的运算律应用起来不熟练。 2.学生书写向量时丢掉箭头。 解决方案： 1. 教师通过在黑板上板演一个题，提示用到的运算律，强调需要注意的问题。 通过例2使学生加深对数乘向量运算律的理解并体会如何应用数乘运算律。

转 化 练 习 1. 1 53a-2b42b3a 11 2　a2b3a2b4 3进一步巩固向量 3　xya-xya数乘的运算律 预设问题： 1.学生书写向量时丢掉箭头。 解决方案： 1.学生在黑板上板演，其他学生纠错、点评； 2.学生板演，学生点评，教师对做对学生表扬和鼓励。  例3.如图，ABCD的两条对角线相交于点M，且ABa,ADb，你能用a,b表示AC,AM,CM吗？ 学生思考并作答。 预设问题： 1.学生在综合运用向量的加法，减法和数乘运算时不能融会贯通，无从下手。忽略所求向量的方向问题。 解决方案： 1.给定时间，学生思考。 2.可以由基础较好的学生说思路，其他学生再计算； 3.小组讨论后由学生发言，其他学生再完善补充. 使学生明确向量的加、减、数乘等向量的运算综合运用.

测 评 调 控 1. 已知非零向量a, b满足a A ab 4b，则（ ） 巩固本节课所学内容。 B 4a b C a和b的方向相同 D a与 b的方向相反 2. 3（2a4b） 3.已知点C在线段AB上，且AC5，则CB2 AC AB BC AB 预设问题： 1.学生对向量数乘的几何意义理解不到位有可能导致第一题和第三题出错。第二题运算律的应用没有问题。 解决方案： 学生小组内共同协作完成，对模糊的地方可以进行讨论分析，找出最后答案。 梳 理 反 思 ⒈这节课主要学习了什么？ 2.向量数乘的运算律是什么？ 3.在做题时应注意哪些问题？ 帮助学生进一步理清思路，巩固本节课所学内容。