换元法在数学解题中的应用

换元法在数学解题中的应用

摘 要

换元法通过引入新的变量，将题目移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准

题目标准化，繁琐题目简单化，变得容易解决.因此换元法是数学解题中一种十分重要而且应用非常广泛的思想方法.本文研究了换元法在代数式、因式分解、方程、函数、证明和微积分方面的应用及解题技巧，并且给出了一些典型例子.用换元法解数学题有助于培养学生灵活解决数学问题的能力，把理论知识和实际应用结合起来，培养人的数学思维品格,提高解题效率.

关键字：换元法;构造新元;标准化;应用

Application of the Method of Exchange Element Method in Solving

Mathematics Problem

Abstract: The method of substitution put the topic into the background in the new object to study by introducing a new variable, so that the non-standard topics of standardization, simplification complicated topic, become easier to solve. Therefore the method of substitution is a very important and widely used method of thinking in mathematical problem solving. This paper will give a simple analysis about the basic concepts of substitution method, theoretical basis, and the basic principles of using the method of substitution. And it also discussed about the using of the method of substitution in Algebraic expressions, factorization, equations, functions, proven and calculus and gives some typical examples. This paper’s content will help for training the problem-solving skills in the mathematics, just like how to transform the higher degree into the low degree, the fraction into the integral expression, the irrational formula into the rational expression, and the transcendental expression into the algebraic expression. And this paper’s skills help solve complex and complicated mathematical problems.

Key words: method of substitution; structures; standardization; application

目 录

1 引言 ................................................................. 1 2 文献综述 ............................................................. 1 2.1 国内外研究现状 ....................................................... 1 2.2 国内外研究现状评价 ................................................... 2 2.3 提出问题 ............................................................. 2 3 预备知识 ............................................................. 2 3.1 换元法的基本概念 ..................................................... 3 3.2 换元法的理论依据 ..................................................... 3 3.3 换元法的两种基本类型 ................................................. 3 4 换元法在数学解题中的应用 ............................................. 3 4.1 换元法在代数方面的应用 ............................................... 4 4.1.1换元法在计算中的应用 ................................ 错误!未定义书签。 4.1.2换元法在因式分解中的应用 ............................................ 5 4.1.3换元法在解方程中的应用 .............................................. 6 4.1.4换元法在函数中的应用 ............................................... 10 4.1.5 换元法在证明中的应用 ............................................... 14 4.2 换元法在微积分中的应用 ............................................. 16 4.2.1 换元法在微分中的应用 ............................................... 16 4.2.2 换元法在积分中的应用 ............................................... 17 5 结论 ............................................................... 21 5.1 主要发现 ............................................ 错误!未定义书签。 5.2 启示 ............................................................... 21 5.3 局限性 ............................................................. 21 5.4 努力方向 ........................................................... 21 参考文献 ........................................................... 22

1引言

在数学学习过程中，我们往往会遇到各种棘手的数学题，这些数学题形式多种多样，涉及到的知识面广泛，题型新颖. 它们或是非标准形式，或是超越式，或是高次式，或是无理式等.碰到这些数学题时我们该如何解决呢？这时，数学思想方法就能发挥用武之地了，数学思想是数学的精髓所在，是理论知识和实践应用之间的桥梁，它包括化归思想，数形结合思想，分类讨论思想，转换思想等.换元法作为数学思想方法的成员之一，具有杰出的沟通转化作用.换元法的实质是转换，目的是变更研究对象，把还没有解决的题目转化为已经解决的问题去研究.使用换元法须要一些换元技巧，使用得当能给人一种“柳暗花明”的感觉，通过换元，可以把生疏的题目转化为我们熟悉的题目，把繁琐题目转化为简单题目，从而达到解决问题的目的.使用换元法解题能培养人的数学思维品格，逻辑思维能力和灵活运用所学的基础知识解决数学问题的能力，把理论知识和实际运用结合起来.

2 文献综述

2.1国内外研究现状

现查阅到的参考文献中，对换元法在数学中的解题技巧做出了探讨.刘志国在[1]中主要介绍了换元法的基本概念，理论依据，适用范围及应用规律等，并通过大量实例说明了应用换元法解题的一般思绪.陈颖在［2]中主要介绍了有关换元法的基本知识及换元法在代数，几何，三角三个方面的应用.牛继武等人在[3]中从因式分解的理论，方法和应用三个方面，并且对一般的因式，数域，公因式等的定义没有另行叙述而直接采用，对于有关的定理都尽量给出了证明.翟连林，汪祖亨在[4]介绍了各种数学解题方法的同时强调了定向思维，提出了在数学解题中如何巧妙运用参数进行灵活变换的策略.刘俊，付本路，姚玉平在[5]中把数学方法分为直接方法，一般方法，数学思想方法三类，且对每种方法的特点，应用，注意事项进行条理化的说明，实现了数学知识与解题方法的有机结合.朱成杰在［6]中力图对换元法及其在中学数学中的应用进行一个比较系换元法在各方面的应用，最后简要的介绍换元法的推广---辅助函数法.方昌武，汪祖亨在文献[7]中介绍了各种各样的解题方法，并通过丰富的例题总结出一套科学求解的思考方法，这些方法是进一步学习数学不可缺少的工具.杨象富，赵伟祥在[8]中比较全面，系

1

统地介绍了初等数学里两类基本的换元法和其他常用代换法，让读者较好的掌握代换的技能技巧，提高解题能力，培养学习兴趣.王岳庭在[9]中列举了换元法在解方程，证明，不等式以及其他方面的应用，并用典型例题加以验证.周军高在[10]中浅谈了局部换元，整体换元，配偶换元等换元策略.王寿生，李云珠，张肇炽在[11]中舍弃了微积分教程中常规内容的复习提要和大量常见习题，突出解题方法和技巧这一主题，并以方法为中心系统的进行概括和总结，列举大量例题.现行的高等数学分析讲义中，对用换元法求微积分进行了表述，且范例较多,参见文献[12].马訾伟，闫晓红在[14]中对微积分的知识进行归纳，梳理了重难点，准确解答了微积分习题.李颖，郭颖在文献[15]中通过对现行高等数学课本中定积分换元法的表述做出分析，认为有些表述对替换函数的限定前提过于严格，并以例题加以说明.

2.2国内外研究现状评价

现所查阅的文献［1—15］中对换元法都有不同层次的研究，并且提供了大量换元的思想方法和换元法在解题中的应用，从换元法的定义到应用都比较注重发展学生的逻辑思维能力和灵活运用所学的基础知识解决数学问题的能力.但是由于这些文献中对换元法的研究比较片面，呈现换元法的地方相对分散，换元的种类又多种多样，使人难见其貌，不易掌握，并且对如何构造元和设元，进行等量代换，从而变更研究对象，将题目移至新对象的知识背景中去探讨，从而使非标准题目标准化等问题没有进行深入研究.因此往往在解题过程中因为对换元法的不熟悉或对辅助元的选取不恰当把题解错.这也使在应用换元法解题时容易碰到阻碍.

2.3提出问题

数学解题的方法多种多样，换元法在数学解题中的应用很普遍.以上文献对换元法在各方面的应用都列举了例子.本文探讨了换元法在数学解题中的应用，如换元法在函数、方程、微积分等方面的应用，并且运用典型的例子对换元技巧作出总结，且对查阅到的文献进行研究后总结了换元法在多方面的应用，除对换元法进行简单的阐述外，还对换元条件，换元技巧都作出了探讨.

3 预备知识

用换元法解数学题的前提是掌握必要的预备知识，如换元法的基本概念，理论依据，以及常用的换元类型等.这些知识便于我们在解决数学题时能熟练运用换元技巧，巧解数

2

学题.

3.1换元法的基本概念

我们把表示未知数（未知量）或变数（变量）的字母称为元.

通常我们在解决一个较为复杂繁琐的数学题目时，若是用新的未知量或变量替换原本的未知量或变量，求出新的未知量或变量后，再利用替换关系式求出原本的未知量或变量的方法，叫做辅助元素法，简称换元法.当中新的未知量或变量叫做辅助元素，简称辅助元.

3.2换元法的理论依据

因为换元法的实质是进行未知量或变量替换，这就决定了使用换元法的关键在于确定未知量或变量的替换关系式.替换关系式是一个等式，用替换关系式把原本的未知量或变量转换为新的未知量或变量的依据是“等量代换”，求出新的未知量或变量后，再运用替换关系式求出原本的未知量或变量的依据也是“等量代换”.是以，换元法的理论依据是“等量代换”.

3.3换元法的两种基本类型

换元法是常用的数学解题方法，其应用具有一定的解题模式，在基本的模式上进行变换就能解决较为复杂的数学问题了，使用换元法时需谨记万变不离其宗.

1.设F(x)是一个比较复杂繁琐的关系式，如果可以以(x)为中间变量把F(x)表示为一个复合函数，则可设(x)t，因此 F(x)G[(x)]G(t).

如若G(t)比F(x)容易解决，这里的换元就起了化繁为简的作用. 2.设F(x)是一个比较复杂的关系式，设x(t)，因此 F(x)G[(x)]M(t).

只需M(t)比较容易解决，照样能起到化难为易的作用.

4换元法在数学解题中的应用

换元法是数学解题中一种常见的解题方法，我们在解决数学问题时，往往会遇到一

3

些复杂繁琐的数学或式子，这些式子没有规律不易解决，这时，我们就需要找一个中间变量进行代换，把它转换到熟知的背景中去解决，这种解决问题的方式叫做换元法，它的一般步骤是：构造新元 求解 代回 .换元法使用得当可把待研究的问题转化为已经研究过并已解决过的问题.使问题化难为易，化繁为简，化生为熟，给人呈现一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉.换元法在数、式、方程、不等式证明、函数、微积分等方面都有普遍的作用.

4.1换元法在代数方面的应用

换元法在代数方面的应用主要是指在计算、因式分解、解方程以及证明等的应用.换元法在把高次化为低次，把分式化为整式，把无理式化为有理式等方面常常碰到，在应用时要依照其原则，即有利于标准化，有利于计算的原则.换元要注意新未知量的取值范围，比定要使新未知量对应于原未知量的取值范围，不能缩小也不能扩大，不然用换元法算出的结果错误，换元法也就失去了意义. 4.1.1换元法在计算中的应用

在计算时，当式子中出现较大的数字或根号时，因为数字太大，计算中会出现各种各样的问题，因此很多学生会毫不犹豫地选择用机器代替大脑，用计算器进行计算.其实只要仔细观察这些数字的特点，然后用适当的元替换这些数字，便可以化繁为简，这时再来计算就简单多了.

例1 求1888188518821879(18881885)2(18821879)2的值.

分析：此题中数字较大，运算也相当繁琐，而且含有根号，如果直接计算，计算量较大，因此可以考虑先化简在计算.观察可知前三项的平均数为1885，不妨设1885x，于是

解：设1885x，则原式

(x3)x(x3)(x6)3232[x(x3)][(x3)(x6)]81(x23x)(x23x18)81(x23x)218(x23x)92(x23x9)22 x3x9.

4

把x1885代入原式，则

1885231885935532255655935475709 3547561.

评注：通过换元可以化繁为简，省去了大量的计算.当我们把原式化简到

(x23x)(x23x18)81时，我们可观察到式子中含有一个相同的量x23x，这时我们也可以设x23xt，然后进行二次换元，换元原理和以上相同.在以后的解题中，若遇到类似的问题，数字较大、含有根号，首先要考虑的便是换元法，根据数字的特点适当的换元，使问题简单化. 4.1.2换元法在因式分解中的应用

在因式分解中，通常代数式比较复杂繁琐，若代数式中有几个式子是重复出现的，应用换元思想可以把重复出现的式子定为辅助元，把代数式构造成常用的因式分解公式，如此再来分解因式就简单多了. 常用的因式分解公式：

a2b2(ab)(ab),

a22abb2(ab)2,a3ab3abb(ab),a3b3(ab)(a2abb2).32233

在应用以上基本公式时，需要注意的是，公式中的某个字母在题目中不会简单地以这个字母的形式表现出来，它可能是一个多项式，也可能是一个很复杂的式子.这样就可以根据换元法的思想，尽可能地把公式的使用范围扩大，以便解题.

因式分解中常常用到变量替换，一个比较复杂的多项式可以利用变量替换化成常用基本类型去分解，这正是换元法的意义所在.我将从以下例子进行说明 例 2 分解因式(1a2b22a)2(4b4ab)(1a2b22a).

分析：该题中含有较为复杂的多项式，并且不能用基本公式进行分解，因此可以考虑变量替换，但是观察此题可发现，没有合适的变量进行替换，这就需要先将式子拆开，再来寻找合适的变量进行替换.

解：原式[(1a)2b2]24b(1a)[(1a)2b2]

5

(1a)42(1a)2b2b44b(1a)34b3(1a)(1a)4b(1a)2b(1a)4b(1a)b.432234

设1ax,by 代入上式得

x44x3y2x2y4xy3y4(x4y4)4(x3yxy3)2x2y2x2y2xyxy[(22)4()2]yxyxxyxy x2y2[()224()2]

yxyxxyxyx2y2[()24()4]yxyxxyx2y2(2)2yx22(x2y22xy)2.原式[(1a)b2(1a)b](ab2a2b2ab1)

222222评注：此类型的题目如果能找到合适的变量进行替换的，可以直接用换元法.不能找到合适变量的需先将式子拆开，再寻找合适的变量.此类型题目中的变量通常是一个式子，解此种类型的题涉及了，拆项，换元，配方等步骤，难点是如何将换元后的式子进行配方，使其变成常用的基本公式，之后再求解. 4.1.3换元法在解方程中的应用

在解方程或方程组时，往往会遇到一些比较特殊的方程，如分式方程，高次方程，无理方程等.这就需要借助辅助元进行转化，把分式化为整式，高次化为低次，无理化为有理，先求出转化后的方程的解，再来求原方程的解. 1.用换元法求解分式方程

用换元法求解分式方程是用辅助元进行等量替换，将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程的求解步骤求解.

4x22xx26230. 例3 解方程2x62xx2x2xx26 分析：注意到方程左边两个分式中所含的式子2与2互为倒数，若设

2xxx66

2x2xx261=y,则2，于是原方程可化为关于y的一元二次方程来求解.

2xxyx262x2xx261y, 则2解：设2.x62xxy

于是原方程可变为

2y130. y去分母，得

2y23y10.

解得

1y11,y2.

22x2x1,去分母并整理得 当y1时，即2x6x2x60.x12,x23.

12x2x1,去分母整理得 当y时，即22x623x22x60.119119解得x3,x4.33

检验：把x12,x23，x3都是原方程的根.

119119,x4分别代入方程当中检验，它们33 评注：该类题中的方程含有倒数关系，因此可以用倒数换元法，将其换为形如

af（x)bc0的形式，若设其替换关系式为yf(x)，则原方程可化为关于y的f(x)一元二次方程ay2cyb0,求出y后，还需要代回替换关系式，以便求出原方程的解.

7

2.用换元法求解二元二次方程组

在用换元法解二元二次方程组时，需要根据方程组的特征设两个辅助元，把二元二次方程转化为一元二次方程，然后根据韦达定理求出辅助元的解，之后把辅助元的解代入替换关系式，并可求出原方程的解.在构成方程组的方程里，有些含未知数的代数式呈对称性，抓住这一特点可使方程组简化，这种换元称对称换元5.对称方程组的解法和韦达定理有着密切的关系，中学课本里已经介绍过关于一元二次方程的韦达定理. 设一元二次方程组x2pxq0的两个根是x1,x2，那么

x1x2p .

xxq1222xyxy18. 例4 解方程组22xyxy19 分析：由于方程组中x2y2(xy)22xy，故可设其相同的整体xym,xyn,于是方程组可化为关于m,n的简单二元二次方程组来求解.

2(xy)(xy)2xy18 解：原方程组变为2xy(xy)2xy19.

设xym,xyn，则原方程变为

2 mm2n18 （1）

m2n19. （2） 由（2）得

nm219. (3) 把（3）代入（1）得

m2m200. 解得m15,m24.

把m15,m24分别代入（3）得

n16,n23.

8

所以

m15m24,.n6n23 1

把这两组解分别代入替换关系式，得

xy5xy4,. xy6xy3 解这两个方程组，得原方程组的解为

x12x23x327x427,,,. y3y212y427y327

评注：此方程是对称方程组，需设两个辅助元来分别替换两个变量，把方程化繁为简，化难为易.根据韦达定理先求出辅助元的解，再来求原方程组的解. 3.用换元法求解无理方程

有关根式的许多问题，常常转化为有理式来解，根式的有理化有很很多方法，换元法就是其中一种重要的方法.他的思路是把一些较复杂的根式通过换元转化为有理式，在进行求解.值得一提的是，我们在解这种一元方程时，通过设两个辅助未知数，将一个难解的方程转化为一个比较容易解的方程组，从而使问题得解.这种貌似化简为繁的方法，实际上收到了变难为易的效果.这样的处理技巧充分体现了换元法具有灵活多变的特点.

例5 解方程x25x1x2x13x1.

分析：本例若用两边平方的方法化去根号，将出现x的四次方程，不易求解

由于(x25x1)(x2x1)6x22(3x1)，若设x25x1u,x2x1v,则原

方程变为

22 uv3x1,且有uv2(3x1).

解关于u,v的二元二次方程组，得uf(x),vg(x).从而可求原方程的解. 解：设x25x1u,x2x1v,则有

uv3x1 22

uv2(3x1).9

因为3x10(使3x10的x值不是原方程的根)， 所以两式相除得uv2.

uv3x1解得

uv2 u13(3x1),v(x1). 2213由x25x1(3x1),x2x1(x1)，均有

22 5x214x50.

解得

x1726726,x255

726时，u0,v0,所以x1是原方程的根. 当x15 当x2726时，u0,v0,所以x2是原方程的增根. 57265

因此原方程的根是x

评注：对形如f(x)g(x)m(x)的方程(m(x)的次数低于f(x)和g(x)

的次数），当f(x)g(x)与m(x)之比为常数时，若设f(x)u,g(x)v,则原方程可化

为关于u,v的二元二次方程组来求解，虽然分别利用求出u,v来求x值，其结果总是一致的，但切不可因此只求出u(或v),否则将会由于忽略v(或u)为非负数的条件而导致解题不严密的错误. 4.1.4换元法在函数中的应用

函数是数学学习中一个重要的知识点，也是一个难点,这就意味着求函数的解析式，定义域，值域也成为一个难点.用换元法求解函数是一个行之有效的途径，通过换元使问题变得简单明了，显而易见.

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1.求函数解析式

利用换元法解函数方程的基本思想是先进行变量替换，从而得到一个新的函数方程，把新得到的函数方程与原函数方程连列，构成一个未知函数的代数方程，用换元法求函数解析式，要将中间函数换元，逐渐分解，要特别注意换元后变量的取值范围，这将是函数解析式的取值范围.

例6 已知f(x1)x2x,求f(x)的解析式.

分析：这是一个复合函数，要想求f(x)，需找出一个中间函数，以便设置中间变量，从外层到里层逐步分解，直到最后一层是一个基本初等函数为止. 解：设x1t,则x(t1)2,且t1 把x用含t的式子代换，有 把t换成x,则

f(x)x24x3 (x1) 所以f(x)的解析式是f(x)x24x3 (x1)

评注：对于这种f(g(x))的复合函数，往往需设g(x)t，借助t这个中间变量求出

f(x)的解析式.

f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t24t3(t1)

2.求函数的定义域

一个多元函数一般有好几个中间函数，因而可设好几个中间变量.只要分别求出中间函数的定义域与中间变量的允许值所对应的自变量的取值范围，其交集就是所求函数的定义域.

例7 求函数ylog3[log3(log3x)]的定义域.

分析：这个函数的形式形如叠罗汉一样，看起来眼花缭乱，令人无从下手，这是一个三元函数，有两个中间函数，因而可设两个中间变量. 解：设log3(log3x)u，则

ylog3[log3(log3x)]log3u.

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由对数函数的定义域，得u0,即

log3(log3x)0. （1） 再设log3xv,则log3(log3x)log3v. 由对数函数的定义域，得v0，即

log3x0. （2） 又由log3(log3x)0,得log3x1. 由（1）得x3，由（2）得x1.

(3,)(1,)(3,). 故函数ylog3[log3(log3x)]的定义域是x3.

评注：对于对数函数来说，想要求他的定义域需要掌握对数函数的性质，抽丝剥茧一层一层来，谨记复合函数的定义域是中间函数的定义域之交集. 3.求函数的值域

用换元法求函数的值域是通过引入新变量（辅助式，辅助函数等）以完成把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的达到的结论结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化起来的目标，之后就可以利用各种各样基本的求函数值域方法来解决问题.某些函数可以利用代数或三角代换将其化为容易确定值域的另一函数，从而得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.形如yaxbcxd(a,b,c,d均为常数，

t2d且a0），可以令tcxd(t0)，则有tcxd,所以x

c2t2dyabt,从而就把原函数化成了关于t的二次函数，求出这个函数值域就是原

c函数值域，要注意t的取值范围. （1）代数代换

用换元法求函数值域，应根据已知函数的结构特征作适当的变量替换，并由已知函数的定义域确定出辅助元的取值范围，在对新函数作适当变形，以便利用一元二次方程

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的根的判别式，或二次函数的性质求出已知函数的值域 例8 求函数y3x13x的值域.

分析：函数y3x13x形如yaxbcxd（a,b,c,d均为常数，且a0）.因此，可以考虑用换元法.

解：设t13x(t0),则t213x. 所以

1t2. x3原函数可化为

1t2tt2t1. y33

即

15 y(t)2.

24由其函数图像可知 当t11 时，即x时，y取得最大值 24 ymax无最小值

5 4.

5所以函数y3x13x 的值域为(,].

4 评注：通过换元法引入新的辅助式将原函数转化为常见的一元二次函数，画出一元二次函数的图像便可求得原函数的值域，绘图像时须注意函数的定义域. （2）三角代换

三角代换的实质是把平面[x,f(x)]上的问题映射到平面[a,f(a)]上来研究.因此我们需要掌握三角函数中的种种知识和技能，以便我们熟练灵活的进行三角代换. 例9 求函数yx1x2的值域.

13

分析：函数yx1x2的定义域为[1,1]，我们注意到1sint1(因此，对于定义域为[1,1]的函数，我们可以考虑用xsint(解：函数yx1x2 的定义域为[1,1] 设xsint(2t2.

)2t2

)进行代换.

2t).2

则原函数 yx1x2可化为

ysintcost2sin(t).

4

因为

所以

2t2 3. 4. 4由y2sin(t)的图像可知

4t4 12sin(t)2(t).

422所以

1y2. 即原函数的值域为[1,2].

评注：利用三角代换求函数的值域，要设法将其变为yAsinmxk

或yAcos(mx)k(A,m,,k均为常数)的形式，然后借助正弦，余弦函数图像便可求

出已知函数的值域.但应注意，换元前后自变量容许值的范围应呼应一致. 4.1.5 换元法在证明中的应用

对于不等量问题，使用合理的换元，可以创造条件使问题化繁为简.在证明某些不等式时，通过换元以后容易看出不等式中各个量之间的关系，从而容易产生联想，可以比较快的想到解题方法，或者把证明的过程简化.用换元法来证明不等式即是要按照式子的构造特性，选择恰当的变量代换，化繁为简，其本质便是转化.下面我将从用换元法证明不等式进行探究.

14

例10 设a,b,cR,求证abc(bca)(cab)(abc).

分析；通过观察可发现，把a,b,c中两两字母互换，不等式不变，由此可说明这是一个对称不等式，如若我们令xbca,ycab,zabc则原不等式可化为：

(xy)(yz)(zx)8xyz.

证明：令xbca,ycab,zabc则

2ayz(cab)(abc).

即a1(yz). 2同理可得

11b(xz),c(xy).

22

因为a,b,cR,所以当xyz0时，有

(xy)(yz)(zx)8xyz.

当xyz0时，有x,y,zR（否则，x,y,z中必有两个不为正值，不设

x0,y0,则c0,这与c0矛盾），因此

xy2xy0,yz2yz0,zx2xz0.

(xy)(yz)(zx)8xyz.

综上，恒有

(xy)(yz)(zx)8xyz. 把x,y,z代入上式得

abc(bca)(cab)(abc).

评注：该题是对称不等式，通常考虑用换元来证明，通过把不等式的构造简化使不等式容易证明.利用代换法解决不等式问题，可以起到事半功倍的效果，大大的提高了解题的速率，降低了题目的难度，但如何选取合理的代换的方法，还有待与探讨和沉思，

15

进一步研究的方向是寻求合理的代换方式.

4.2换元法在微积分中的应用

微分，积分是高等数学的一个重要组成部分，其计算也是一个难点，换元积分法是把原积分变量通过代换化为另一种积分变量，从而把被积函数化为积分公式表中的形式来进行积分.它是先通过x(u)的关系，然后在利用

f(x)dxf[(u)]d(u)进行积分的.从右向左应用此式，实际上是利用微分形式的不

变性来求积分的方法，属第一类换元法.从左向右应用此式，是以x(u) 代入，作为对新变量u的积分，属第二类换元法. 4.2.1 换元法在微分中的应用

微分的定义：若函数yf(x)在x0的改变量y与自变量x的改变量x有下列关系

yAx0(x). (1) 其中A是与x无关的常数，称函数f(x)在x0可微，Ax称为函数fx在x0的微分，记为:

dyAx 或d(f(x0))Ax.

Ax也称为（1）式的线性主要部分.“线性”是因为Ax是x的一次函数，“主要”

是因为（1）式的右端Ax起主要作用，0(x)比x是高阶无穷小. 例11 求yln(x1x2)的微分.

1 分析：依据(nx)，我们可将x1x2看作一个团体，再来求微分

x1 解：设 x1x2t ， 则 ylnt. dyd(lnt)dt,而dttdx,即

t11x2dt(1(1x)22x)dx(1)dx221x11xdydt(1)dx22tx1x1xdxdy.21x16

评注：通过换元，将函数转化为常见的形式，再利用微分的运算法则和公式求出原

函数的微分.

4.2.2 换元法在积分中的应用

积分学是高等数学中一门重要的知识，它的计算显得尤为重要，换元积分法是积分计算中行之有效的重要方法，用第一类换元法，第二类换元积分法都是通过变量代换把被积函数化为积分公示表中的形式进行积分.下面我将从不等积分和定积分两方面进行说明.

1. 不定积分的计算

定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数F(x)c(cR)称为函数f(x)的不定积分，表为

f(x)dxF(x)c,(F(x)f(x)).

其中被积函数是f(x)，f(x)dx是被积表达式，c是积分常数.求已知函数的不定积分运算，称为积分运算. (1)第一换元积分法

定理1:若函数u(x)在[a,b]可导，且(x)，u[a,b]有F(u)f(u)，则函数f[(x)](u)存在原函数F((x)) 即

f[(x)](x)dxF[(x)]c. (1) 证明：由复合函数的求导法则，有

 F[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x). 第一换元积分法指出，求（1）式等号左端的不定积分， 设(x)u，则化为求不定积分f(u)du. 若f(u)存在原函数F(u)，则

f(u)duF(u)c.

最后再将(x)u代入上式等号的左、右两边，就能得到所求的不定积分

f[(x)](x)dxF[(x)]c.

因为(x)dxd(x)，由此第一换元积分法可表为

17

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f(u)du

F(u)cF[(x)]c. 第一换元积分法是将被积表达式“凑”成微分的形式，也叫做“凑微分法” 例12 求xx21dx的不定积分.

分析：观察题目可知被积函数不是一个容易求积的表达式，我们可以通过换元化为一个原函数，再求积分.

解：令x21u，则du2xdx.

u(x)(x)u1xx1dxx(x1)dxu2du111231322uduucu2c2233312(x1)2c.3221212

评注：第一换元法的关键在于将被积表达式凑成f[(x)]d(x)的形式，再用凑微分法求出f(u)的原函数F(u)以后，还要把(u)u代回，还原成原来的变量x的函数. （2）第二换元积分法

定理2：若函数x(t)在[,]严格单调并且可导，a(t)b，(t)0，若函数f(x)在[a,b]有定义，t[,]，有 G(t)f[(t)](t).

则函数f(x)在[a,b]存在原函数，且

f(x)dxG[1(x)]c. (1) 证明：因为t[,]，有(t)0，因此函数x(t)存在可导的反函数t1(x)，由复合函数和反函数的求导法则可得

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G[1(x)]1 (t)G(t)[1(x)] f[(t)](t)f[(t)]f(x).

第二换元积分法明确提出，想求（1）式等号左端的不定积分，需要靠做题者的丰富经验，适当地选取x(t)，则化为求不定积分f[(t)](t)dt. 若f[(t)](t)存在原函数G(t)，则

f[(t)](t)dtG(t)c.

最后将t1(x)代入上式等号右端，就得到所求的不定积分，即 f(x)dxG[1(x)]c. 由于(t)dtd(t)，第二换元积分法可表为

f(x)dx 例13 求x(t)f[(t)](t)dtG(t)cG[1(x)]c.

t1(x)dxax22.

分析：由于被积式含有根式a2x2，故不妨利用三角替换来化去根号 解：设xasinu,则dxacosudu.

x uarcsin(axa,u).

a22于是

dxa2x2acosudua2a2sin2aacosuduxduucarcsinc.

acosua 评注：当被积函数含有根式a2x2或x2a2时，若作三角替换，往往可化难为易.

2. 定积分的计算

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定积分的表述:定积分的换元法有代表性的表述大致分为以下三种： （1）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，令x(t)，如果 (i)(t)在区间[,]上有连续的导数(t)

(ii)当t从变到时，(t)从()a单调变到()b，则 f(x)dxf[(t)](t)dt.

ab 其中要求xt单调，定理中含着条件，当t[,]或t[,]时，x[a,b] （2）设[a,b]上的连续函数是f(x)，单调函数x(t)在区间[,]或[,]上有连续的导数，它的域包含在[a,b]，且()a,()b，则

f(x)dxf[(t)](t)dt.

ab 其中要求x(t)单值，当t[,]（或t[,]时）x[a,b] （3）假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x(t)满足条件 (i)()a,()b.

(ii)(t)在区间[,]（或[,]时）上具有连续的导数且其值域不超过[a,b]，则 f(x)dxf[(t)](t)dt.

ab 例14 求a0a2x2dx.

分析：求该类定积分可用第二类换元积分法中的三角替换化去根号

解；设xasint,有dxacostdt. 当x0时，t0. 当xa时，t2.

2022

a02asin2taxdxa2costdt(t02222)a24.

评注：该函数中含有a2x2，因此我们首先考虑第二类换元积分法，采用三角代换计算定积分，把复杂的函数简单化.

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5 结论

5.1主要发现

换元法作为数学思想方法之一，是数学解题中一种十分有效的方法，在数学里有者普遍的应用.本文探讨了如何巧妙地运用换元法来解题，研究了换元法在数学解题当中的应用，如换元法在代数式、因式分解、方程、函数、证明和微积分方面的解题技巧，并且给出了一些使用换元技巧的典型例子.用换元法解数学题需要掌握一定的换元技巧，有助于培养人的逻辑思维能力和灵活解决数学问题的能力，把理论知识和实际应用结合起来，培养人的数学思维品格.在应用换元法解题时要引导学生多思考总结，找到解题的突破口，解题时一定要懂得变通，灵活解题.

5.2启示

用换元法巧解数学题构造元和设元是解决相关问题得难点，也是关键点.我们在整个学习的过程中应注重换元的思想与方法，在难易度不同的题中不断应用它，重视解题的过程，从而发现换元法解题的奥妙.要巧妙的运用换元法来解数学题，必须对构造元和设元的技巧熟练掌握，将知识融会贯通，这些都要靠学生在平时的学习中不断积累经验，领悟真谛.

5.3局限性

换元法在数学解题中应用十分普遍，但是由于换元法在各领域中换元类型较多，且有些换元类型技巧性高，想要熟练掌握所有类型有些难度，因此换元法具有一定的局限性.本文提供的仅是换元法在代数和微积分几个方面的应用技巧，在理论和方法上显得不够全面.并且部分换元类型和换元法在解析几何、三角函数等方面的应用都没有进行探讨.

5.4努力方向

本文对换元法的探究不够全面，为了对换元法进一步的研究，在今后的学习中，我会不断努力完善自己的知识系统，在解析几何、三角函数等方面进行深入的学习.以便在数学方面作更深层次的研究，对换元法有更深层次的了解，通过自身的努力来完善换元法在解析几何数学解题中的应用，实现换元法的价值.

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参考文献

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[15]李颖，郭颖.关于定积分换元法的数学思考[J]. 沈阳师范大学学报（自然科学版） 2007，（1）：136.

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致 谢

值此论文完成之际，谨在此向四年来给予我关心、帮助的老师、同学和家人表示衷心的感谢！

首先，特别感谢我的指导老师程毕陶老师，在论文的撰写过程中，从选题、编写提纲、资料收集、撰写、修改、最后定稿，他都给予了具体的指导，付出了大量的心血；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．这篇论文的每个数据，都离不开他的细心指导．

其次感谢曲靖师范学院,给我提供了一个很好的学习环境,让我能够顺利完成学业;感谢班主任谢莉桃老师在这四年里对我的帮助；感谢在学习期间给我诸多教诲和帮助的数学与信息科学学院的各位老师；感谢我的朋友和同学，感谢你们在我失意时给我鼓励，在失落时给我支持，感谢你们和我一路走来，让我在此过程中倍感温暖；感谢我的家人，让我可以拥有一个如此温馨的家庭，让我所有的一切都可以在你们这里得到理解与支持，得到谅解和分担。

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