费尔巴哈定理证明

定理描述：

三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切。

定理证明： 1、内切圆：

如图，设△ABC的内心为I，内切圆与三边的切点分别为P、Q、R，BC边上的中点为L、AB边上的中点为N，BC边上的垂足为D。

连接AI，并延长交BC于点U，过点U作⊙I的切线，切点为S，交AB于V，连接LS，并延长交⊙I于点T。

现在证明⊙I与△ABC的九点圆相切于点T。 ∵AV、AC、UV、UC均与⊙I相切， ∴∠AIR=∠AIQ、∠UIS=∠UIP，

∴∠RIS=∠QIP，而∠VRI、∠VSI、∠CQI、∠CPI均为直角， ∴∠RVS=∠QCP，即：∠AVU=∠ACU，

又∵∠VAU=∠CAU（AU为∠BAC的角平分线）及AU共线，有： △AVU≌△ACU，

∴AV=AC，又P、Q、R为⊙I切△ABC的切点，

∴2LP=(BL+LP)-(CL-LP)=BP-CP=BR-CQ=(BR+AR)-(CQ+AQ)=AB-AC=AB-AV=BV。

连接VC，交AU于点K，由AV=AC、∠VAK=∠CAK及AK共线，有： △AVK≌△ACK，即：AK为VC的垂直平分线，连接LK，则LK是△BVC的中位线， ∴BV=2LK， ∴LP=LK。

又∵LP为⊙I的切线，LST为⊙I的割线，

∴LP²=LS×LT，即：LK²=LS×LT。

连接KD，∵LK∥BV，即：LK∥AB，

∴∠LKU=∠BAU=∠CAU，即：∠LKU=∠CAK， 又∵AD⊥DC、AK⊥KC， ∴A、K、D、C四点共圆，

∴∠CAK=∠UDK，即：∠LKU=∠UDK，亦即：LK与△UDK的外接圆相切， ∴LK²=LU×LD，即：LS×LT=LU×LD， ∴S、U、D、T四点共圆。 连接TD，有：∠STD=∠BUV，即：

∠LTD=∠BUV=∠AVU-∠B=∠ACU-∠B，即： ∠LTD=∠ACB-∠B。 连接NL、ND，则NL为△ABC的中位线， ∴NL∥AC，

∴∠ACB=∠NLB，又∵点N为Rt△ADB斜边上的中点， ∴NB=ND，即：∠B=∠NDB，亦即：∠B=∠NDL，于是：

∠LTD=∠ACB-∠B=∠NLB-∠NDL=∠LND，

∴N、L、D、T四点共圆，而过N、L、D的圆为△ABC的九点圆，所以点T在△ABC的九点圆上。

过点T作⊙I的切线TX，

∵TX和SV都是⊙I的切线，且与弦ST所夹的圆弧相同，于是有：

∠XTS=∠VST，即：∠XTL=∠VST， 又∵S、U、D、T四点共圆，

∴∠VST=∠UDT，即：∠VST=∠LDT， ∴∠XTL=∠LDT，

∴TX与△LDT的外接圆相切，而△LDT的外接圆即为△ABC的九点圆， 因此，⊙I与△ABC的九点圆内切于点T。

2、旁切圆：

YANTQBLDCPUKIXVRS

如图，设△ABC的边AC侧的旁切圆的内心为I，旁切圆与三边的切点分别为P、Q、R，BC边上的中点为L、AB边上的中点为N，BC边上的垂足为D。

连接AI，并延长交BC的延长线于点U，过点U作⊙I的切线，切点为S，交BA的延长线于V，连接LS，交⊙I于点T。 现在证明⊙I与△ABC的九点圆相切于点T。 ∵AV、AC、UV、UC均与⊙I相切， ∴∠AIR=∠AIQ、∠UIS=∠UIP，

∴∠RIS=∠QIP，而∠VRI、∠VSI、∠CQI、∠CPI均为直角， ∴∠RVS=∠QCP，即：∠AVU=∠ACU，

又∵∠VAU=∠CAU（AU为∠VAC的角平分线）及AU共线，有： △AVU≌△ACU，

∴AV=AC，又P、Q、R为⊙I旁切△ABC的切点， ∴2LP=(BL+LP)+(LP-LC)=BP+CP=BR+CQ=(AB+AR)+CQ= (AB+AQ)+CQ=AB+(AQ+CQ)=AB+AC=AB+AV=BV。

连接VC，交AU于点K，由AV=AC、∠VAK=∠CAK及AK共线，有：

△AVK≌△ACK，即：AK为VC的垂直平分线，连接LK，则LK是△BVC的中位线， ∴BV=2LK， ∴LP=LK。

又∵LP为⊙I的切线，LTS为⊙I的割线， ∴LP²=LT×LS，即：LK²=LT×LS。

连接KD，并取DA延长线上任一点Y，∵LK∥BV，即：LK∥AB，

∴∠LKU=∠BAU=∠BAD+∠DAC+∠CAU=∠YAV+∠DAC+∠VAU=∠YAU+∠DAC， 即：∠LKU=∠YAK+∠DAC， 又∵AD⊥DC、AK⊥KC， ∴A、D、C、K四点共圆，

∴∠YAK=∠DCK、∠DAC=∠DKC，即：∠LKU=∠DCK+∠DKC=∠LDK，

∴∠LUK=∠LKD，即：∠DUK=∠LKD，亦即：LK与△DUK的外接圆相切， ∴LK²=LD×LU，即：LT×LS=LD×LU， ∴S、U、D、T四点共圆。

连接TD，有：∠LTD=∠SUD，即：∠LTD=∠VUB。 连接NL、ND，则NL为△ABC的中位线， ∴NL∥AC，

∴∠ACB=∠NLB，又∵点N为Rt△ADB斜边上的中点，

∴NB=ND，即：∠B=∠NDB，亦即：∠B=∠NDL，于是：

∠LND=∠NLB-∠NDL=∠ACB-∠B=π-∠ACU-∠B=π-∠AVU-∠B，即： ∠LND=π-∠BVU-∠B=∠VUB=∠LTD，

∴N、L、D、T四点共圆，而过N、L、D的圆为△ABC的九点圆，所以点T在△ABC的九点圆上。

过点T作⊙I的切线TX，

∵TX和SV都是⊙I的切线，且与弦TS所夹的圆弧相同，于是有： ∠XTS=∠VST，

又∵S、U、D、T四点共圆， ∴∠VST=∠UDT，

∴∠XTL=π-∠XTS=π-∠VST=π-∠UDT=∠LDT，

∴TX与△LDT的外接圆相切，而△LDT的外接圆即为△ABC的九点圆， 因此，⊙I与△ABC的九点圆外切于点T。