初一数学（第3周）
【教学内容】
第二章 2.1 正数与负数 2.2 数轴
【教学目标】
1、会判断一个数是正数还是负数，理解负数的意义。
2、会把已知数在数轴上表示，能说出已知点所表示的数。
3、了解数轴的原点、正方向、单位长度，能画出数轴。
4、会比较数轴上数的大小。
【知识讲解】
一、本讲主要学习内容
1、负数的意义及表示 2、零的位置和地位
3、有理数的分类 4、数轴概念及三要素
5、数轴上数与点的对应关系 6、数轴上数的比较大小
其中，负数的概念，数轴的概念及其三要素以及数轴上数的比较大小是重点。负数的意义是难点。
下面概述一下这六点的主要内容
1、负数的意义及表示
把大于0的数叫正数如5，3，+3等。在正数前加上“-”号的数叫做负数如-5，-3，- 等。负数是表示相反意义的量，如：低于海平面-155米表示为-155m，亏损50元表示-50元。
2、零的位置和地位
零既不是正数，也不是负数，但它是自然数。它可以表示没有，也可以在数轴上分隔正数和分数，甚至可以表示始点，表示缺位，这将在下面详细介绍。
3、有理数的分类
正整数、零、负整数统称为整数，正分数、负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。
正整数
整数 零 正有理数
有理数 负整数 或 有理数 零
分数 正分数 负有理数
负分数
4、数轴的概念及三要素
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，数轴的三要素分别为原点，正方向，单位长度，缺少任何一个都不能构成数轴。
①数轴一般取向右为正，单位长度要一致。
②每个单位长度可以表示1，也可表示为5，10，100等等。
③数轴上的数一般写在数轴的下方。
5、数轴上数与点的对应关系
每个有理数都可以表示在数轴上。
6、数轴上数比较大小
数轴上数比较大小遵照“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的的大”的原则。由此可以得到：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
二、典型例题
例1、如果赢余100元记作+100元，那么亏损50元如何表示？
-150元又表示什么？赢余-70元又表示什么？
分析：负数经常表示相反意义的量，那么亏损就是赢余的相反意义，故亏损50元表示为-50元，同样可得-150元表示亏损150元，赢余-70元，其中-70元表示亏损70元，赢余亏损70元表示的意义就是亏损70元。
答：亏损50元表示为：-50元。
-150元表示为；亏损150元。
赢余-70元表示为：亏损70元。
例2、将下列各数填入相应的大括号里
正数集合：{ …} 非负数集合：{ …}
整数集合：{ …} 非负整数集合：{ …}
有理数集合：{ …}
解：负数集合：{0.7， ，371.4，13，…}
非负数集合：{0.7， ，371.4，13，…}
整数集合：{-0，13,…}
非负整数集合：{0，2000，…}
有理数集合：{-1，0.7， ，-0.031，0，371.4，…}
说明：我们把某一特征的一类事物的全体称为集合。其中每一个数叫做这个集合的一个元素。
要注意：零是非负数集合，整数集合，非负整数集合，自然数集合，有理数集合均有的一个元素，要正确地将数填入相应的集合里，还必须正确掌握有理数的分类。
例3、选择：下面的说法中，正确的是（ d ）
a、在有理数中，0的意义仅表示没有。
b、正有理数和负有理数组成全体有理数。
c、0.3既不是整数，也不是分数，因此它不是有理数。
d、0既不是正数，也不是负数，它是自然数。
注意：0是一个很重要又很特殊的数，它不是正数，也不是负数，它是非负数；它既是整数，也是偶数，还是自然数，它有多种含义：
（1）表示没有：树上有0只鸟，表示数上没有鸟。
（2）表示起点：如在计时中，0表示每天的起点时期。
（3）表示分界点：如数0是正数和负数的分界点。
（4）记数中表示缺位：如103中表示十位缺位。
例4、说出下面的数轴上的点o、a、b、c、d、e各表示什么数？
c
-4
-3
e
-1
-2
b
0
o
2
1
a
3
4
d
答：o、a、b、c、d、e分别表示：0，1，-2，-2.5, ， 。
说明：（1）数轴是一条具有三个要素（原点、正方向和单位长度）的直线，这些要素也是判断一条直线是不是数轴的根本依据。数轴与它所在位置无关，但为了教学上的需要，一般水平放置的数轴，规定从原点向右为正方向，这就得证了“数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大”。
（2）在数轴上表示数的点可用大写字母，写在数轴上方相应数的上面，原点用o标出，它表示数0，但不能说o =0，其它表示数的点字母也一样。
（3）数轴上原点的位置要根据需要来确定，不一定要居中。并且同一数轴上的单位长度不能变。
例5、指出数轴上各点分别表示什么数？
解：点a表示数-3.5；点b表示数0；
点c表示数2； 点d表示数-1；
点e表示数 。
说明：要正确读出点所表示的数，必须作如下判断：（1）点在原点的左侧还是右侧，确定数的符号；（2）看点离开原点几个单位，确定的数的值。例如点a在原点左侧，点a表示一个负数，点a离开原点3.5个单位长度，所以点a表示数-3.5；同样e离开原点 个单位长度，但点e在原点右侧，所以点e表示数 。
由此可见，数与点的位置密切相关，结合图形研究数量是数学中常用的方法：数轴就是“数形结合”的模型，同学们要熟悉，掌握并运用它。
例6、在数轴上表示下列各数，并比较大小。
-3， ，0， ，5
解：
-3＜ ＜0＜ ＜5
说明：要在数轴上正确描出表示各数的点，先看数的符号，表示负数的点描在原点的左侧，表示正数的点描在原点的右侧，再根据各数的数值，即点与原点的距离确定表示各数的点的位置，表示数0的点就是原点。
根据在“数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大”即可借助于数轴表示有理数的大小。
【一周一练】
1、填空题
（1）如果向东走5m记作+5m，那么向西走15m应记作 ；如果+30m表示向西行走30m，那么－20m表示 。
（2）人口增加3万人，记作+3万人，那么人口减少0.5万人可记作 。
（3）比海平面高800m的地方，它的高度记作海拔 ，比海平面低150m的地方，它的高度记作海拔 。
（4）一种零件的内径尺寸在图纸上标注是20±0.05（单位：mm），表示这种零件的标准尺寸是20mm，加工时要求最大不超过标准尺寸 ，最小不小于标准尺寸 。
（5）若收入800元记作+800元，则－400元表示 。
（6）若把95分的成绩记作+15分，那么62分的成绩记作 ，这样记分时，某学生的成绩记作+5分，他的实际成绩是 。
（7）数轴上原点左边的点表示 数，原点右边的点表示 数，原点表示 。
（8）到原点的距离等于5个单位长度的点表示的数是 。
（9）不小于2的非负整数是 。
（10）在东西走向的公路上，乙在甲的东边3km处，丙距乙5km，则丙在甲的东边 处。
2、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）4<－8( ) （2）－3>－4( )
（3）0>－30( ) （4）+a一定是正数( )
（5）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。( )
（6）正数与负数统称为有理数。( )
（7）正整数是自然数，自然数就是正整数。( )
（8）球类比赛胜地5分作+5分，-3分表示输了-3分。( )
3、比较大小
(1)0 (2) -3.14 (3)
(4)-0.125 (5)设a<0，则a 2a.
4、数学期末85分以上为优秀，老师以85分为基准，将某一小组的五名同学的成绩简记为：-7，+12，0，-2，+5，问这五名同学最高成绩为多少？最低成绩为多少？其余3名同学的成绩是多少？
5、画一条数轴，在数轴上表示下列各数的点，并用“>”号连接。
4.5, －4, 0,
6、把下列各数填在相应的大括号里。
, －1, 0, +6, －1.08, , 10%, 0.33……, 4
正数集合：｛ …｝ 负数集合：｛ …｝
自然数集合：｛ …｝ 分数集合：｛ …｝
非负整数集合｛ …｝
非正数集合：｛ …｝ 有理数集合：｛ …｝
【一周一练答案】
1、填空
（1）－15m， 向东行走20m；
（2）－0.5万人；
（3）800m， －150m；
（4）－0.05mm ，0.05mm；
（5）支出400元；
（6）－18分，85分；
（7）负，正，0；
（8）±5
（9）0, 1, 2,
（10）8km或－2km
2、判断题
（1）× （2）√ （3）√ （4）× （5）√ （6）× （7）× （8）×
3、比较大小：(1)> (2)< (3)< (4)= (5)>
4、最高成绩是97分，最低成绩是78分，其余三名同学的成绩是：85分，83分，90分。
-4
-3
-1
-2
0
2
1
3
4
6
5
4.5
-4
0
-
5、
4.5> >0> >－4
6、正数集合：{+6， ，10%，0.33……，4，…}
负数集合：{ ，－1，－1.08，…}
自然数集合：{0，+6，4，…}
分数集合：{ ，－1.08，10%，0.33……，…}
非正数集合：{ ，－1，0，－1.08，…}
非负整数集合：{0，+6，4，…}
有理数集合：{ ，－1，0，+6，－1.08， ，10%，0.33……，4，…}
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