2015年上海市初中毕业统一学业考试
数学试卷
考生注意:
1.本试卷含三个大题,共25题;
2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效; 3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
一、选择题:〔本大题共6题,每题4分,总分值24分〕
【以下各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 以下实数中,是有理数的为〔 〕 A.2;
2. 当a0时,以下关于幂的运算正确的选项是〔 〕 A.a1;
3. 以下y关于x的函数中,是正比例函数的为〔 〕 A.yx2;
4. 如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边数是〔 〕 A.4;
5. 以下各统计量中,表示一组数据波动程度的量是〔 〕 A.平均数;
0B.34; C.; D.0.
B.aa; C.aa; D.a122121. a22xB.y; C.y;
x2D.yx1. 2 B.5; C.6; D.7.
B.众数; C.方差;
1
D.频率.
6. 如图,已知在⊙O中,AB是弦,半径OCAB,垂足为点D,要使四边形OACB为菱形,还需要添加一个条件,这个条件可以是〔 〕
A.ADBD;
B.ODCD;
C.CADCBD; D.OCAOCB.
二、填空题:〔本大题共12题,每题4分,总分值48分〕
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算:22 .
8. 方程3x22的解是 .
9. 如果分式
10.如果关于x的一元二次方程x24xm0没有实数根,那么m的取值范围是 .
11.同一温度的华氏度数y(F)与摄氏度数x(C)之间的函数关系是y是25C,那么它的华氏度数是 F.
12.如果将抛物线yx22x1向上平移,使它经过点A〔0,3〕,那么所得新抛物线的表达式是 .
13.某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动,首次活动需要7位同学参加,现有包括小杰在内的50位 同学报名,因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位,小杰被抽到参加此次活动的概率是 .
14.已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示:
2x有意义,那么x的取值范围是 . x39x32.如果某一温度的摄氏度数 5 2
年龄〔岁〕 人数 11 5 12 5 13 16 14 15 15 12 那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 岁.
15.如图,已知在△ABC中,D、E分别是边AB、边AC的中点,ABm,ACn,那么向量DE用向 量m、n表示为 .
16.已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点,AEAD,过点E作AC的垂线,交边CD于点F,那 么FAD 度.
17.在矩形ABCD中,AB5,BC12,点A在⊙B上.如果⊙D与⊙B相交,且点B在⊙D内,那么 ⊙D的半径长可以等于 .〔只需写出一个符号要求的数〕
18.已知在△ABC中,ABAC8,BAC30.将△ABC绕点A旋转,使点B落在原△ABC的点C处,此时点C落在点D处.延长线段AD,交原△ABC的边BC的延长线于点E,那么线段DE的长等于 .
三、解答题:〔本大题共7题,总分值78分〕 19.〔此题总分值10分〕
x2xx1先化简,再求值:2,其中x21. x4x4x2x2
3
20.〔此题总分值10分〕
4x2x6解不等式组:x1x1,并把解集在数轴上表示出来.
93
21.〔此题总分值10分,第〔1〕小题总分值4分,第〔2〕小题总分值6分〕
已知,如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y例函数y4x的图像经过点A,点A的纵坐标为4,反比3m的图像也经过点A,第一象限内的点B在这个反比例函数的图像上,过点B作BC∥x轴,交yx轴于点C,且ACAB.
求:〔1〕这个反比例函数的解析式; 〔2〕直线AB的表达式.
4
图3
22.〔此题总分值10分,第〔1〕小题总分值4分,第〔2〕小题总分值6分〕
如图,MN表示一段笔直的高架道路,线段AB表示高架道路旁的一排居民楼.已知点A到MN的距离为15米,BA的延长线与MN相交于点D,且BDN30,假设汽车在高速道路上行驶时,周围39米以内会受到噪音的影响.
〔1〕过点A作MN的垂线,垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶,当汽车到达点P处时,噪音开始影响这一排的居民楼,那么此时汽车与点H的距离为多少米?
〔2〕降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板,当汽车行驶到点Q时,它与这一排居民楼的距离QC为39米,那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长?〔精确到1米〕〔参考数据:31.7〕
5
图4
23.〔此题总分值12分,第〔1〕小题总分值6分,第〔2〕小题总分值6分〕
已知:如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线上,且OEOB,联结DE.
〔1〕求证:DEBE;
〔2〕如果OECD,求证:BDCECDDE.
图
6
24.〔此题总分值12分,第〔1〕小题总分值4分,第〔2〕小题总分值4分,第〔3〕小题总分值4分〕
已知在平面直角坐标系xOy中〔如图〕,抛物线yax24与x轴的负半轴相交于点A,与y轴相交于点B,AB25.点P在抛物线上,线段AP与y轴的正半轴相交于点C,线段BP与x轴相交于点D.设点P的横坐标为m.
〔1〕求这条抛物线的解析式;
〔2〕用含m的代数式表示线段CO的长度; 〔3〕当tanODC32时,求PAD的正弦值.
图6
7
25.〔此题总分值14分,第〔1〕小题总分值4分,第〔2〕小题总分值5分,第〔3〕小题总分值5分〕
已知:如图,AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,动点P、Q分别在线段OC、CD上,且DQOP,
AP的延长线与射线OQ相交于点E,与弦CD相交于点F〔点F与点C、D不重合〕,AB20,
4cosAOC.设OPx,△CPF的面积为y.
5〔1〕求证:APOQ;
〔2〕求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域; 〔3〕当△OPE是直角三角形时,求线段OP的长.
图7
备用图
8
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2015年上海市初中毕业统一学业考试
数学试卷参
一、 选择题
1、D; 2、A; 3、C; 4、B; 5、C; 6、B 二、 填空题
7、4; 8、2; 9、x3 ; 10、m4 ; 11、77; 12、yx2x3 ; 13、
27; 5014、14; 15、11mn ; 16、22.5; 17、14等〔大于13且小于18 的数〕; 18、434. 22三、 解答题
x2x2x119.解:原式=
(x2)2xx2 xx1 x2x21 x2 当x21时,原式1212121 21
20.解:由4x2x6,得x3
由
x1x1 ,得x2 3910
原不等式组的解集是3x2.
21.解:〔
22.解:〔
–3–2–10123x
1〕∵正比例函数y43x的图像经过点A,点A的纵坐标为4, ∴443x∴x3∴点A的坐标是(3,4)
∵反比例函数的图像经过点A, ∴4m3,m12
∴反比例函数的解析式为y12x 2〕∵ACAB,∴点A在线段BC的中垂线上.
∵BC∥x轴,点C在y轴上,点A的坐标是(3,4),∴点B的横坐标为6. ∵点B在反比例函数的图像上,∴点B的坐标是(6,2). 设直线AB的表达式为ykxb ,将点A、B代入表达式得:
43kb解得226kbk3
b6 ∴直线AB的表达式为y23x6. 1〕联结AP.由题意得 AHMN,AH15(m),AP39(m).
11
〔
在RtAPH中,得PH36(m). 答:此时汽车与点H的距离为36米.
〔2〕由题意可知,PQ段高架道路旁需要安装隔音板,QCAB, QDC30,QC39(m).
在RtDCQ中,DQ2QC78(m).
在RtADH中,DHAHcot30153(m), ∴PQPHDHDQ114151.788.5(m). 答:高架道路旁安装的隔音板至少需要米长.
23.证明:〔1〕∵OEOB,OBEOEB.
∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O,∴OBOD. ∴OEOD. ∴ODEOED.
在BDE中,∵OBEOEBOEDODE180, ∴OEB0EDBED90, 即DEBE. 〔2〕∵OECD,∵CDEDEO90. 又∵CEODEO90,CDECEO.
OBEOEB,OBECDE.
在DBE和CDE中: OBECDE
BEDDEC ∴DBE∽CDE.
12
∴
BDDE.∴ BDCECDDE CDCE
24.〔1〕由抛物线yax4与y轴相交于点B, 得点B的坐标为(0,-4) ∵ 点A在x轴的负半轴上, AB25, ∴ 点A的坐标为(-2,0) ∵ 抛物线yax4与x轴相交于点A, ∴a1 ∴ 这条抛物线的表达式为yx4
〔2〕∵点P在抛物线上,它的横坐标为m,∴ 点P的坐标为(m,m4) 由题意,得点P在第一象限内,因此m0,m40 过点P作PH⊥x轴,垂足为H
22222 ∵ CO∥PH, ∴
COAO PHAH ∴
CO2, 解得CO2m4
m24m2 〔3〕过点P作PG⊥y轴,垂足为点G
∵ OD∥PG, ∴
ODBO PGBG ∴
OD442, 即OD mmmCO3 OD2 在Rt△ODC中, ∵tanODC ∴ 2(2m4)34, 解得m3或m1〔舍去〕。 m13
∴ CO=2
在Rt△AOC中,AC22
∴ sinOACCO22,即∠PAD的正弦值为 AC22
25 .〔1〕证明:联结OD
∵ CD∥AB, ∴∠C=∠AOP
∵ OC=OD, ∴∠C=∠D, ∴ ∠AOP=∠D,
又∵ AO=OD, OP=DQ, ∴ △AOP≌△ODQ, ∴ AP=OQ 〔2〕解:∵ CD∥AB, ∴ ∠CFP=∠A
∵△AOP≌△ODQ, ∴ ∠A=DOQ, ∴ ∠CFP=∠DOQ 又∵ ∠C=∠D, ∴ △CFP∽△DOQ
CPS ∴ CFP
SDOQDQ 过点O作OH⊥CD,垂足为点H。 ∵ cosCcosAOC241,OCOAAB10 52 ∴ CH=8,OH=6,CD=16 ∴ SDOQ11DQOH6x3x 222y10x ∵ CP=10-x, ∴
3xx 14
3(10x)23x260x30050 ∴ 所求函数的解析式为y ,即y,定义域为x10
xx13 〔3〕解:∵ CD∥AB, ∴ ∠EOA=∠DQO 又∵ ∠A=∠DOQ, ∴ ∠AEO=∠D≠90°
所以当△OPE是直角三角形时,只可能是∠POE=90°或∠OPE=90° ①当∠POE=90°时,
在RT△OCQ中,cosOCQOC425, ∴ CQ CQ52 ∵ CD=16, ∴ OPDQ7 2 ∵ OP7507, 所以OP不合题意,舍去。 2132 ②当∠OPE=90°时,得∠DQO=∠OPA=90° ∵ 点Q为CD的中点,
∴ OPDQ1CD8 2 综上所述:当△OPE是直角三角形时,线段OP的长是8.
15
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