2015年上海市中考数学试卷及答案(Word版)

2015年上海市初中毕业统一学业考试

数学试卷

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题；

2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕

【以下各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1． 以下实数中，是有理数的为〔 〕 A．2；

2． 当a0时，以下关于幂的运算正确的选项是〔 〕 A．a1；

3． 以下y关于x的函数中，是正比例函数的为〔 〕 A．yx2；

4． 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是〔 〕 A．4；

5． 以下各统计量中，表示一组数据波动程度的量是〔 〕 A．平均数；

0B．34； C．； D．0．

B．aa； C．aa； D．a122121． a22xB．y； C．y；

x2D．yx1． 2 B．5； C．6； D．7．

B．众数； C．方差；

1

D．频率．

6． 如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OCAB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是〔 〕

A．ADBD；

B．ODCD；

C．CADCBD； D．OCAOCB．

二、填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕

【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7． 计算：22 ．

8． 方程3x22的解是 ．

9． 如果分式

10．如果关于x的一元二次方程x24xm0没有实数根，那么m的取值范围是 ．

11．同一温度的华氏度数y(F)与摄氏度数x(C)之间的函数关系是y是25C，那么它的华氏度数是 F．

12．如果将抛物线yx22x1向上平移，使它经过点A〔0，3〕，那么所得新抛物线的表达式是 ．

13．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位 同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加此次活动的概率是 ．

14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：

2x有意义，那么x的取值范围是 ． x39x32．如果某一温度的摄氏度数 5 2

年龄〔岁〕 人数 11 5 12 5 13 16 14 15 15 12 那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 岁．

15．如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，ABm，ACn，那么向量DE用向 量m、n表示为 ．

16．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AEAD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那 么FAD 度．

17．在矩形ABCD中，AB5，BC12，点A在⊙B上．如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么 ⊙D的半径长可以等于 ．〔只需写出一个符号要求的数〕

18．已知在△ABC中，ABAC8，BAC30．将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处．延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于 ．

三、解答题：〔本大题共7题，总分值78分〕 19．〔此题总分值10分〕

x2xx1先化简，再求值：2，其中x21． x4x4x2x2

3

20．〔此题总分值10分〕

4x2x6解不等式组：x1x1，并把解集在数轴上表示出来．

93

21．〔此题总分值10分，第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕小题总分值6分〕

已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y例函数y4x的图像经过点A，点A的纵坐标为4，反比3m的图像也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图像上，过点B作BC∥x轴，交yx轴于点C，且ACAB．

求：〔1〕这个反比例函数的解析式； 〔2〕直线AB的表达式．

4

图3

22．〔此题总分值10分，第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕小题总分值6分〕

如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且BDN30，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．

〔1〕过点A作MN的垂线，垂足为点H．如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？

〔2〕降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？〔精确到1米〕〔参考数据：31.7〕

5

图4

23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题总分值6分，第〔2〕小题总分值6分〕

已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OEOB，联结DE．

〔1〕求证：DEBE；

〔2〕如果OECD，求证：BDCECDDE．

图

6

24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕小题总分值4分，第〔3〕小题总分值4分〕

已知在平面直角坐标系xOy中〔如图〕，抛物线yax24与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB25．点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴相交于点C，线段BP与x轴相交于点D．设点P的横坐标为m．

〔1〕求这条抛物线的解析式；

〔2〕用含m的代数式表示线段CO的长度； 〔3〕当tanODC32时，求PAD的正弦值．

图6

7

25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕小题总分值5分，第〔3〕小题总分值5分〕

已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQOP，

AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F〔点F与点C、D不重合〕，AB20，

4cosAOC．设OPx，△CPF的面积为y．

5〔1〕求证：APOQ；

〔2〕求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域； 〔3〕当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．

图7

备用图

8

9

2015年上海市初中毕业统一学业考试

数学试卷参

一、 选择题

1、D； 2、A； 3、C； 4、B； 5、C； 6、B 二、 填空题

7、4； 8、2； 9、x3 ； 10、m4 ； 11、77； 12、yx2x3 ； 13、

27； 5014、14； 15、11mn ； 16、22.5； 17、14等〔大于13且小于18 的数〕； 18、434． 22三、 解答题

x2x2x119．解：原式=

(x2)2xx2 xx1 x2x21 x2  当x21时，原式1212121 21

20．解：由4x2x6，得x3

由

x1x1 ，得x2 3910

 原不等式组的解集是3x2.

21．解：〔

22．解：〔

–3–2–10123x

1〕∵正比例函数y43x的图像经过点A，点A的纵坐标为4， ∴443x∴x3∴点A的坐标是(3,4)

∵反比例函数的图像经过点A， ∴4m3，m12

∴反比例函数的解析式为y12x 2〕∵ACAB，∴点A在线段BC的中垂线上.

∵BC∥x轴，点C在y轴上，点A的坐标是(3,4)，∴点B的横坐标为6. ∵点B在反比例函数的图像上，∴点B的坐标是(6,2). 设直线AB的表达式为ykxb ，将点A、B代入表达式得：

 43kb解得226kbk3

b6 ∴直线AB的表达式为y23x6. 1〕联结AP.由题意得 AHMN,AH15(m),AP39(m).

11

〔

在RtAPH中，得PH36(m). 答：此时汽车与点H的距离为36米.

〔2〕由题意可知，PQ段高架道路旁需要安装隔音板，QCAB， QDC30,QC39(m).

在RtDCQ中，DQ2QC78(m).

在RtADH中，DHAHcot30153(m)， ∴PQPHDHDQ114151.788.5(m). 答：高架道路旁安装的隔音板至少需要米长.

23．证明：〔1〕∵OEOB,OBEOEB.

∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O，∴OBOD. ∴OEOD. ∴ODEOED.

在BDE中，∵OBEOEBOEDODE180, ∴OEB0EDBED90, 即DEBE. 〔2〕∵OECD，∵CDEDEO90. 又∵CEODEO90,CDECEO.

OBEOEB,OBECDE.

在DBE和CDE中： OBECDE

BEDDEC ∴DBE∽CDE.

12

∴

BDDE.∴ BDCECDDE CDCE

24．〔1〕由抛物线yax4与y轴相交于点B， 得点B的坐标为(0,-4) ∵ 点A在x轴的负半轴上， AB25， ∴ 点A的坐标为(-2,0) ∵ 抛物线yax4与x轴相交于点A， ∴a1 ∴ 这条抛物线的表达式为yx4

〔2〕∵点P在抛物线上，它的横坐标为m，∴ 点P的坐标为(m,m4) 由题意，得点P在第一象限内，因此m0,m40 过点P作PH⊥x轴，垂足为H

22222 ∵ CO∥PH， ∴

COAO PHAH ∴

CO2， 解得CO2m4

m24m2 〔3〕过点P作PG⊥y轴，垂足为点G

∵ OD∥PG， ∴

ODBO PGBG ∴

OD442， 即OD mmmCO3 OD2 在Rt△ODC中， ∵tanODC ∴ 2(2m4)34， 解得m3或m1〔舍去〕。 m13

∴ CO=2

在Rt△AOC中，AC22

∴ sinOACCO22，即∠PAD的正弦值为 AC22

25 ．〔1〕证明：联结OD

∵ CD∥AB， ∴∠C＝∠AOP

∵ OC＝OD， ∴∠C＝∠D， ∴ ∠AOP＝∠D，

又∵ AO＝OD， OP＝DQ， ∴ △AOP≌△ODQ， ∴ AP＝OQ 〔2〕解：∵ CD∥AB， ∴ ∠CFP＝∠A

∵△AOP≌△ODQ， ∴ ∠A＝DOQ， ∴ ∠CFP＝∠DOQ 又∵ ∠C＝∠D， ∴ △CFP∽△DOQ

CPS ∴ CFP

SDOQDQ 过点O作OH⊥CD，垂足为点H。 ∵ cosCcosAOC241，OCOAAB10 52 ∴ CH=8，OH=6，CD=16 ∴ SDOQ11DQOH6x3x 222y10x ∵ CP=10-x， ∴

3xx 14

3(10x)23x260x30050 ∴ 所求函数的解析式为y ，即y，定义域为x10

xx13 〔3〕解：∵ CD∥AB， ∴ ∠EOA＝∠DQO 又∵ ∠A＝∠DOQ， ∴ ∠AEO＝∠D≠90°

所以当△OPE是直角三角形时，只可能是∠POE＝90°或∠OPE＝90° ①当∠POE＝90°时，

在RT△OCQ中，cosOCQOC425， ∴ CQ CQ52 ∵ CD=16， ∴ OPDQ7 2 ∵ OP7507， 所以OP不合题意，舍去。 2132 ②当∠OPE＝90°时，得∠DQO＝∠OPA＝90° ∵ 点Q为CD的中点，

∴ OPDQ1CD8 2 综上所述：当△OPE是直角三角形时，线段OP的长是8.

15