济南大学线性代数与解析几何04试卷答案

00010001. A23A36210； 100 2. A11 ；315003200113. 52； 4 . 116152120,262；

115. 2， c=1.

2xx222xx02三、解: D=xx1101………3分 32x2c3cxx432x22001100012xx0 =xx0(x2)x20 ………6分

32x2 所以方程D＝0的根为x1=2,x2,3=0 ………8分 1213四、解：(11111,2,3,4) 1335452612131213012222 ………5分

012012000003660000所以向量组１，２，３，４的秩为2，

１，２（或１，３或１，４）是其一个极大线性无关组。………10分

五、解：

112211221Ab012211c3c1221c14c20 11110001110122a0000a1当a=-1时，R(A)R(A|b)=3<4 ,所以方程组有无穷多解。 ……5分

1100110002又当a=-1时，[A|b]01003100300111000111

0000000000x12所以与原方程组同解的方程组为x23 ……7分 x3x41对应齐次线性方程组的基础解系为(0,0,1,1)T，其特解为(2,3,1,0)T……10分

通解为k(0,0,1,1)+(2,3,1,0)(k为任意实数) ……12分 六、解：|AE|3113(2)(4)0

TT 所以A的特征值为12,24 ……………………4分 当12时，

1(A2E)111101，对应特征向量为p1011 21 当24时，

1(A4E)111101111p，对应特征向量为2……10分

0210 …………12分 4 所以P11211，且P12AP0七、证明：（1）因为BT(CTAC)TCTAT(CT)TCTACB

所以矩阵B仍是对称矩阵。 ……………………4分 （2）证明1：因为矩阵C可逆，所以C可表示成有限个初等矩阵的乘积： CP1P2Pl

所以 BP1P2PlAP1P2Pl

而初等矩阵的转置仍是初等矩阵，因此矩阵是由矩阵经过有限次初等变换得到的，故R（A）=R（B） …………………………7分 证明2：因为矩阵C可逆，所以C仍可逆。

故R(B)R(CAC)R(AC)R(A) …………………………7分

TTTTT